軌道力学

軌道力学または天体力学は、弾道学と天体力学をロケット、衛星、その他の宇宙船の運動に関する実際的な問題に応用したものです。これらの物体の運動は通常、ニュートンの運動法則と万有引力の法則から計算されます。軌道力学は、宇宙ミッションの設計と制御における中核的な分野です。

天体力学は、宇宙船と恒星系、惑星、衛星、彗星などの自然天体の両方を含む、重力の影響下にあるシステムの軌道力学をより広く扱います。軌道力学は、軌道操作、軌道面の変更、惑星間移動を含む宇宙船の軌道に焦点を当てており、ミッションプランナーが推進操作の結果を予測するために使用されます。

一般相対性理論は、軌道を計算するためのニュートンの法則よりも正確な理論であり、より高い精度が必要な場合や高重力の状況（太陽に近い軌道など）では、一般相対性理論を使用する必要がある場合があります。

20世紀に宇宙旅行が始まるまで、軌道力学と天体力学の間にはほとんど区別がありませんでした。スプートニクの当時、この分野は「宇宙力学」と呼ばれていました。^{[1]したがって、}ケプラーの問題（時間の関数として位置を決定する）を解くために使用されるものなどの基本的な技術は、両方の分野で同じです。さらに、これらの分野の歴史はほぼ完全に共有されています。

ヨハネス・ケプラーは、惑星の軌道を高い精度でモデル化することに初めて成功し、1605年にその法則を発表した。アイザック・ニュートンは、天体運動のより一般的な法則を『自然哲学の数学的原理』初版（1687年）で発表し、3回の観測から放物線を描く物体の軌道を見つける方法を示した。^[2]これはエドモンド・ハレーが、彼の名前を冠した彗星を含むさまざまな彗星の軌道を確立するために使用した。ニュートンの逐次近似法は、1744年にレオンハルト・オイラーによって解析的方法に形式化され、オイラーの研究は1761年から1777年にかけてヨハン・ランバートによって楕円軌道と双曲軌道に一般化された。

軌道決定におけるもう一つの画期的な出来事は、1801年にカール・フリードリヒ・ガウスが準惑星ケレスの「発見」に協力したことです。ガウスの方法は、わずか3つの観測値（赤経と赤緯のペアの形）を使用して、軌道を完全に表す6つの軌道要素を見つけることができました。軌道決定の理論はその後発展し、今日ではGPS受信機や、新たに観測された小惑星の追跡とカタログ作成に使用されています。現代の軌道決定と予測は、あらゆる種類の衛星や宇宙探査機の運用に使用されています。それらの将来の位置を高い精度で知る必要があるためです。

天体力学は、1930 年代に天文学者のサミュエル・ヘリックによって開発されました。ヘリックはロケット科学者のロバート・ゴダードに相談し、宇宙航行技術の研究を続けるよう奨励されました。ゴダードは、宇宙航行技術が将来必要になると考えていたからです。1960 年代には、天体力学の数値技術が新しい強力なコンピュータと結びつき、人類は月への旅と帰還の準備が整いました。

以下の経験則は、以下に概説する天体力学の標準的な仮定の下で古典力学によって近似される状況に役立ちます。ここで説明する特定の例は、惑星を周回する衛星ですが、経験則は、太陽などの恒星の周りの小天体の軌道など、他の状況にも適用できます。

