πを含む式の一覧

以下は数学定数 πに関する重要な公式の一覧です。これらの公式の多くは、記事「円周率」または記事「πの近似値」に記載されています。

${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}={\frac {C}{2r}}}$

ここで、Cは円周、 dは直径、 rは半径です。より一般的には、

${\displaystyle \pi ={\frac {L}{w}}}$

ここで、 Lとw はそれぞれ一定幅の曲線の周囲と幅です。

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$

ここでAは円の面積です。より一般的には、

${\displaystyle A=\pi ab}$

ここで、A は半長軸aと半短軸bを持つ楕円で囲まれた領域です。

${\displaystyle C={\frac {2\pi }{\operatorname {agm} (a,b)}}\left(a_{1}^{2}-\sum _{n=2}^{\infty }2^{n-1}(a_{n}^{2}-b_{n}^{2})\right)}$

ここで、C は長半径aと短半径bを持つ楕円の円周であり、は の算術および幾何反復であり、初期値 および を使用したaとbの算術幾何平均です。 ${\displaystyle a_{n},b_{n}}$${\displaystyle \operatorname {agm} (a,b)}$${\displaystyle a_{0}=a}$${\displaystyle b_{0}=b}$

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$

ここで、Aはアニエスィの魔女とその漸近線の間の面積、 r は定義円の半径です。

${\displaystyle A={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{2{\sqrt {\pi }}}}r^{2}={\frac {\pi r^{2}}{\operatorname {agm} (1,1/{\sqrt {2}})}}}$

ここで、Aは短半径rのスクエアクルの面積、はガンマ関数です。 ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle A=(k+1)(k+2)\pi r^{2}}$

ここで、Aは半径rの小さい円と半径kr ( )の大きい円を持つ外転サイクロイドの面積であり、初期点が大きい円上にあると仮定します。 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle A={\frac {(-1)^{k}+3}{8}}\pi a^{2}}$

ここで、Aは角周波数k（）と振幅aのバラの面積です。 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle L={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {\pi }}}c={\frac {2\pi c}{\operatorname {agm} (1,1/{\sqrt {2}})}}}$

ここで、Lは焦点距離cのベルヌーイのレムニスケートの周囲長です。

${\displaystyle V={4 \over 3}\pi r^{3}}$

ここで、Vは球の体積、r は半径です。

${\displaystyle SA=4\pi r^{2}}$

ここで、SAは球の表面積、r は半径です。

${\displaystyle H={1 \over 2}\pi ^{2}r^{4}}$

ここで、Hは3 次元球面の超体積、r は半径です。

${\displaystyle SV=2\pi ^{2}r^{3}}$

ここで、SVは 3 次元球の表面積、rは半径です。

n辺の正凸多角形の内角の合計S :

${\displaystyle S=(n-2)\pi }$

n辺と辺の長さsを持つ正凸多角形の面積A :

${\displaystyle A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}}$

n辺と辺の長さsを持つ正凸多角形の内接円の半径r :

${\displaystyle r={\frac {s}{2}}\cot {\frac {\pi }{n}}}$

n辺と辺の長さsを持つ正凸多角形の円周半径R :

${\displaystyle R={\frac {s}{2}}\csc {\frac {\pi }{n}}}$

• 宇宙定数:

  ${\displaystyle \Lambda ={{8\pi G} \over {3c^{2}}}\rho }$

• ハイゼンベルクの不確定性原理:

  ${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}$

• 一般相対性理論におけるアインシュタインの場の方程式：

  ${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$

• 真空中の電気力に関するクーロンの法則:

  ${\displaystyle F={\frac {|q_{1}q_{2}|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}$

• 自由空間の透磁率：^{[注 1]}

  ${\displaystyle \mu _{0}\approx 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N} /\mathrm {A} ^{2}}$

• 小さな振幅を持つ単振り子のおおよその周期:

  ${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

• 振幅（は算術幾何平均）を持つ単振り子の正確な周期： ${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle \operatorname {agm} }$

  ${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\operatorname {agm} (1,\cos(\theta _{0}/2))}}{\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

