古典的なモジュラー曲線

数論において、古典的モジュラー曲線は、次式で与えられる既約平面代数曲線である。

Φn (x, y) = 0

、

$(x, y) = (j (nτ), j (τ))$ は曲線上の点です。ここで $j (τ) は$ $j$ 不変量を表します。

この曲線は $X 0 (n)$ と呼ばれることもありますが、この表記法はさまざまなモデルが存在する抽象的な代数曲線に使用されることが多いです。関連するオブジェクトとして、古典的なモジュラー多項式があります。これは、 $Φ n (x, x)$ として定義される 1 変数の多項式です。

古典的なモジュラー曲線は、モジュラー曲線のより大きな理論の一部です。特に、複素上半平面 $H$ のコンパクト化された商として別の表現を持ちます。

モジュラー曲線の幾何学

$古典的なモジュラー曲線（以下、 X 0 (n)$ と呼ぶ）は、 $n$ $> 1$ のとき次数が $2 n$ 以上であり、 $n が$ 素数のときのみ等しくなります。多項式 $Φ$ $n は$ 整数係数を持つため、すべての体上で定義されます。ただし、係数が十分に大きいため、曲線の計算作業は困難になる可能性があります。 $Z$ $[$ $y$ $]$ に係数を持つ $xの多項式として、次数$ $ψ$ $($ $n$ $)$ を持ちます。ここで、 $ψ は$ デデキントの psi 関数です。 $Φ$ $n$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = Φ$ $n$ $($ $y$ $,$ $x$ $)$ であるため、 $X$ $0$ $($ $n$ $) は$ 直線 $y$ $=$ $x$ の周りに対称であり、古典的なモジュラー多項式の重根（複素平面で交差する部分）に特異点を持ちます。これらは唯一の特異点ではなく、特に $n$ $> 2の場合、無限遠に$ $x$ $= 0、$ $y$ $= \infty$ と $x$ $= \infty、$ $y$ $= 0$ の 2 つの特異点があり、これらは 1 つの枝しか持たないため、単なるリンクではなく真の結び目である結び目不変量を持ちます。

モジュラー曲線のパラメータ化

$n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18$ 、または $25$ の場合、 $X 0 (n)$ は種数が 0であるため、有理関数によってパラメータ化できます [1]。最も単純で自明でない例は $X 0 (2)$ で、次のようになります。

j_{2}(q)=q^{-1}-24+276q-2048q^{2}+11202q^{3}+\cdots =\left({\frac {\eta (q)}{\eta (q^{2})}}\right)^{24}

は（定数項を除いて）モンスターのクラス2Bのマッケイ・トムソン級数であり、 $ηは$ デデキントのイータ関数であるため、

x={\frac {(j_{2}+256)^{3}}{j_{2}^{2}}},

y={\frac {(j_{2}+16)^{3}}{j_{2}}}

$X 0 (2)を$ $j 2$ の有理関数でパラメータ化します。このパラメータ化を使用するために $j 2 を$ 実際に計算する必要はなく、任意のパラメータとして取ることができます。

マッピング

$Q$ 上の曲線 $C$ は、ある $n$ に対して整数係数の有理写像によって与えられる全射 $φ$ $:$ $X$ $0$ $($ $n$ $) \to$ $C$ が存在する場合、モジュラー曲線と呼ばれます。有名なモジュラー定理は、 $Q$ 上のすべての楕円曲線がモジュラーであることを示しています。

$X 0 (n)$ との関連でも写像が発生します。これは、X 0 $($ n )上の点がいくつかの $n -同型楕円曲線のペアに対応するためです。2 つの楕円曲線間の$ 同型とは、曲線間の多様体の非自明な射 (有理写像で定義) であり、これも群法則を遵守し、したがって無限遠点 (群法則の恒等写像として機能します) を無限遠点に送ります。このような写像は常に全射であり、有限核を持ち、その位数は同型写像の次数です $。X$ 0 ( n ) 上の点は、 $巡回$ $核$ $を$ $持つ次数$ $n$ の同型写像を許容する楕円曲線のペアに対応します。