• ケプラーの惑星運動の法則：
  • 軌道は楕円形で、重い天体が楕円の 1 つの焦点に位置します。特殊な例として、惑星が中心にある円軌道 (円は楕円の特殊な例です) があります。
  • 惑星から衛星まで引いた線は、軌道のどの部分を測定するかに関係なく、等しい時間で等しい面積を描きます。
  • 衛星の軌道周期の二乗は、惑星からの平均距離の三乗に比例します。
• 力を加えなければ（ロケットエンジンの点火など）、衛星の軌道の周期や形状は変化しません。
• 低軌道（または楕円軌道の低い部分）にある衛星は、惑星に近いほど重力が強くなるため、高軌道（または楕円軌道の高い部分）にある衛星よりも惑星の表面に対して速く移動します。
• 衛星の軌道上の 1 点のみに推力を適用すると、衛星はその後の各軌道で同じ点に戻りますが、軌道の残りの部分は変化します。したがって、一度だけ短時間推力を適用しただけでは、ある円軌道から別の円軌道に移動することはできません。
• 円軌道から、衛星の運動と反対方向に加えられた推力は、軌道を楕円軌道に変えます。衛星は下降し、発射地点から 180 度離れた最低軌道点 (近点) に到達し、その後上昇します。結果として得られる軌道の周期は、元の円軌道の周期よりも短くなります。衛星の運動方向に加えられた推力は、発射地点から 180 度離れた最高点 (遠点) を持つ楕円軌道を作成します。結果として得られる軌道の周期は、元の円軌道の周期よりも長くなります。

軌道力学の法則の結果は、直感に反することもあります。たとえば、2 機の宇宙船が同じ円軌道上にあり、ドッキングを希望する場合、非常に接近していない限り、後続の宇宙船は単にエンジンを点火して速度を上げることはできません。これにより、軌道の形状が変わり、高度が上昇して先行の宇宙船に比べて速度が実際に低下し、目標を逃してしまいます。ドッキング前の宇宙ランデブーでは、通常、複数の軌道周期で正確に計算されたエンジン点火が複数回必要となり、完了するまでに数時間、場合によっては数日かかります。

天体力学の標準的な仮定が成り立たない限り、実際の軌道は計算されたものと異なります。たとえば、単純な大気の抵抗は、低地球軌道上の物体にとってもう一つの複雑な要因です。

これらの経験則は、連星系（n体問題を参照）など、質量が似ている2つ以上の物体を記述する場合には明らかに不正確です。天体力学では、より一般的な法則を使用して、より幅広い状況に適用できます。ニュートンの法則から数学的に導き出されるケプラーの惑星運動の法則は、非重力の力が存在しない2つの重力物体の運動を記述する場合にのみ厳密に当てはまります。また、放物線や双曲の軌道も記述します。星のような大きな物体が近接している場合は、古典力学と一般相対性理論の違いも重要になります。

天体力学の基本法則はニュートンの万有引力の法則とニュートンの運動の法則であり、基本的な数学的ツールは微分積分です。

ニュートンの枠組みでは、軌道と軌跡を支配する法則は原則として時間対称です。

天体力学における標準的な仮定には、外部の物体からの干渉がない、物体の 1 つの質量が無視できる、その他の力 (太陽風、大気抵抗など) が無視できる、などがあります。これらの単純化した仮定を使わなくても、より正確な計算は可能ですが、より複雑になります。精度が上がっても、計算に十分な違いが生まれないことが多く、その価値はありません。

ケプラーの惑星運動の法則は、軌道を回る物体が中心の引力のみを受けると仮定すると、ニュートンの法則から導き出されます。エンジンの推力または推進力が存在する場合、ニュートンの法則は適用されますが、ケプラーの法則は無効になります。推力が停止すると、結果として生じる軌道は異なりますが、前述のケプラーの法則によって再び説明されます。3 つの法則は次のとおりです。

1. すべての惑星の軌道は、太陽を焦点の 1 つとする楕円形です。
2. 惑星と太陽を結ぶ線は、等しい時間間隔で等しい面積を描きます。
3. 惑星の公転周期の二乗は、軌道の半長径の三乗に正比例します。

脱出速度の式は次のように導かれる。宇宙船の比エネルギー（単位質量あたりのエネルギー）は、比位置エネルギーと比運動エネルギーの2つの要素から構成される。質量 Mの惑星に関連する比位置エネルギーは次のように与えられる。

${\displaystyle \epsilon _{p}=-{\frac {GM}{r}}\,}$

ここで、Gは重力定数、r は2 つの物体間の距離です。

一方、物体の 特定の運動エネルギーは次のように表される。

${\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {v^{2}}{2}}\,}$

ここで、vは速度です。

そして、全比軌道エネルギーは

${\displaystyle \epsilon =\epsilon _{k}+\epsilon _{p}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}\,}$