• バネ定数と質量を持つバネ質量系の周期: ${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$

  ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$

• ケプラーの惑星運動の第三法則：

  ${\displaystyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM}{4\pi ^{2}}}}$

• 座屈の式:

  ${\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}}$

「ビリヤードのボールが衝突する」パズル：

${\displaystyle \lfloor {b^{N}\pi }\rfloor }$

は、最初は静止していた質量mの物体が、固定された壁と質量b ^{2 N} mの別の物体との間で衝突したときに、他の物体に衝突した回数（理想的な条件、摩擦のない完全な弾性）です。^{[1] （これにより、基数}bの π の桁が基数点の N桁まで得られます。）

${\displaystyle 2\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx=\pi }$（2つの半分を積分して単位円の面積を求める）${\displaystyle y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} x\,dx=\pi }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{t}^{\infty }e^{-1/2t^{2}-x^{2}+xt}\,dx\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{t}^{\infty }e^{-t^{2}-1/2x^{2}+xt}\,dx\,dt=\pi }$

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\pi }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\pi }$^{[2] [注 2] （}コーシー分布も参照）

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi }$（ディリクレ積分を参照）

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$（ガウス積分を参照）。

${\displaystyle \oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i}$(積分の経路が 0 の周りを反時計回りに 1 回曲がる場合。コーシーの積分公式も参照)。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln \left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx=\pi }$^[3]

${\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{4}(1-x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx={22 \over 7}-\pi }$(22/7 がπ を超えることの証明も参照)。

${\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{2}(1+x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx=\pi -{17 \over 15}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}}{x+1}}\,dx={\frac {\pi }{\sin \pi \alpha }},\quad 0<\alpha <1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {x(x+a)(x+b)}}}={\frac {\pi }{\operatorname {agm} ({\sqrt {a}},{\sqrt {b}})}}}$（ここで は算術幾何平均である。^[4]楕円積分も参照）${\displaystyle \operatorname {agm} }$

対称積分関数の場合、形式の式は式に変換することもできることに注意してください。 ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$${\textstyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx}$${\textstyle 2\int _{0}^{a}f(x)\,dx}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}={\frac {\pi }{2}}}$（二重階乗も参照）

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{2^{k}(2k+1)!!}}={\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!\,(2k)!\,(25k-3)}{(3k)!\,2^{k}}}={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k}}}={\frac {4270934400}{{\sqrt {10005}}\pi }}}$(チュドノフスキーアルゴリズムを参照)

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}={\frac {9801}{2{\sqrt {2}}\pi }}}$（シュリニヴァーサ・ラマヌジャン、ラマヌジャン・佐藤シリーズを参照）

以下はπの任意の2進数を計算するのに効率的です。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\right)=\pi }$^[5]

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)=\pi }$（ベイリー・ボーウェイン・プルーフの公式を参照）

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)=2\pi }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{k}}{2^{10k}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4k+1}}-{\frac {1}{4k+3}}+{\frac {2^{8}}{10k+1}}-{\frac {2^{6}}{10k+3}}-{\frac {2^{2}}{10k+5}}-{\frac {2^{2}}{10k+7}}+{\frac {1}{10k+9}}\right)=2^{6}\pi }$

πの任意の小数桁を計算するためのプルーフ級数：^[6]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k)!}}=\pi +3}$

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$（バーゼル問題とリーマンゼータ関数も参照）

${\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$

${\displaystyle \zeta (2n)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}\,={\frac {1}{1^{2n}}}+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\cdots =(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$ここで、B _{2 n}はベルヌーイ数です。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}-1}{4^{n}}}\,\zeta (n+1)=\pi }$^[7]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {7^{n}-1}{8^{n}}}\,\zeta (n+1)=(1+{\sqrt {2}})\pi }$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {2(3/2)^{n}-3}{n}}(\zeta (n)-1)=\ln \pi }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\zeta (2n){\frac {x^{2n}}{n}}=\ln {\frac {\pi x}{\sin \pi x}},\quad 0<|x|<1}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\arctan {1}={\frac {\pi }{4}}}$（円周率のライプニッツの公式を参照）

