ビアンキグループ

数学において、ビアンキ群は次のような形の 群である。

${\displaystyle PSL_{2}({\mathcal {O}}_{d})}$

ここで、 d は正の平方自由整数です。ここで、PSL は射影特殊線型群を表し、虚数二次体の整数環です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$

この群は、現在ではクライン群と呼ばれる、の離散部分群 の自然なクラスとして、ビアンキ(1892)によって初めて研究されました。 ${\displaystyle PSL_{2}(\mathbb {C} )}$

の部分群として、ビアンキ群は3次元双曲空間の向き保存等長写像として機能します。商空間は、有限体積を持つ非コンパクトな双曲3次元多様体であり、ビアンキオービフォールドとも呼ばれます。基本体 のデデキントゼータ関数による体積の正確な式は、次のようにハンバートによって計算されました。をの判別式、をへの不連続作用とすると、 ${\displaystyle PSL_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$${\displaystyle M_{d}=PSL_{2}({\mathcal {O}}_{d})\backslash \mathbb {H} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$${\displaystyle \Gamma =SL_{2}({\mathcal {O}}_{d})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \operatorname {vol} (\Gamma \backslash \mathbb {H} )={\frac {|D|^{3/2}}{4\pi ^{2}}}\zeta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}(2)\ .}$

の尖点の集合はの類群と一対一である。すべての非ココンパクト算術クライン群はビアンキ群と弱通約可能であることはよく知られている。^[1]${\displaystyle M_{d}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$

• ビアンキ、ルイージ（1892年）。 「Sui gruppi di sostituzioni lineari con係数i appartenenti a corpi quadratici immaginari」。数学アンナレン。40 (3)。シュプリンガー ベルリン / ハイデルベルク: 332–412。土井：10.1007/BF01443558。ISSN  0025-5831。JFM  24.0188.02。S2CID  120341527。
• Elstrodt, Juergen; Grunewald, Fritz; Mennicke, Jens (1998). Groups Acting On Hyperbolic Spaces . Springer Monographs in Mathematics. Springer Verlag . ISBN 3-540-62745-6.ZBL0888.11001  。​
• ファイン、ベンジャミン (1989)。ビアンキ群の代数理論。純粋および応用数学のモノグラフと教科書。第 129 巻。ニューヨーク: マルセル デッカー社。ISBN 978-0-8247-8192-7. MR  1010229. Zbl  0760.20014.
• Fine, B. (2001) [1994]、「ビアンキ群」、数学百科事典、EMS Press
• マクラクラン、コリン; リード、アラン W. (2003)。双曲型 3 次元多様体の算術。数学大学院テキスト。第 219 巻。シュプリンガー出版。ISBN 0-387-98386-4.ZBL1025.57001  。​

• アレン・ハッチャー、ビアンキ・オービフォールズ