光位相空間

量子光学において、光位相空間は、光学システムのすべての量子状態が記述される位相空間です。光位相空間の各点は、光学システムの固有の状態に対応します。このようなシステムでは、求積法を互いに対してプロットしたもの (時間の関数として表す場合もあります) は、位相図と呼ばれます。求積法が時間の関数である場合、光位相図は、時間とともに変化する量子光学システムを示すことができます。

光位相図は、他の方法では明らかでない可能性のあるシステムの特性と動作についての洞察を与えることができます。これは、他の方法では推測するのが非常に難しい、光学システムを研究している個人にとって興味深いシステムの品質を暗示することができます。光位相図のもう 1 つの用途は、光学システムの状態の変化を示すことです。これは、任意の時点での光学システムの状態を決定するために使用できます。

光の量子論を議論する際、電磁振動子をモデルとして使用するのが一般的です。 ^[1]電磁振動子は電場の振動を表します。磁場は電場の変化率に比例するため、これも振動します。このような振動は光を表します。このような振動子で構成されるシステムは、光位相空間によって記述できます。

u ( x ,t) を電磁振動子の単一モードを表すベクトル関数とする。簡単のため、この電磁振動子は真空中にあると仮定する。例として、次に示す 平面波がある。

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {u_{0}} e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}$

ここで、u ₀は偏光ベクトル、kは波数ベクトル、周波数、A B はベクトルAとBのドット積 を表します。これは平面波の方程式であり、このような電磁振動子の簡単な例です。調査対象の振動子は、空間内の自由波、または何らかの空洞に含まれる通常モードのいずれかです。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \cdot}$

電磁振動子の単一モードをシステムの他の部分から分離して調べる。このような振動子は、量子化されると、量子調和振動子の数学によって記述される。^[1]量子振動子は、生成演算子と消滅演算子 を使用して記述される。すると、電場強度などの物理量は量子演算子になる。 ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$${\displaystyle {\hat {a}}}$

物理量と、それを表すのに使われる量子力学演算子を区別するために、演算子記号の上に「ハット」が使われます。したがって、たとえば、 が電場（の 1 つの要素）を表す場合、記号はを表す量子力学演算子を表します。この規則はこの記事全体で使われていますが、より高度なテキストでは一般的には使われていません。高度なテキストでは、単にテキストが乱雑になるだけなのでハットは避けられています。 ${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle {\ワイドハット {E}}_{i}}$${\displaystyle E_{i}}$

量子振動子モードでは、物理量を表す演算子のほとんどは、通常、生成演算子と消滅演算子で表現されます。この例では、電界強度は次のように表されます。

${\displaystyle {\ワイドハット {E}}_{i}=u_{i}^{*}(\mathbf {x} ,t){\ワイドハット {a}}^{\ダガー }+u_{i}( \mathbf {x} ,t){\ワイドハット {a}}}$^[2]

(ここで、x _{i は}xの位置の単一成分です)。電磁振動子のハミルトニアンは、この振動子の電磁場を量子化することによって求められ、その式は次のようになります。

${\displaystyle {\widehat {H}}=\hbar \omega ({\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}+1/2)}$^[2]

ここで、は（時空間）モードの周波数です。消滅演算子はボソン消滅演算子であり、次式で示される標準的な交換関係に従います。 ${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle [{\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger }]=1}$

消滅演算子の固有状態はコヒーレント状態と呼ばれます。

${\displaystyle {\widehat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle }$

消滅演算子はエルミート演算子ではないことに注意することが重要です。したがって、その固有値は複素数になることがあります。これは重要な結果をもたらします。 ${\displaystyle \alpha}$

最後に、光子数は、与えられた（空間的・時間的）モードu内の光子数を与える演算子によって与えられます。 ${\displaystyle {\widehat {N}}={\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}},}$

演算子は

${\displaystyle {\widehat {q}}={\tfrac {1}{2}}({\widehat {a}}^{\dagger }+{\widehat {a}})}$

そして

${\displaystyle {\widehat {p}}={\tfrac {i}{2}}({\widehat {a}}^{\dagger }-{\widehat {a}})}$

は求積法と呼ばれ、で表される複素振幅の実部と虚部を表します。^[1] 2つの求積法の間の交換関係は簡単に計算できます。 ${\displaystyle {\ワイドハット {a}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\widehat {q}},{\widehat {p}}\right]&={\tfrac {i}{4}}[{\widehat {a}}^{\dagger }+{\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger }-{\widehat {a}}]\\&={\tfrac {i}{4}}([{\widehat {a}}^{\dagger },{\widehat {a}}^{\dagger }]-[{\widehat {a}}^{\dagger },{\widehat {a}}]+[{\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger }]-[{\widehat {a}},{\widehat {a}}])\\&={\tfrac {i}{4}}(-(-1)+1)\\&={\tfrac {i}{2}}\end{aligned}}}$