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(n^{2}-n)/2}}{2n+1}}=1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}-\cdots ={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}}$（ニュートン、オルデンバーグへの第二の手紙、1676年）^[8]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}(2n+1)}}=1-{\frac {1}{3^{1}\cdot 3}}+{\frac {1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+{\frac {1}{3^{4}\cdot 9}}-\cdots ={\sqrt {3}}\arctan {\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}}$（マダヴァシリーズ）

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n)^{2}}}={\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+{\frac {1}{8^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{24}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)^{3}={\frac {1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{3}}{32}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{4}={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+{\frac {1}{7^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{96}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)^{5}={\frac {1}{1^{5}}}-{\frac {1}{3^{5}}}+{\frac {1}{5^{5}}}-{\frac {1}{7^{5}}}+\cdots ={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{6}={\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+{\frac {1}{7^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{960}}}$

一般的に、

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2k+1}}}=(-1)^{k}{\frac {E_{2k}}{2(2k)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2k+1},\quad k\in \mathbb {N} _{0}}$

ここで はオイラー数である。^[9]${\displaystyle E_{2k}}$${\displaystyle 2k}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\frac {1}{2}}{n}}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{40}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+1)(4n+3)}}={\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 7}}+{\frac {1}{9\cdot 11}}+\cdots ={\frac {\pi }{8}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{(n^{2}+n)/2+1}\left|G_{\left((-1)^{n+1}+6n-3\right)/4}\right|=|G_{1}|+|G_{2}|-|G_{4}|-|G_{5}|+|G_{7}|+|G_{8}|-|G_{10}|-|G_{11}|+\cdots ={\frac {\sqrt {3}}{\pi }}}$（グレゴリー係数を参照）

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1/2)_{n}^{2}}{2^{n}n!^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n(1/2)_{n}^{2}}{2^{n}n!^{2}}}={\frac {1}{\pi }}}$（ここでは上昇階乗）^[10]${\displaystyle (x)_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}}=\pi -3}$（ニラカンタシリーズ）

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F_{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {4\pi ^{2}}{25{\sqrt {5}}}}}$（ここでn番目のフィボナッチ数です）${\displaystyle F_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {L_{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {\pi ^{2}}{5}}}$（ここでn番目のルーカス数）${\displaystyle L_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma (n)e^{-2\pi n}={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{8\pi }}}$（ここでは約数の合計関数です）${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \pi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\varepsilon (n)}}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{13}}+\cdots }$   （ここで はの形の素因数の数である）^{[11] [12]}${\displaystyle \varepsilon (n)}$${\displaystyle p\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\varepsilon (n)}}{n}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+\cdots }$   （ここで はの形の素因数の数である）^[13]${\displaystyle \varepsilon (n)}$${\displaystyle p\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \pi =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1/2}}}$

${\displaystyle \pi ^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(n+1/2)^{2}}}}$^[14]

最後の2つの式は、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{\sin \pi x}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+x}}\\\left({\frac {\pi }{\sin \pi x}}\right)^{2}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}\end{aligned}}}$

無限に多くの類似した式を生成する。${\displaystyle \pi }$${\displaystyle x\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} .}$

πと調和数に関連するいくつかの公式がここに示されています。πを含むその他の無限級数は次のとおりです。^[15]

ここで、 は上昇階乗を表すポッホハマー記号です。ラマヌジャン-佐藤級数も参照してください。 ${\displaystyle (x)_{n}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan 1}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$（オリジナルのマチンの式）

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\cdot \left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,}$（オイラー）

ここで、分子は奇数の素数であり、各分母は分子に最も近い 4 の倍数です。

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}\pi }{6}}=\left(\displaystyle \prod _{p\equiv 1{\pmod {6}} \atop p\in \mathbb {P} }{\frac {p}{p-1}}\right)\cdot \left(\displaystyle \prod _{p\equiv 5{\pmod {6}} \atop p\in \mathbb {P} }{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {5}{6}}\cdot {\frac {7}{6}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{18}}\cdots }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots }$（ウォリス積も参照）

