ダルブーの定理

数学の一分野である微分幾何学において、ダルブーの定理は、フロベニウスの積分定理を部分的に一般化した、特殊なクラスの微分1形式の正規形を提供する定理である。この定理は、パフ問題^[2]の解決策として確立したジャン・ガストン・ダルブー^[1]にちなんで名付けられました。

これはいくつかの分野における基礎的な結果であり、その主なものはシンプレクティック幾何学です。実際、その多くの結果の 1 つは、同じ次元の任意の2 つのシンプレクティック多様体は互いに局所的にシンプレクティック同相であるということです。つまり、あらゆる次元シンプレクティック多様体は、その標準的なシンプレクティック形式を持つ線形シンプレクティック空間と局所的に同じように見えるようにすることができます。 ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

この定理を接触幾何学に適用した場合も同様の結果が得られます。

が -次元多様体上の微分1形式であり、階数が定数であるとする。すると、 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$ ${\displaystyle p}$

• もしどこにでもあるなら、局所的な座標系があり、${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}=0}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{np},y_{1},\ldots ,y_{p})}$$${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p};}$$
• もしどこにでもあるなら、局所的な座標系があり、${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq 0}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{np},y_{1},\ldots ,y_{p})}$$${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p}+\mathrm {d} x_{p+1}.}$$

ダルブーの元々の証明はに対する帰納法を用いており、これは超関数^[3]や微分イデアルを用いて同等に表現することができる。^[4]${\displaystyle p}$

に対するダルブーの定理は、のような任意の1 形式が、ある座標系でのように表せることを保証します。 ${\displaystyle p=0}$${\displaystyle \theta \neq 0}$${\displaystyle \theta \wedge d\theta =0}$${\displaystyle \theta =dx_{1}}$${\displaystyle (x_{1},\ldots,x_{n})}$

これは、フロベニウスの定理の定式化の1つを微分形式の観点から回復する。が によって生成される微分イデアルである場合、が実際に によって生成される座標系の存在を意味する。^[4]${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset \Omega ^{*}(M)}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta \wedge d\theta =0}$${\displaystyle (x_{1},\ldots,x_{n})}$${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset \Omega ^{*}(M)}$${\displaystyle dx_{1}}$

が次元多様体上のシンプレクティック2形式であるとする。の各点の近傍には、ポアンカレの補題により、となる1形式が存在する。さらに、 はダルブーの定理の最初の仮定セットを満たすので、局所的にの近くに座標チャートが存在し、${\displaystyle \omega}$${\displaystyle n=2m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \mathrm {d} \theta =\omega }$${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{m}\,\mathrm {d} y_{m}.}$$

外微分をとると、

$${\displaystyle \omega =\mathrm {d} \theta =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\ldots +\mathrm {d} x_{m}\wedge \mathrm {d} y_{m}.}$$

この図はの周りのダルブー図と言われている。^[5]多様体はこのような図で 覆うことができる。${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$

これを別の言い方で言うと、とすることで をと同一視します。 がダルブーチャートである場合、 は上の標準シンプレクティック形式の引き戻しとして書くことができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$${\displaystyle z_{j}=x_{j}+{\textit {i}}\,y_{j}}$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \omega =\varphi ^{*}\omega _{0}.\,}$

この結果の現代的な証明は、ダルブーの1形式に関する一般的な記述を使わずに、モーザーのトリックを使って行われます。^{[5] [6]}

シンプレクティック多様体に対するダルブーの定理は、シンプレクティック幾何学には局所不変量が存在しないことを意味します。つまり、ダルブー基底は常にとることができ、任意の点の近くで有効です。これは、曲率が局所不変量であり、計量の障害が局所的に座標微分の二乗の和である リーマン幾何学の状況とは著しく対照的です。

違いは、ダルブーの定理では、 の周りの全近傍で標準形をとることができると述べていることです。リーマン幾何学では、計量は任意の点で常に標準形をとることができますが、その点の周りの近傍では必ずしもそうとは限りません。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle p}$

もう一つの特殊なケースは、 のときに回復される。すなわち、 が至る所で であれば、 は接触形式である。シンプレクティック構造の場合のように、モーザーのトリックを使うと、より簡単な証明を与えることができる。^[7]${\displaystyle n=2p+1}$${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq 0}$${\displaystyle \theta }$

アラン・ワインスタインは、シンプレティック多様体に対するダルブーの定理が部分多様体の近傍でも成り立つように強化できることを示した：^[8]

が 2 つのシンプレクティック形式とを備えた滑らかな多様体であり、が閉じた部分多様体であるとします。 の場合、 にはの近傍と となる微分同相写像が存在します。${\displaystyle M}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle N\subset M}$${\displaystyle \left.\omega _{1}\right|_{N}=\left.\omega _{2}\right|_{N}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f:U\to U}$${\displaystyle f^{*}\omega _{2}=\omega _{1}}$

標準的なダルブーの定理は、が点であり、 が座標チャート上の標準的なシンプレクティック構造であるときに回復されます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle \omega _{2}}$

この定理は無限次元バナッハ多様体にも当てはまります。

• カラテオドリ・ヤコビ・リー定理、この定理の一般化。
• モーザーのトリック
• シンプレクティック基底

• G. ダルブー、「パフ問題について」、DH デルフェニッチ訳
• G. ダルブー、「パフ問題について（続）」、DH デルフェニッチ訳