$X 0 (n) の$ 種数が 1 の場合、それ自体は楕円曲線と同型となり、同じ $j$ 不変量を持ちます。

例えば、 $X 0 (11) は$ $j$ 不変量 $-2 1211 -5 313$ を持ち、曲線 $y 2 + y = x 3 - x 2 - 10 x - 20と同型である。この$ $jの値を$ $X$ $0$ $(5)$ の $y$ に代入すると、2つの有理根と4次の因数が得られる。2つの有理根は、上記の曲線と5同型であるが同型ではなく、異なる関数体を持つ、有理係数を持つ曲線の同型類に対応する。具体的には、6つの有理点x=-122023936/161051、y=-4096/11、x=-122023936/161051、y=-52893159101157376/11、x=-4096/11、y=-52893159101157376/11、およびxとyを交換する3つの点 $（$ すべて $X$ $0$ $（$ $5）$ 上）があり、これら3つの曲線間の6つの同型性に対応しています。

曲線 $y 2 + y = x 3 - x 2 - 10 x - 20が$ $X 0 (11)$ と同型である場合、

x\mapsto {\frac {x^{5}-2x^{4}+3x^{3}-2x+1}{x^{2}(x-1)^{2}}}

y\mapsto y-{\frac {(2y+1)(x^{4}+x^{3}-3x^{2}+3x-1)}{x^{3}(x-1)^{3}}}

$と因子を加えると、 x$ の有理関数の外部因子と、 $j$ 不変量 $-2$ $12$ $11$ $-1$ を持つ曲線 $y 2 + y = x 3 - x 2$ $が得られます。したがって、両方の曲線はレベル11$ のモジュラーであり、 $X$ $0$ $(11)$ からのマッピングを持ちます。

アンリ・カラヨルの定理によれば、楕円曲線 $E$ がモジュラーである場合、その導体（もともとコホモロジーの用語で記述された同型不変量）は、有理写像 $φ$ $:$ $X$ $0$ $($ $n$ $) \to$ $E$ が存在する最小の整数 $nです$ $。Q$ 上のすべての楕円曲線がモジュラーであることがわかっているので、導体は単にその最小のモジュラーパラメータ化のレベル $n$ であることもわかっています。

モジュラー曲線のガロア理論

モジュラー曲線のガロア理論は、エーリッヒ・ヘッケによって研究されました。モジュラー方程式Φ 0 ( n ) は、 $Z$ $[$ $y$ $]$ $に$ $係数を持つ x$ $の$ 多項式として考えられ、その根は $Q$ $($ $y$ $)$ のガロア拡大を生成します。 $p$ が素数である $X$ $0$ $($ $p$ $)$ の場合、体の標数は p ではない $ため$ 、 $Q ( x , y )/ Q ( y$ $)$ の $ガロア$ $群$ $は$ $PGL$ $($ $2$ $,$ $p$ $)$ $で$ あり、 $これ$ $は$ $p$ 元の $体$ $の$ 射影直線の線型分数変換の射影一般線型群であり $、$ $X$ $0$ $($ $p$ $)$ の次数である $p$ $+ 1$ 個の点を持ちます。

この拡張には代数拡張 $F / Q$ が含まれており、ガウスの表記法では次のようになります。 $p^{*}=(-1)^{(p-1)/2}p$

F=\mathbf {Q} \left({\sqrt {p^{*}}}\right).

定数体を $F$ に拡張すると、有限単純群である $p$ 個の元を持つ体の射影特殊線型群であるガロア群 $PSL(2, p)による拡張が得られます。$ $y を特定の体元に特殊化することで、薄い集合の外側で、$ $F$ 上のガロア群 $PSL(2,$ $p$ $)$ と $Q$ 上の $PGL(2,$ $p$ $)$ を持つ体の例を無限に得ることができます。

$n$ が素数でない場合、ガロア群は $nの因数を$ 花輪積として分析できます。

参照

参考文献

Hecke, Erich (1935)、「Die eindeutige Bestimmung der Modulfunktionen q-ter Stufe durch algebraische Eigenschaften」、Mathematische Annalen、111 : 293–301、doi :10.1007/BF01472221、 Mathematische Werke、第 3 版に再版、Vandenhoeck & Ruprecht、ゲッティンゲン、1983 年、568-576
アンソニー・ナップ『楕円曲線』プリンストン、1992年
セルジュ・ラング『楕円関数』、アディソン・ウェズレー、1973年
志村五郎『保型関数の数論入門』プリンストン、1972年

外部リンク

OEISシーケンス A001617 (モジュラー群 Gamma_0(n) の種数。または、モジュラー曲線 X_0(n) の種数)
[2] $X 0 (n)の係数$