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{(-1)^{n+1}}=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)^{+1}\left(1+{\frac {1}{2}}\right)^{-1}\left(1+{\frac {1}{3}}\right)^{+1}\cdots }$(ウォリス積の別の形式)

ヴィエトの公式:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots }$

Thue-Morse 列を含む二重無限積の公式:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{m\geq 1}\prod _{n\geq 1}\left({\frac {(4m^{2}+n-2)(4m^{2}+2n-1)^{2}}{4(2m^{2}+n-1)(4m^{2}+n-1)(2m^{2}+n)}}\right)^{\epsilon _{n}},}$

ここで、およびはThue-Morse数列（Tóth 2020）である。 ${\displaystyle \epsilon _{n}=(-1)^{t_{n}}}$${\displaystyle t_{n}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},}$

ここで、となる。 ${\displaystyle a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}}$${\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2k+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots }$

ここで、 はk番目のフィボナッチ数 です。${\displaystyle F_{k}}$

${\displaystyle \pi =\arctan a+\arctan b+\arctan c}$

および、、が正の実数であるときはいつでも（三角関数の恒等式の一覧を参照）。特別な場合は ${\displaystyle a+b+c=abc}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle \pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3.}$

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$（オイラーの恒等式）

任意の複素数 に対して、次の同値性が成り立ちます。 ${\displaystyle z}$

${\displaystyle e^{z}\in \mathbb {R} \leftrightarrow \Im z\in \pi \mathbb {Z} }$

${\displaystyle e^{z}=1\leftrightarrow z\in 2\pi i\mathbb {Z} }$^[16]

また

${\displaystyle {\frac {1}{e^{z}-1}}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-2\pi in}}-{\frac {1}{2}},\quad z\in \mathbb {C} .}$

格子が2 つの 周期によって生成されると仮定します。この格子の擬周期をおよびで定義します。ここで はワイエルシュトラスのゼータ関数です(および は実際にはとは独立です)。すると、周期と擬周期はルジャンドル恒等式によって関連付けられます。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$${\displaystyle \eta _{1}=\zeta (z+\omega _{1};\Omega )-\zeta (z;\Omega )}$${\displaystyle \eta _{2}=\zeta (z+\omega _{2};\Omega )-\zeta (z;\Omega )}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \eta _{1}}$${\displaystyle \eta _{2}}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \eta _{1}\omega _{2}-\eta _{2}\omega _{1}=2\pi i.}$

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}$^[17]

${\displaystyle {\frac {\varpi ^{2}}{\pi }}={2+{\cfrac {1^{2}}{4+{\cfrac {3^{2}}{4+{\cfrac {5^{2}}{4+{\cfrac {7^{2}}{4+\ddots \,}}}}}}}}}\quad }$(ラマヌジャンはレムニスケート定数です) ^[18]${\displaystyle \varpi }$

${\displaystyle \pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}}}$^[17]

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle 2\pi ={6+{\cfrac {2^{2}}{12+{\cfrac {6^{2}}{12+{\cfrac {10^{2}}{12+{\cfrac {14^{2}}{12+{\cfrac {18^{2}}{12+\ddots }}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi =4-{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{1-{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{1-{\cfrac {2}{1+{\cfrac {3}{1-{\cfrac {3}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$

4 番目の恒等式の詳細については、オイラーの連分数公式を参照してください。

(連分数と一般化連分数も参照してください。)

${\displaystyle a_{0}=1,\,a_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{2n+1}}\right)a_{n},\,\pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}^{2}}{n}}}$

${\displaystyle a_{1}=0,\,a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}},\,\pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}{\sqrt {2-a_{n}}}}$（ヴィエトの公式と密接に関連している）

