多次元尺度構成法

これは主座標分析（PCoA）、トーガーソン尺度法、またはトーガーソン・ゴワー尺度法とも呼ばれます。入力行列はアイテムのペア間の非類似度を示し、その構成が歪みと呼ばれる損失関数を最小化する座標行列を出力します。^{[ 2 ]}歪みは次のように与えられます 。$${\displaystyle {\text{Strain}}_{D}(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\Biggl (}{\frac {\sum _{i,j}{\bigl (}b_{ij}-x_{i}^{T}x_{j}{\bigr )}^{2}}{\sum _{i,j}b_{ij}^{2}}}{\Biggr )}^{1/2},}$$ どこ${\displaystyle x_{i}}$N次元空間におけるベクトルを表す。${\displaystyle x_{i}^{T}x_{j}}$は、 のスカラー積を表します。${\displaystyle x_{i}}$そして${\displaystyle x_{j}}$、 そして${\displaystyle b_{ij}}$は行列の要素です${\displaystyle B}$以下のアルゴリズムのステップ 2 で定義され、距離から計算されます。

古典的なMDSアルゴリズムの手順：

古典的なMDSは座標行列が${\displaystyle X}$固有値分解によって導出できる${\textstyle B=XX'}$マトリックス${\textstyle B}$近接行列から計算できる${\textstyle D}$二重センタリングを使用することにより。^{[ 4 ]}

1. 二乗近接行列を設定する${\textstyle D^{(2)}=[d_{ij}^{2}]}$
2. 二重センタリングを適用する：${\textstyle B=-{\frac {1}{2}}CD^{(2)}C}$センタリング行列を使用する${\textstyle C=I-{\frac {1}{n}}J_{n}}$、 どこ${\textstyle n}$オブジェクトの数、${\textstyle I}$は${\textstyle n\times n}$単位行列、そして${\textstyle J_{n}}$は${\textstyle n\times n}$すべて1の行列。
3. 決定する${\textstyle m}$最大固有値${\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{m}}$および対応する固有ベクトル${\textstyle e_{1},e_{2},...,e_{m}}$の${\textstyle B}$（どこ${\textstyle m}$は出力に必要な次元数です。
4. 今、${\textstyle X=E_{m}\Lambda _{m}^{1/2}}$、 どこ${\textstyle E_{m}}$は行列です${\textstyle m}$固有ベクトルと$\Lambda_m$は対角行列です${\textstyle m}$の固有値${\textstyle B}$。

古典的なMDSは距離を基準としているため、直接的な非類似度評価には適用できません。

これは古典的なMDSの上位概念であり、最適化手順をさまざまな損失関数や、重み付き距離が既知の入力行列などに一般化したものです。この文脈で有用な損失関数は「ストレス」と呼ばれ、これはストレス優位化と呼ばれる手順を使用して最小化されることがよくあります。メトリックMDSは、「ストレス」と呼ばれるコスト関数を最小化します。これは残差平方和です。

${\displaystyle {\text{ストレス}}_{D}(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\sqrt {\sum _{i\neq j=1,...,n}{\bigl (}d_{ij}-\|x_{i}-x_{j}\|{\bigr )}^{2}}}.}$

メトリックスケーリングは、ユーザーが制御する指数を持つべき乗変換を使用します。${\textstyle p}$:$d_{ij}^{p}}$そして${\textstyle -d_{ij}^{2p}}$距離の場合。古典的なスケーリングでは${\textstyle p=1.}$非計量スケーリングは、単調回帰を用いて非パラメトリックに非類似度の変換を推定することによって定義される。

メトリックMDSとは対照的に、非メトリックMDSは、項目間行列における非類似度と項目間のユークリッド距離との間の非パラメトリックな単調関係と、低次元空間における各項目の位置の両方を見つけ出す。

させて$d_{ij}}$点間の類似度${\displaystyle i,j}$。 させて${\displaystyle {\hat {d}}_{ij}=\|x_{i}-x_{j}\|}$埋め込み点間のユークリッド距離${\displaystyle x_{i},x_{j}}$。

さて、埋め込み点の各選択について${\displaystyle x_{i}}$そして単調増加関数である${\displaystyle f}$「ストレス」関数を定義します。