エネルギーは保存されるので、中心天体の中心から当該宇宙船までの距離 に依存することはできない。つまり、特定の軌道エネルギーを一定に保つためには、 v はrとともに変化しなければならない。したがって、この量が非負である場合にのみ物体は無限大に到達できる。これは次のことを意味する。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle v\geq {\sqrt {\frac {2GM}{r}}}.}$

地球表面からの脱出速度は約 11 km/s ですが、太陽の引力があるため、この速度では天体を無限に遠くまで送ることはできません。太陽から太陽と地球の距離に等しい距離にあるが地球に近くない場所から太陽系から脱出するには約 42 km/s の速度が必要ですが、地球から打ち上げられた宇宙船が (推進システムによる) さらに加速して地球の軌道と同じ方向に移動する場合は、地球の軌道速度が「部分的に」認められます。

軌道は円錐曲線なので、与えられた角度における物体の距離の公式は、極座標におけるその曲線の公式に対応し、次のようになります。

${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}}$

${\displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})\,}$

${\displaystyle p=h^{2}/\mu \,}$

${\displaystyle \mu }$は重力パラメータと呼ばれます。および は物体 1 と 2 の質量であり、 は物体 1 に対する物体 2 の特定の角運動量です。 パラメータは真近点角、は半直角角、は軌道離心率と呼ばれ、これらはすべて 6 つの独立した軌道要素のさまざまな形式から取得できます。 ${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle p}$${\displaystyle e}$

中心物体の重力が支配的なすべての境界軌道は、本質的に楕円形です。この特別なケースは、離心率がゼロの楕円である円軌道です。質量Mの重心から距離rにある円軌道上の物体の速度の式は、次のように導き出されます。

遠心加速度は重力加速度と一致します。

それで、$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{r}}={\frac {GM}{r^{2}}}}$$

したがって、

${\displaystyle \ v={\sqrt {{\frac {GM}{r}}\ }}}$

ここで、は重力定数であり、 ${\displaystyle G}$

6.6743 × 10 ⁻¹¹ m ³ /(kg·s ² )

この式を正しく使用するには、単位が一貫している必要があります。たとえば、はキログラムで、 はメートルでなければなりません。答えはメートル毎秒になります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$

この量は標準重力パラメータと呼ばれることが多く、太陽系の惑星や衛星ごとに値が異なります。 ${\displaystyle GM}$

円軌道速度がわかれば、脱出速度は次のように掛けることで簡単に求められます。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \ v={\sqrt {2}}{\sqrt {{\frac {GM}{r}}\ }}={\sqrt {{\frac {2GM}{r}}\ }}.}$

重力から逃れるためには、運動エネルギーは少なくとも負の位置エネルギーに一致する必要があります。したがって、$${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {GMm}{r}}}$$

${\displaystyle v={\sqrt {{\frac {2GM}{r}}\ }}.}$

の場合、自由軌道方程式の分母は真の近点 に応じて変化しますが、正のままであり、ゼロになることはありません。したがって、相対位置ベクトルは有界のままであり、近点 で最小の大きさを持ち、次のように表されます。 ${\displaystyle 0<e<1}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle r_{p}}$

${\displaystyle r_{p}={\frac {p}{1+e}}}$

最大値は のときに達する。この点は遠点と呼ばれ、その半径座標は で表され、 ${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$${\displaystyle r_{a}}$

${\displaystyle r_{a}={\frac {p}{1-e}}}$

下式に示すように、 近点から遠点までの遠点線に沿って測った距離を とします。${\displaystyle 2a}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle 2a=r_{p}+r_{a}}$

上記の式を代入すると次のようになります。

${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2}}}}$

a は楕円の長半径です。 を解き、その結果を上記の円錐曲線の式に代入すると、次のようになります。 ${\displaystyle p}$

${\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \theta }}}$

標準的な仮定のもとでは、楕円軌道に沿って移動する物体の 軌道周期（ ）は次のように計算できます。${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}}$