${\displaystyle \omega (i_{n},i_{n-1},\dots ,i_{1})=2+i_{n}{\sqrt {2+i_{n-1}{\sqrt {2+\cdots +i_{1}{\sqrt {2}}}}}}=\omega (b_{n},b_{n-1},\dots ,b_{1}),\,i_{k}\in \{-1,1\},\,b_{k}={\begin{cases}0&{\text{if }}i_{k}=1\\1&{\text{if }}i_{k}=-1\end{cases}},\,\pi ={\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2^{n+1}}{2h+1}}{\sqrt {\omega \left(\underbrace {10\ldots 0} _{n-m}g_{m,h+1}\right)}}}}$（ここで、はmビットグレイコードのh+1番目のエントリである）^[19]${\displaystyle g_{m,h+1}}$${\displaystyle h\in \left\{0,1,\ldots ,2^{m}-1\right\}}$

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ,\,a_{1}=2^{-k},\,a_{n+1}=a_{n}+2^{-k}(1-\tan(2^{k-1}a_{n})),\,\pi =2^{k+1}\lim _{n\to \infty }a_{n}}$（二次収束）^[20]

${\displaystyle a_{1}=1,\,a_{n+1}=a_{n}+\sin a_{n},\,\pi =\lim _{n\to \infty }a_{n}}$（三次収束）^[21]

${\displaystyle a_{0}=2{\sqrt {3}},\,b_{0}=3,\,a_{n+1}=\operatorname {hm} (a_{n},b_{n}),\,b_{n+1}=\operatorname {gm} (a_{n+1},b_{n}),\,\pi =\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$（アルキメデスの法則、調和平均と幾何平均も参照）^[22]

その他の反復アルゴリズムについては、ガウス・ルジャンドルのアルゴリズムとボルウェインのアルゴリズムを参照してください。

${\displaystyle {\binom {2n}{n}}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}}$（中心二項係数の漸近的成長率）

${\displaystyle C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n^{3}}}}}$（カタラン数の漸近的成長率）

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$（スターリング近似）

${\displaystyle \log n!\simeq \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\log n-n+{\frac {\log 2\pi }{2}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}}$（ここではオイラーのトーティエント関数）${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}\sim {\frac {6n}{\pi ^{2}}}}$

記号は、左辺と右辺の比が になるにつれて 1 に近づくことを意味します。 ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle n\to \infty }$

記号は、左辺と右辺の差がとしてゼロに近づくことを意味します。 ${\displaystyle \simeq }$${\displaystyle n\to \infty }$

は超幾何関数である： ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }r_{2}(n)q^{n}={}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,z\right)}$

どこ

${\displaystyle q=\exp \left(-\pi {\frac {{}_{2}F_{1}(1/2,1/2,1,1-z)}{{}_{2}F_{1}(1/2,1/2,1,z)}}\right),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

は2つの平方関数の和です。 ${\displaystyle r_{2}}$

同様に、

${\displaystyle 1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}={}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{6}},{\frac {5}{6}},1,z\right)^{4}}$

どこ

${\displaystyle q=\exp \left(-2\pi {\frac {{}_{2}F_{1}(1/6,5/6,1,1-z)}{{}_{2}F_{1}(1/6,5/6,1,z)}}\right),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

は除数関数です。 ${\displaystyle \sigma _{3}}$

ラマヌジャンの楕円関数の代替基底 理論によって説明されているように、この種の式は他にもたくさんあります。

おそらく最も注目すべき超幾何反転は、ラマヌジャンのタウ関数と J 不変量のフーリエ係数を含む次の 2 つの例です( OEIS : A000521 )。 ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \mathrm {j} }$

${\displaystyle \sum _{n=-1}^{\infty }\mathrm {j} _{n}q^{n}=256{\dfrac {(1-z+z^{2})^{3}}{z^{2}(1-z)^{2}}},}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^{n}={\dfrac {z^{2}(1-z)^{2}}{256}}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,z\right)^{12}}$

どちらの場合も

${\displaystyle q=\exp \left(-2\pi {\frac {{}_{2}F_{1}(1/2,1/2,1,1-z)}{{}_{2}F_{1}(1/2,1/2,1,z)}}\right),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}.}$

さらに、最後の式をべき級数として展開すると、

${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1-(1-z)^{1/4}}{1+(1-z)^{1/4}}}}$

