中心二項係数

数学では、 n番目の中心二項係数は特定の二項係数である。

${\displaystyle {2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}{\text{ すべての }}n\geq 0 に対して。}$

これらはパスカルの三角形の偶数行のちょうど真ん中に現れるので中心係数と呼ばれます。n = 0 から始まる最初のいくつかの中心二項係数は次のとおりです。

1、2、6、20、70、252、924、3432、12870、48620、... （ OEISの配列A000984 ）​​​​​​​

中心二項係数は、2 種類のオブジェクトが同数存在する配置の数です。たとえば、 の場合、二項係数は6 に等しく、Aのコピー 2 つとBのコピー 2つの配置はAABB 、ABAB、ABBA、BAAB、BABA、BBAAの6通りあります。 ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle {\binom {2\cdot 2}{2}}}$

同じ中心二項係数は、 AとBで構成される長さ 2 nの単語の数でもあります。この単語の中では、左から右に読んでいくと、どの時点でもBの数がAの数より多くなることはありません。たとえば、のとき、各プレフィックスにAとBが少なくとも同数含まれる長さ 4の単語が 6 つあります。AAAA 、AAAB、AABA、AABB、ABAA、ABABです。 ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$${\displaystyle n=2}$

2の因数の数はnの2進数表現における1の数に等しい。^[1] 結果として、1は唯一の奇数の中心二項係数である。 ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$

中心二項係数の 通常の生成関数は、二項級数と関係式 （一般化二項係数）を 使って証明できる。^[2]$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .}$$$${\displaystyle {\binom {2n}{n}}=(-1)^{n}4^{n}{\binom {-1/2}{n}},}$$${\displaystyle \textstyle {\binom {-1/2}{n}}}$

中心二項係数は指数関数的な生成関数 を持ち 、I _0は第一種修正ベッセル関数である。^[3]$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{2x}I_{0}(2x),}$$

中心二項係数の二乗の生成関数は、第一種完全楕円積分で表すことができる。^[4]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}^{2}x^{n}={\frac {2}{\pi }}K(4{\sqrt {x}}).}$

漸近的な挙動は非常に正確に記述することができる：^[5] $${\displaystyle {2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {1}{8n}}+{\frac {1}{128n^{2}}}+{\frac {5}{1024n^{3}}}+O(n^{-4})\right).}$$

密接に関連するカタラン数 C _{n は}次のように与えられます。

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}{\text{ for all }}n\geq 0.}$

中心二項係数を少し一般化すると、適切な実数nを用いてとみなすことができます 。ここで はガンマ関数、 はベータ関数です。 ${\displaystyle {\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\mathrm {B} (n+1,n)}}}$${\displaystyle \Gamma (x)}$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}$

中心二項係数を割り切る2 の累乗は、グールドの数列によって与えられ、そのn番目の要素はパスカルの三角形のn行目の奇数の整数の数です。

生成関数を二乗すると 次の ようになります。 の係数を比較すると次のようになります。 たとえば、( OEISのシーケンスA000302 )。 $${\displaystyle {\frac {1}{1-4x}}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}\right).}$$${\displaystyle x^{n}}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\binom {2n-2k}{n-k}}=4^{n}.}$$${\displaystyle 64=1(20)+2(6)+6(2)+20(1)}$

原点で始まり、終わる 長さ 2 nの格子パスの数は ( OEISのシーケンスA002894 ) です。 $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\binom {2n-2k}{n-k}}{\binom {2n}{2k}}}$$ $${\displaystyle =\sum _{k=0}^{n}{\frac {(2n)!}{k!k!(n-k)!(n-k)!}}}$$ $${\displaystyle =\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!n!}{k!k!(n-k)!(n-k)!}}{\frac {(2n)!}{n!n!}}}$$ $${\displaystyle ={\binom {2n}{n}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}}$$ $${\displaystyle ={\binom {2n}{n}}^{2}}$$

中心二項係数の半分（ の場合）（ のOEISのシーケンスA001700 ）は、ウォルステンホルムの定理に見られます。 ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}{2n \choose n}={2n-1 \choose n-1}}$${\displaystyle n>0}$

1996 年に証明されたエルデシュの平方自由予想によれば、n > 4の中心二項係数は平方自由ではない。

${\displaystyle \textstyle {\binom {2n}{n}}}$パスカルの三角形のn行目の平方の合計である: ^[3]

${\displaystyle {2n \choose n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}}$

例えば、。 ${\displaystyle {\tbinom {6}{3}}=20=1^{2}+3^{2}+3^{2}+1^{2}}$

エルデシュはベルトラン公理の証明において中心二項係数を多用している。

もう一つの注目すべき事実は、 2 を n で割るとちょうどn になるということです。 ${\displaystyle (n+1)\dots (2n)}$

• 中心三項係数

• コシー、トーマス（2008）、カタロニア語の数とその応用、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19533-454-8。

• PlanetMathの中心二項係数。