どこ：

• ${\displaystyle \mu \,}$は標準的な重力パラメータであり、
• ${\displaystyle a\,\!}$半長径の長さです。

結論:

• 軌道周期は、軌道半径が長半径（ ）に等しい円軌道の周期に等しい。${\displaystyle a\,\!}$
• 与えられた軌道長半径に対して、軌道周期は離心率に依存しません（ケプラーの第三法則も参照）。

標準的な仮定の下では、楕円軌道に沿って移動する物体の軌道速度（ ）は、Vis-viva方程式から次のように計算できます。 ${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

どこ：

• ${\displaystyle \mu \,}$は標準的な重力パラメータであり、
• ${\displaystyle r\,}$軌道上の天体間の距離です。
• ${\displaystyle a\,\!}$半長径の長さです。

双曲軌道の速度方程式は です。 ${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}+\left\vert {1 \over {a}}\right\vert \right)}}}$

標準的な仮定の下では、楕円軌道の特定の軌道エネルギー（）は負であり、この軌道の軌道エネルギー保存方程式（Vis-viva方程式）は次の形を取ることができます。 ${\displaystyle \epsilon \,}$

${\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}$

どこ：

• ${\displaystyle v\,}$軌道を周回する物体の速度である。
• ${\displaystyle r\,}$は、中心天体の質量中心から周回天体までの距離である。
• ${\displaystyle a\,}$は半長径であり、
• ${\displaystyle \mu \,}$は標準的な重力パラメータです。

結論:

• 与えられた半長軸に対して、特定の軌道エネルギーは離心率に依存しません。

ビリアル定理を使用すると次のようになります。

• 特定の位置エネルギーの時間平均は${\displaystyle 2\epsilon }$
• 時間平均は${\displaystyle r^{-1}}$${\displaystyle a^{-1}}$
• 特定の運動エネルギーの時間平均は${\displaystyle -\epsilon }$

離心率が 1 の場合、軌道方程式は次のようになります。

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}{{1} \over {1+\cos \theta }}}$

どこ：

• ${\displaystyle r\,}$は、中心天体の質量中心からの周回天体の半径距離である。
• ${\displaystyle h\,}$は軌道を周回する物体の特定の角運動量であり、
• ${\displaystyle \theta \,}$軌道上の物体の真の異常性は、
• ${\displaystyle \mu \,}$は標準的な重力パラメータです。

真の異常度 θ が 180° に近づくと、分母はゼロに近づき、r は無限大に近づきます。したがって、 e =1となる軌道のエネルギーはゼロとなり、次のように表されます。

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over {r}}=0}$

どこ：

• ${\displaystyle v\,}$軌道を周回する物体の速度です。

言い換えると、放物線上の任意の場所の速度は次のようになります。

${\displaystyle v={\sqrt {2\mu \over {r}}}}$

の場合、軌道公式は、 ${\displaystyle e>1}$

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}{{1} \over {1+e\cos \theta }}}$

は双曲軌道の幾何学を記述する。この系は2つの対称曲線から構成される。軌道を周回する物体はそのうちの1つを占め、もう1つはその空の数学的イメージである。明らかに、上の式の分母は のときゼロになる。この真の異常値を と表記する。 ${\displaystyle \cos \theta =-1/e}$

${\displaystyle \theta _{\infty }=\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)}$

真の異常が に近づくにつれて、半径距離は無限大に近づくため、これは漸近線の真の異常として知られています。 が90° と 180° の間にあることに注目してください。三角関数の恒等式から次のようになります。 ${\displaystyle \theta _{\infty }}$${\displaystyle \theta _{\infty }}$${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$

${\displaystyle \sin \theta _{\infty }={\frac {1}{e}}{\sqrt {e^{2}-1}}}$

標準的な仮定の下では、双曲軌道の特定の軌道エネルギー( ) はゼロより大きく、この種の軌道の 軌道エネルギー保存方程式は次のようになります。${\displaystyle \epsilon \,}$

