アーセル関数

統計力学において、アーセル関数または連結相関関数は、ランダム変数のキュムラントです。連結されたファインマン図の合計によって得られることが多いです（すべてのファインマン図の合計は相関関数を与えます）。

Ursell 関数は、1927 年にこれを導入した Harold Ursellにちなんで命名されました。

X がランダム変数である場合、モーメント s _nとキュムラント (アーセル関数と同じ) u _{n は、}指数式で関連付けられるXの関数です。

${\displaystyle \operatorname {E} (\exp(zX))=\sum _{n}s_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n}u_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}\right)}$

(期待値は)。 ${\displaystyle \operatorname {E} }$

多変量確率変数のウルセル関数は、上記と同様に、多変量キュムラントと同じ方法で定義されます。^[1]

${\displaystyle u_{n}\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)=\left.{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\cdots {\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\log \operatorname {E} \left(\exp \sum z_{i}X_{i}\right)\right|_{z_{i}=0}}$

単一のランダム変数Xの Ursell 関数は、 X = X ₁ = … = X _nと設定することで得られます。

最初のいくつかは、

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}(X_{1})={}&\operatorname {E} (X_{1})\\u_{2}(X_{1},X_{2})={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\\u_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2}X_{3})-\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3}X_{1})-\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{1}X_{2})+2\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\\u_{4}\left(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right)={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2}X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{1}X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{4})-\operatorname {E} (X_{4})\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3})\\&-\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\operatorname {E} (X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1}X_{3})\operatorname {E} (X_{2}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1}X_{4})\operatorname {E} (X_{2}X_{3})\\&+2\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{4})+2\operatorname {E} (X_{1}X_{3})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{4})+2\operatorname {E} (X_{1}X_{4})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})+2\operatorname {E} (X_{2}X_{3})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{4})\\&+2\operatorname {E} (X_{2}X_{4})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{3})+2\operatorname {E} (X_{3}X_{4})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})-6\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{4})\end{aligned}}}$

パーカス (1975) は、複数のランダム変数の多重線型関数として考えられたアーセル関数は、変数X _{i が}2 つの空でない独立集合に分割できる場合は常に消滅するという事実によって、定数まで一意に決定されることを示しました。

• キュムラント

• グリム、ジェームズ、ジャッフェ、アーサー（1987）、量子物理学（第2版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-96476-8、MR  0887102
• Percus, JK (1975)、「イジングスピン格子の相関不等式」(PDF)、Comm. Math. Phys.、40 (3): 283–308、Bibcode :1975CMaPh..40..283P、doi :10.1007/bf01610004、MR  0378683、S2CID  120940116
• Ursell, HD (1927)、「不完全気体に対するギブス位相積分の評価」、Proc. Cambridge Philos. Soc.、23 (6): 685–697、Bibcode :1927PCPS...23..685U、doi :10.1017/S0305004100011191、S2CID  123023251