${\displaystyle S(x_{1},...,x_{n};f)={\sqrt {\frac {\sum _{i<j}{\bigl (}f(d_{ij})-{\hat {d}}_{ij}{\bigr )}^{2}}{\sum _{i<j}{\hat {d}}_{ij}^{2}}}}。$

要因${\displaystyle \sum _{i<j}{\hat {d}}_{ij}^{2}}$分母の は「崩壊」を防ぐために必要です。代わりに次のように定義しましょう。${\displaystyle S={\sqrt {\sum _{i<j}{\bigl (}f(d_{ij})-{\hat {d}}_{ij})^{2}}}}$すると、設定することで簡単に最小化できます。${\displaystyle f=0}$そして、すべての点を同じ点に集約する。

このコスト関数にはいくつかのバリエーションが存在する。MDSプログラムは、MDS解を得るために、自動的にストレスを最小化する。

非計量MDSアルゴリズムの中核は、2段階の最適化プロセスです。まず、近接度の最適な単調変換を見つける必要があります。次に、配置された点を最適に配置し、それらの距離がスケーリングされた近接度にできるだけ近づくようにします。

NMDSでは、2つの目的関数を同時に最適化する必要があります。これは通常、反復的に行われます。

1. 初期化${\displaystyle x_{i}}$ランダムに、例えば正規分布からサンプリングすることによって。
2. 停止条件が満たされるまで実行します（例：${\displaystyle S<\epsilon }$）
   1. 解く${\displaystyle f=\arg \min _{f}S(x_{1},...,x_{n};f)}$単調回帰によって。
   2. 解く${\displaystyle x_{1},...,x_{n}=\arg \min _{x_{1},...,x_{n}}S(x_{1},...,x_{n};f)}$勾配降下法またはその他の方法によって。
3. 戻る${\displaystyle x_{i}}$そして${\displaystyle f}$

ルイス・ガットマンの最小空間分析（SSA）は、非計量的な多次元尺度構成法（MDS）の一例である。

メトリック多次元尺度構成法の拡張であり、対象空間は任意の滑らかな非ユークリッド空間である。類似度が表面上の距離であり、対象空間が別の表面である場合、GMDSは一方の表面を他方の表面へ最小歪みで埋め込むことを可能にする。^{[ 5 ]}

MDSの拡張版であるSuper MDSは、距離と角度の両方の情報を取り入れて音源位置特定精度を向上させます。距離測定のみを使用する従来のMDSとは異なり、Super MDSは距離と到来角（AOA）データの両方を代数的に（反復なしで）処理して、より高い精度を実現します。^{[ 6 ]}

この方法は以下の手順で進められます。

1. 縮小エッジグラムカーネルを構築する:ネットワークの場合${\displaystyle N}$情報源${\displaystyle \eta }$次元空間において、エッジベクトルを次のように定義する。${\displaystyle v_{i}=x_{m}-x_{n}}$類似度は次のように表される。${\displaystyle k_{i,j}=\langle v_{i},v_{j}\rangle }$これらを完全なカーネルに組み立てる${\displaystyle K=VV^{T}}$そして、それを用いて縮小カーネルを形成する。${\displaystyle N-1}$独立ベクトル:${\displaystyle {\bar {K}}=[V]_{(N-1)\times \eta }\ [V]_{(N-1)\times \eta }^{T}}$、
2. 固有分解:の固有分解を計算します。${\displaystyle {\bar {K}}}$、
3. エッジベクトルの推定:エッジベクトルを次のように復元します${\displaystyle {\hat {V}}={\Bigl (}U_{M\times \eta }\,\Lambda _{\eta \times \eta }^{\odot {\frac {1}{2}}}{\Bigr )}^{T}}$、
4. プロクルステスアライメント： 取得${\displaystyle {\hat {V}}}$から${\displaystyle V}$プロクルステス変換を介して、
5. 座標の計算：以下の線形方程式を解いて座標の推定値を計算します。${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\vline \mathbf {0} _{1\times N-1}\\\hline \mathbf {[C]} _{N-1\times N}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}\\\hline [\mathbf {X} ]_{N-1\times \eta }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}\\\hline [\mathbf {V} ]_{N-1\times \eta }\end{pmatrix}},}$

この簡潔なアプローチは、複数のアンカーの必要性を減らし、角度制約を活用することで位置特定精度を向上させます。