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over {r}}={\mu \over {-2a}}}$

どこ：

• ${\displaystyle v\,}$は軌道を周回する物体の軌道速度であり、
• ${\displaystyle r\,}$は中心天体からの周回天体の半径距離であり、
• ${\displaystyle a\,}$は軌道の双曲線の負の長半径であり、
• ${\displaystyle \mu \,}$は標準的な重力パラメータです。

標準的な仮定の下では、双曲軌道に沿って移動する物体は、無限遠で双曲過剰速度（ ）と呼ばれる軌道速度に達します。これは次のように計算できます。 ${\displaystyle r=}$${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\mu \over {-a}}}\,\!}$

どこ：

• ${\displaystyle \mu \,\!}$は標準的な重力パラメータであり、
• ${\displaystyle a\,\!}$軌道の双曲線の負の長半径です。

双曲過剰速度は、特定の軌道エネルギーまたは特性エネルギーと次のよう に関係している。

${\displaystyle 2\epsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}\,\!}$

軌道を計算する方法の 1 つ (主に歴史的に使用されている) は、ケプラーの方程式を使用することです。

${\displaystyle M=E-\epsilon \cdot \sin E}$。

ここで、Mは平均異常、Eは離心異常、離心率です。 ${\displaystyle \epsilon }$

ケプラーの公式では、近点から角度 (真近点角)に到達する飛行時間を求める作業は、次の2 つのステップに分かれます。 ${\displaystyle \theta }$

1. 真の異常値から偏心異常値を計算する${\displaystyle E}$${\displaystyle \theta }$
2. 偏心異常から飛行時間を計算する${\displaystyle t}$${\displaystyle E}$

特定の時刻における離心率の異常値を見つけること（逆問題）はより困難です。ケプラーの方程式はにおいて超越方程式であるため、代数的にについて解くことはできません。ケプラーの方程式は、逆変換によって について解析的に解くことができます。${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

ケプラーの方程式の解は、 のすべての実数値に対して有効です。 ${\displaystyle \textstyle \epsilon }$

$${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left[\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right]\right),&\epsilon =1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left[\left({\frac {\theta }{\theta -\epsilon \cdot \sin(\theta )}}\right)^{n}\right]\right),&\epsilon \neq 1\end{cases}}}$$

これを評価すると次のようになります。

$${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle x+{\frac {1}{60}}x^{3}+{\frac {1}{1400}}x^{5}+{\frac {1}{25200}}x^{7}+{\frac {43}{17248000}}x^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}x^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}x^{13}\cdots \ |\ x=(6M)^{\frac {1}{3}},&\epsilon =1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-\epsilon }}M-{\frac {\epsilon }{(1-\epsilon )^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225\epsilon ^{3}+54\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025\epsilon ^{4}+4131\epsilon ^{3}+243\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}\cdots ,&\epsilon \neq 1\end{cases}}}$$

あるいは、ケプラーの方程式を数値的に解くこともできます。まず、飛行時間の値を推測して解き、次に、必要な精度が達成されるまで、計算された飛行時間を目的の値に近づけるように調整します。通常、比較的高速な収束を実現するために ニュートン法が使用されます。${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

この方法の主な難点は、極端な楕円軌道の場合、収束に非常に長い時間がかかることです。放物線に近い軌道の場合、離心率はほぼ 1 であり、平均近点の式に を代入すると、ほぼ等しい 2 つの値を減算することになり、精度が低下します。円に近い軌道の場合、そもそも近点を見つけることが困難です (そして、真に円の軌道には近点がまったくありません)。さらに、この式は楕円軌道を前提として導出されたため、放物線軌道や双曲軌道には当てはまりません。これらの難しさから、以下に説明する普遍的な変数定式化が開発されました。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle e=1}$${\displaystyle E-\sin E}$