これは、位置と運動量演算子の交換関係に非常によく似ています。したがって、直交位相を振動子の位置と運動量として考え、扱うことは有用ですが、実際にはそれらは「空間時間モードの電場振幅の同相および逆相成分」、つまりuであり、電磁振動子の位置や運動量とはまったく関係がありません (電磁振動子にとっての位置と運動量が何を意味するかを定義するのは難しいため)。^[1]

求積演算子およびの固有状態は求積状態と呼ばれます。これらは次の関係を満たします。 ${\displaystyle {\widehat {q}}}$${\displaystyle {\ワイドハット {p}}}$

• ${\displaystyle {\widehat {q}}|q\rangle =q|q\rangle }$ そして ${\displaystyle {\widehat {p}}|p\rangle =p|p\rangle }$

• ${\displaystyle \langle q|q'\rangle =\delta (qq')}$ そして ${\displaystyle \langle p|p'\rangle =\delta (pp')}$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|q\rangle \langle q|\,dq=1}$ そして ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|p\rangle \langle p|\,dp=1}$

これらは完全な基底関数系を形成するためです。

以下は上記から導き出される重要な関係であり、直交位相は複素数の実数部と虚数部（つまり、電磁振動子の同相成分と逆相成分） であるという解釈を正当化するものである。${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \langle \alpha |{\widehat {q}}|\alpha \rangle ={\frac {1}{2}}(\langle \alpha |{\widehat {a}}^{\dagger }|\alpha \rangle +\langle \alpha |{\widehat {a}}|\alpha \rangle )={\frac {1}{2}}(\alpha ^{*}\langle \alpha |\alpha \rangle +\alpha \langle \alpha |\alpha \rangle )}$

以下は、上記の評価に役立つ関係式であり、次のように表されます。

${\displaystyle \langle \alpha '|\alpha \rangle =e^{(-1/2)(|\alpha '|^{2}+|\alpha |^{2})+\alpha '^{*}\alpha }}$^[1]

これにより、次のことが分かります。

${\displaystyle \langle \alpha |{\widehat {q}}|\alpha \rangle ={\frac {1}{2}}(\alpha ^{*}+\alpha )=q_{\alpha }}$

${\displaystyle \langle \alpha |{\widehat {p}}|\alpha \rangle ={\frac {i}{2}}(\alpha ^{*}-\alpha )=p_{\alpha }}$上記と同様の方法で。

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}(\langle \alpha |{\widehat {q}}|\alpha \rangle +i\langle \alpha |{\widehat {p}}|\alpha \rangle )={\frac {1}{2}}(q_{\alpha }+ip_{\alpha })}$

したがって、これは求積法の単なる合成です。 ${\displaystyle \alpha }$

コヒーレント状態のもう一つの非常に重要な性質は、この形式化で非常に明らかになります。コヒーレント状態は光位相空間内の点ではなく、むしろその上の分布です。これは次のように見ることができます。

${\displaystyle q_{\alpha }=\langle \alpha |{\widehat {q}}|\alpha \rangle }$

そして

${\displaystyle p_{\alpha }=\langle \alpha |{\widehat {p}}|\alpha \rangle }$。

これらは、状態のおよびの期待値のみです。 ${\displaystyle {\widehat {q}}}$${\displaystyle {\widehat {p}}}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$

この求積法は、次式で示されるハイゼンベルクの不確定性原理に従うことが示されます。

${\displaystyle \Delta q\Delta p\geq 1/2}$^[1]（ここで、およびはそれぞれqとpの分布の分散である）${\displaystyle \Delta q}$${\displaystyle \Delta p}$

この不等式は必ずしも飽和している必要はなく、そのような状態の一般的な例としては、圧縮されたコヒーレント状態があります。コヒーレント状態は、の周りに局在する位相空間上のガウス確率分布です。 ${\displaystyle \alpha }$

コヒーレント状態を位相空間内で移動するための演算子を定義することができます。これにより、新しいコヒーレント状態が生成され、位相空間内を移動できるようになります。

位相シフト演算子は、コヒーレント状態を光位相空間内の角度で回転させます。この演算子は次のように表されます。 ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\widehat {U}}(\theta )=e^{-\imath \,\theta {\widehat {N}}}}$ ^[1]

ここで、考慮される放射モードの 数値演算子です。${\displaystyle {\widehat {N}}={\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}}$

重要な関係

${\displaystyle {\widehat {U}}(\theta )^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {U}}(\theta )={\widehat {a}}e^{-i\theta }}$