と設定すると、 の急速に収束する級数が得られる：^{[注 3]}${\displaystyle z=1/2}$${\displaystyle e^{-2\pi }}$

${\displaystyle e^{-2\pi }=w^{2}+4w^{6}+34w^{10}+360w^{14}+4239w^{18}+\cdots ,\quad w={\dfrac {1}{2}}{\dfrac {2^{1/4}-1}{2^{1/4}+1}}.}$

${\displaystyle \Gamma (s)\Gamma (1-s)={\frac {\pi }{\sin \pi s}}}$（オイラーの反射公式、ガンマ関数を参照）

${\displaystyle \pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)}$（リーマンゼータ関数の関数方程式）

${\displaystyle e^{-\zeta '(0)}={\sqrt {2\pi }}}$

${\displaystyle e^{\zeta '(0,1/2)-\zeta '(0,1)}={\sqrt {\pi }}}$（ここで はハーヴィッツゼータ関数であり、導関数は最初の変数に関して取られます）${\displaystyle \zeta (s,a)}$

${\displaystyle \pi =\mathrm {B} (1/2,1/2)=\Gamma (1/2)^{2}}$（ベータ関数も参照）

${\displaystyle \pi ={\frac {\Gamma (3/4)^{4}}{\operatorname {agm} (1,1/{\sqrt {2}})^{2}}}={\frac {\Gamma \left({1/4}\right)^{4/3}\operatorname {agm} (1,{\sqrt {2}})^{2/3}}{2}}}$（ここでagmは算術幾何平均です）

${\displaystyle \pi =\operatorname {agm} \left(\theta _{2}^{2}(1/e),\theta _{3}^{2}(1/e)\right)}$（ここで、およびはヤコビのシータ関数^[23]）${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle \theta _{3}}$

${\displaystyle \operatorname {agm} (1,{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\varpi }}}$（ガウス^[24] によれば、レムニスケート定数である）${\displaystyle \varpi }$

${\displaystyle \operatorname {N} (2\varpi )=e^{2\pi },\quad \operatorname {N} (\varpi )=e^{\pi /2}}$（ここではガウスN関数）${\displaystyle \operatorname {N} }$

${\displaystyle i\pi =\operatorname {Log} (-1)=\lim _{n\to \infty }n\left((-1)^{1/n}-1\right)}$（ここで は複素対数の主値である）^{[注 4]}${\displaystyle \operatorname {Log} }$

${\displaystyle 1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}(n{\bmod {k}})}$（ここで、 はnをkで 割った余りです）${\textstyle n{\bmod {k}}}$

${\displaystyle \pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r\end{cases}}}$（円の面積を合計する）

${\displaystyle \pi =\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {4}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {n^{2}-k^{2}}}}$（単位円の面積を求めるリーマン和）

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2^{4n}n!^{4}}{n(2n)!^{2}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2^{4n}}{n{2n \choose n}^{2}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\right)^{2}}$（スターリング近似とウォリス積を組み合わせることにより）

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\ln {\frac {16}{\lambda (ni)}}}$（ここではモジュラーラムダ関数）^{[25] [注 5]}${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {24}{\sqrt {n}}}\ln \left(2^{1/4}G_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {24}{\sqrt {n}}}\ln \left(2^{1/4}g_{n}\right)}$（ここで、およびはラマヌジャンのクラス不変量である）^{[26] [注 6]}${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle g_{n}}$

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• Tóth, László (2020)、「+-1 Thue-Morse シーケンスに関連する超越無限積」(PDF)、Journal of Integer Sequences、23 : 20.8.2、arXiv : 2009.02025。

• ピーター・ボーワイン (2000)。 「驚くべき数π」（PDF）。ウィスクンデの新しい大首領。シリーズ第5弾。1 (3): 254–258。ズブル 1173.01300。
• 加藤和也、黒川信繁、斎藤健：『数論1：フェルマーの夢』アメリカ数学会、プロビデンス、1993年、ISBN 0-8218-0863-X。