共面転送楕円のデルタ vを計算するなどの単純な手順の場合、従来のアプローチ^{[説明が必要]}はかなり効果的です。飛行時間などの他の方法は、特に円に近い軌道や双曲軌道の場合ははるかに複雑です。

ホーマン遷移軌道だけでは、惑星間の軌道の近似としては不十分です。惑星自体の重力を無視しているからです。惑星の重力は、惑星付近での宇宙船の挙動を左右し、ほとんどの場合、ホーマンはデルタ v を著しく過大評価し、非常に不正確な噴射タイミングの指示を生成します。デルタ v の一次近似を得るための比較的簡単な方法は、「パッチ円錐近似」技術に基づいています。軌道が通過する空間の各領域で支配的な重力物体を 1 つ選択し、その領域でのその物体の影響のみをモデル化する必要があります。たとえば、地球から火星への軌道では、軌道が地球の重力が太陽の重力を支配しなくなる距離に達するまで、地球の重力のみを考慮することから始めます。宇宙船には、惑星間空間への道を送るための脱出速度が与えられます。次に、軌道が火星付近に到達するまで、太陽の重力のみを考慮する。この段階では、遷移軌道モデルが適切である。最後に、火星の重力が宇宙船の挙動を支配する軌道の最終部分では、火星の重力のみを考慮する。宇宙船は双曲軌道で火星に接近し、最後の逆行噴射で宇宙船は火星に捕らえられるほど減速する。フリードリヒ・ザンダーは、今日重力アシストとして知られている、惑星間旅行に中間天体の重力を利用することを提案した際、パッチ円錐アプローチを天体力学の目的で最初に適用した人物の1人であった。^[3]

「近隣地域」（または影響圏）の大きさは半径に応じて変化します。 ${\displaystyle r_{SOI}}$

${\displaystyle r_{SOI}=a_{p}\left({\frac {m_{p}}{m_{s}}}\right)^{2/5}}$

ここで、は太陽に対する惑星の軌道の長半径であり、およびはそれぞれ惑星と太陽の 質量です。${\displaystyle a_{p}}$${\displaystyle m_{p}}$${\displaystyle m_{s}}$

この簡略化は、燃料必要量の大まかな見積もりや飛行時間の大まかな見積もりを計算するには十分ですが、宇宙船を目的地まで誘導するには一般的に十分な精度ではありません。そのためには、数値的手法が必要です。

2 体問題を解く従来のアプローチの計算上の欠点に対処するために、ユニバーサル変数定式化が開発されました。これは、円形、楕円形、放物線、双曲形の場合に同様に機能し、どの軌道でも積分すると微分方程式がうまく収束します。また、摂動論を組み込んだ問題にもうまく一般化されます。

ユニバーサル変数定式化は、パラメータ変化手法とうまく連携します。ただし、6 つのケプラーの軌道要素の代わりに、別の軌道要素セットを使用します。つまり、特定の時代における衛星の初期位置と速度ベクトルとです。2 体シミュレーションでは、これらの要素は、ユニバーサル変数定式化を使用して将来の任意の時点での衛星の位置と速度を計算するのに十分です。逆に、衛星の軌道上の任意の瞬間にその位置と速度を測定し、ユニバーサル変数アプローチを使用して、その時代における衛星の初期位置と速度を決定できます。完全な 2 体運動では、これらの軌道要素は不変です (ケプラーの要素と同様に)。 ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle t=0}$

しかし、摂動により軌道要素は時間とともに変化します。したがって、位置要素は と書かれ、速度要素は と書かれ、時間とともに変化することを示します。摂動の影響を計算する手法は、関数 およびの正確な式または近似式を見つけることです。 ${\displaystyle x_{0}(t)}$${\displaystyle v_{0}(t)}$${\displaystyle x_{0}(t)}$${\displaystyle v_{0}(t)}$

以下は、実際の軌道を球形の地球に基づく単純なモデルと異なるものにするいくつかの効果です。それらのほとんどは、対応する 2 体効果に比べて小さいため、摂動論によって短い時間スケール (おそらく数千軌道未満) で処理できます。