次のように導出されます。

${\displaystyle d/d\theta ({\widehat {U}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {U}})=i{\widehat {N}}{\widehat {U}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {U}}-i{\widehat {U}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {U}}{\widehat {N}}={\widehat {U}}^{\dagger }i[{\widehat {N}},{\widehat {a}}]{\widehat {U}}}$

${\displaystyle ={\widehat {U}}^{\dagger }i({\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {a}}-{\widehat {a}}{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}){\widehat {U}}={\widehat {U}}^{\dagger }i[{\widehat {a}}^{\dagger },{\widehat {a}}]{\widehat {a}}{\widehat {U}}=-i{\widehat {U}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {U}}}$

この微分方程式を解くと、目的の結果が得られます。

したがって、上記を使用すると、

${\displaystyle {\widehat {U}}(\theta )|\alpha \rangle =|\alpha e^{-i\theta }\rangle }$、

または位相空間におけるコヒーレント状態上の角度 theta による回転。以下はこれをより明確に示しています。

${\displaystyle {\widehat {a}}({\widehat {U}}|\alpha \rangle )={\widehat {U}}{\widehat {a}}e^{-i\theta }|\alpha \rangle }$

（これは位相シフト演算子がユニタリであるという事実を利用して得られる

${\displaystyle {\widehat {a}}({\widehat {U}}|\alpha \rangle )={\widehat {U}}\alpha e^{-i\theta }|\alpha \rangle =\alpha e^{-i\theta }({\widehat {U}}|\alpha \rangle )}$

したがって、

${\displaystyle (\alpha e^{-i\theta },{\widehat {U}}|\alpha \rangle )}$

は、​

${\displaystyle {\widehat {a}}{\widehat {U}}|\alpha \rangle }$。

このことから、

${\displaystyle (\alpha e^{-i\theta }=2^{-1/2}[q_{\alpha }\cos(\theta )+p_{\alpha }\sin(\theta )]+i2^{-1/2}[-q_{\alpha }\sin(\theta )+p_{\alpha }\cos(\theta )],{\widehat {U}}|\alpha \rangle =|\alpha e^{-i\theta }\rangle )}$

これは、位相シフト演算子がコヒーレント状態に与える影響をより明確に示す、固有対を表現する別の方法です。

変位演算子は、コヒーレント状態を別のコヒーレント状態に変換するユニタリ演算子です。変位演算子は次のように表されます。

${\displaystyle {\widehat {D}}(\alpha )=e^{\alpha {\widehat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\widehat {a}}}}$

その名前は重要な関係から来ています

${\displaystyle {\widehat {a}}(\alpha )\equiv {\widehat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\widehat {a}}{\widehat {D}}(\alpha )={\widehat {a}}+\alpha }$。

実際、仮に実数 を導入し、が 0 から 1 に変化したときに がどのように変化するかを考えてみましょう。について微分すると、 ${\displaystyle {\widehat {a}}(s)={\widehat {a}}(s\alpha )}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\widehat {a}}(s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\widehat {a}}(s)}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}{\widehat {a}}(s)=D^{\dagger }(s\alpha )[\alpha ^{*}{\widehat {a}}-\alpha {\widehat {a}}^{\dagger },{\widehat {a}}]D(s\alpha )=\alpha ,}$

となることによって${\displaystyle {\widehat {a}}(s)={\widehat {a}}(0)+s\alpha .}$

コヒーレント状態は消滅演算子と数の乗算演算子の両方の固有状態であるため、変位演算子がコヒーレント状態を移動させることは容易にわかる。より正確には、

${\displaystyle {\widehat {D}}(\alpha )|\beta \rangle =|\alpha +\beta \rangle .}$

実際、上で導出された関係は次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle {\widehat {a}}{\widehat {D}}(\alpha )={\widehat {D}}(\alpha )({\widehat {a}}+\alpha )}$

${\displaystyle {\widehat {a}}{\widehat {D}}(\alpha )|\beta \rangle ={\widehat {D}}(\alpha )({\widehat {a}}+\alpha )|\beta \rangle =(\alpha +\beta ){\widehat {D}}(\alpha )|\beta \rangle .}$

したがって、 は、固有値 を持つ消滅演算子の固有状態であり、したがって です。 ${\displaystyle {\widehat {D}}(\alpha )|\beta \rangle }$${\displaystyle \alpha +\beta }$${\displaystyle {\widehat {D}}(\alpha )|\beta \rangle =|\alpha +\beta \rangle }$

特に、

${\displaystyle {\widehat {D}}(-\alpha )|\alpha \rangle =|0\rangle }$

それは

${\displaystyle |\alpha \rangle ={\widehat {D}}(\alpha )|0\rangle }$。

これは、すべてのコヒーレント状態が基底状態（光学では真空状態でもある）の変位として得られることを示しているため重要です。

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