• 赤道の膨らみは交点と近地点の歳差運動を引き起こす
• 重力場のテッセラル調和関数^{[4]は追加の摂動を導入する}
• 月と太陽の重力の摂動により軌道が変化する
• 大気抵抗は、補充推力を使用しない限り、半長径を減少させる。

非常に長い時間スケール（おそらく数百万回の軌道）では、小さな摂動でさえ支配的になり、動作が混沌とする可能性があります。一方、さまざまな摂動は、賢い天体力学者によって調整され、ステーションキーピング、地上トラックの維持または調整、または低高度で選択されたターゲットをカバーするための近地点の位相調整などの軌道維持タスクを支援することができます。

宇宙飛行において、軌道操作とは推進システムを使用して宇宙船の軌道を変更することです。地球から遠く離れた宇宙船、たとえば太陽の周りを周回する宇宙船の場合、軌道操作は深宇宙操作 (DSM) と呼ばれます。^{[本文では未検証]}

トランスファー軌道は通常、宇宙船が 1 つの軌道 (通常はほぼ円形) から別の軌道に移動できるようにする楕円軌道です。通常、開始時に 1 回の噴射、終了時に 1 回の噴射が必要で、中間で 1 回以上の噴射が必要になる場合もあります。

• ホーマン遷移軌道には最小限のデルタ v が必要です。
• 軌道比が11.94以上の場合、双楕円軌道遷移はホーマン遷移よりも少ないエネルギーで済むが[ 5 ^]、ホーマン遷移よりも移動時間が長くなるという欠点がある。
• より高速な転送では、デルタ v が高くなりますが、元の軌道と転送先の軌道の両方と交差する任意の軌道を使用できます。
• 低推力エンジン（電気推進など）を使用すると、初期軌道が最終的な目的の円軌道と超同期している場合、遠地点での速度の方向に連続的に推力を加えることで最適な移行軌道が達成されます。ただし、この方法は推力が低いため、時間がかかります。^[6]

非共面軌道間の軌道遷移の場合、平面変更推力は、軌道平面が交差する点 (「ノード」) で実行する必要があります。目標は、速度ベクトルの方向を平面間の角度と同じ角度だけ変更することであるため、この推力のほぼすべては、速度ベクトルの大きさが最も低い、遠点近くのノードにある宇宙船のときに実行する必要があります。ただし、軌道傾斜角の変更のごく一部は、目的の傾斜角変更の方向に遷移軌道投入推力をわずかに傾けることで、近点近くのノードで実行できます。これが機能するのは、小さな角度の余弦がほぼ 1 であるためです。その結果、宇宙船が近点近くで高速であるにもかかわらず、小さな平面変更は事実上「無料」になります。これは、わずかに傾いた推力の増加によるオーベルト効果が、軌道法線軸の推力のコストを上回るためです。

重力アシストでは、宇宙船は惑星のそばをスイングし、異なる方向、異なる速度で出発します。これは、より多くの燃料を運ぶ代わりに、宇宙船の速度を上げたり下げたりするのに役立ちます。

この操作は、遠距離での弾性衝突で近似できますが、フライバイでは物理的な接触は発生しません。ニュートンの第 3 法則 (等しく反対方向の反応) により、宇宙船が獲得した運動量は惑星によって失われるか、またはその逆になります。ただし、惑星の質量は宇宙船よりもはるかに大きいため、惑星の軌道への影響はごくわずかです。

特に重力アシスト操作中に、オーバート効果を利用することができます。この効果は、推進システムの使用が高速でより効果的に機能し、したがって、重力物体に近いときにコース変更を最も効果的に行うというものです。これにより、有効デルタ vが倍増します。

現在では、太陽系の惑星や衛星の重力の非線形性を利用して、コンピュータで経路を検索することが可能となっている。例えば、地球の高軌道から火星へ、地球のトロヤ群点の 1 つに近い場所を通過する軌道を描くことが可能である。^[要出典]総称して惑星間輸送ネットワークと呼ばれるこれらの非常に摂動的な、さらには混沌とした軌道の軌道は、原理的にはラグランジュ点に到達するために必要な燃料以外は必要としない (実際には軌道を維持するには何らかの進路修正が必要である)。これらに関する最大の問題は、非常に遅く、何年もかかる可能性があることである。さらに、打ち上げ時期の間隔が非常に離れている可能性がある。

しかし、それらはジェネシスなどのプロジェクトで採用されてきました。この宇宙船は地球-太陽L ₁地点を訪れ、非常に少量の推進剤を使用して帰還しました。

• 天体力学
• カオス理論
• ケプラー軌道
• ラグランジュ点
• 機械工学
• N体問題
• ロシュ限界
• 宇宙船の推進
• 普遍的な変数定式化

• カーティス、ハワード D. (2009)。『工学部学生のための軌道力学』第 2 版。ニューヨーク: エルゼビア。ISBN 978-0-12-374778-5。
• ベイト、ロジャー R.; ミューラー、ドナルド D.; ホワイト、ジェリー E. (1971)。『天体力学の基礎』ニューヨーク: ドーバー出版。ISBN 0-486-60061-0。

• Sellers, Jerry J.; Astore, William J.; Giffen, Robert B.; Larson, Wiley J. (2004)。Kirkpatrick, Douglas H. (編)。Understanding Space: An Introduction to Astronautics (第 2 版)。McGraw Hill。p. 228。ISBN 0-07-242468-0。

• 「航空大学宇宙入門、第 8 章 - 軌道力学」(PDF)。USAF。2013年 2 月 14 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2007 年 10 月 13 日閲覧。

多くのオプション、手順、およびサポート理論は、次のような標準的な書籍で説明されています。

• ベイト, RR; ミューラー, DD; ホワイト, JE (1971)。『天体力学の基礎』。ドーバー出版、ニューヨーク。ISBN 978-0-486-60061-1。
• Vallado, DA (2001).天体力学の基礎と応用(第 2 版). Springer. ISBN 978-0-7923-6903-5。
• バティン、RH (1999)。天体力学の数学と方法への入門。アメリカ航空学会、ワシントン DC ISBN 978-1-56347-342-5。
• Chobotov, VA編 (2002)。軌道力学（第3版）。アメリカ航空学会、ワシントンDC ISBN 978-1-56347-537-5。
• ヘリック、S. (1971)。天体力学：軌道決定、宇宙航行、天体力学、第1巻。ヴァン・ノストランド・ラインホールド、ロンドン。ISBN 978-0-442-03370-5。
• ヘリック、S. (1972)。天体力学：軌道修正、摂動理論、積分、第2巻。ヴァン・ノストランド・ラインホールド、ロンドン。ISBN 978-0-442-03371-2。
• カプラン、MH (1976)。現代の宇宙船のダイナミクスと制御。ワイリー、ニューヨーク。ISBN 978-0-471-45703-9。
• トム・ログスドン (1997)。軌道力学。ワイリー・インターサイエンス、ニューヨーク。ISBN 978-0-471-14636-0。
• ジョン・E・プルッシング＆ブルース・A・コンウェイ（1993年）。軌道力学。オックスフォード大学出版局、ニューヨーク。ISBN 978-0-19-507834-3。
• MJ Sidi (2000)。宇宙船のダイナミクスと制御。ケンブリッジ大学出版局、ニューヨーク。ISBN 978-0-521-78780-2。
• WE ヴィーゼル (1996)。宇宙飛行力学(第 2 版)。McGraw-Hill、ニューヨーク。ISBN 978-0-07-070110-6。
• JP Vinti (1998)。軌道と天体力学。アメリカ航空学会、バージニア州レストン。ISBN 978-1-56347-256-5。
• P. グルフィル (2006)。『現代の天体力学』、バターワース・ハイネマン。ISBN 978-0-12-373562-1。

• 軌道力学（ロケットと宇宙技術）
• Java 天体力学ツールキット
• 天体力学に基づく宇宙交通とイベントの知識グラフ