eの表現のリスト

数学定数e は、実数としてさまざまな方法で表すことができます。e は無理数であるため( eが無理数であることの証明を参照)、2つの整数の商として表すことはできませんが、連分数として表すことができます。微積分を用いると、e は無限級数、無限積、または数列の他の種類の極限として表すこともできます。

オイラーは、数eが無限単純連分数で表されることを証明した^{[ 1 ]}（OEISの数列A003417）：

${\displaystyle {\begin{aligned}e&=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ]\\[8pt]&=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{{} \atop \ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}$

以下に、 eの無限一般化連分数展開をいくつか示します。2 番目は、1 番目から単純な等価変換によって生成されます。

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{5+{{} \atop \ddots }}}}}}}}}}}=2+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+{{} \atop \ddots }\,}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+{{} \atop \ddots }\,}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+{{} \atop \ddots }\,}}}}}}}}}}}$

この最後の非単純連分数（OEISのシーケンスA110185）は、${\displaystyle e=[1;0.5,12,5,28,9,...]}$これは、オイラーの連分数公式に比べて収束速度が速く、指数関数の一般式の特殊な場合である。

${\displaystyle e^{x/y}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+{{} \atop \ddots }}}}}}}}}}}}$

数eは、次の無限級数の和として表すことができる。

${\displaystyle e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}}$任意の実数xに対して。

x = 1または-1の特殊なケースでは、次のようになります。

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}}$[ ^{2 ]}および^​

${\displaystyle e^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

その他のシリーズには以下のものがあります。

${\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{-1}}$^{[ 3 ]}

${\displaystyle e={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}}$

${\displaystyle e=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k+1)^{2}+1}{(3k+1)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k+2)^{2}+1}{(3k+2)!}}}$

${\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\right]^{2}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{B_{n}(k!)}}}$どこ${\displaystyle B_{n}}$n番目のベル番号です。

${\displaystyle e^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}B_{2k}(2\pi )^{2k}}{(2k+1)!}}}$どこ${\displaystyle B_{n}}$はn番目のベル番号です。

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2k+3}{(k+2)!}}}$^{[ 4 ]}

eの上限をどのように設定するかを検討すると、次のような降下級数が得られます。

${\displaystyle e=3-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{k!(k-1)k}}=3-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{36}}-{\frac {1}{288}}-{\frac {1}{2400}}-{\frac {1}{21600}}-{\frac {1}{211680}}-{\frac {1}{2257920}}-\cdots }$

これにより、各項につき少なくとも 1 つの正しい (または切り上げられた) 桁が得られます。つまり、1 ≤ nの場合、

${\displaystyle e<3-\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k!(k-1)k}}<e+0.6\cdot 10^{1-n}\,.}$

より一般的には、x が{2, 3, 4, 5, ... }に含まれない場合、

${\displaystyle e^{x}={\frac {2+x}{2-x}}+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {-x^{k+1}}{k!(k-x)(k+1-x)}}\,.}$

シリーズ表現​${\displaystyle e}$次のように与えられます$${\displaystyle e={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots }$$再帰の形式を用いて表現することもできます。${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{n}}}$元の数列から反復的に因数分解すると、ネストされた数列が得られます^{[ 5 ]}$${\displaystyle e=1+{\frac {1}{1}}\left(1+{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{3}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)}$$これは、$${\displaystyle e=1+{\cfrac {1+{\cfrac {1+{\cfrac {1+\cdots }{3}}}{2}}}{1}}}$$この分数は次の形式です${\displaystyle \textstyle f(n)=1+{\frac {f(n+1)}{n}}}$、 どこ${\displaystyle f(1)}$から項の合計を計算します${\displaystyle 1}$に${\displaystyle \infty }$。

数eは、ピッペンジャーの積を含むいくつかの無限積形式でも表される。

${\displaystyle e=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\cdots }$

そしてギレラの製品^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle e=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,}$

ここで、n番目の因数は積のn乗根である。

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},}$

無限積も同様

${\displaystyle e={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}.}$

より一般的には、1 < B < e 2 ( ^B = 2、3、4、5、6、または7を含む)の場合、

${\displaystyle e={\frac {B\cdot B^{(\ln(B)-1)^{2}}\cdots }{B^{\ln(B)-1}\cdot B^{(\ln(B)-1)^{3}}\cdots }}.}$

また

${\displaystyle e=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\prod _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2/{((n+\alpha )(n+\beta ))}}\ \forall \alpha ,\beta \in {\mathbb {R}}}$

さらに、

${\displaystyle e^{-1}=1^{1/1}2^{-1/2}3^{-1/3}5^{-1/5}6^{1/6}7^{-1/7}10^{1/10}11^{-1/11}13^{-1/13}14^{1/14}\cdots ,}$

各平方フリー数の指数は${\displaystyle n}$は${\displaystyle {\frac {\mu (n)}{n}}}$、 どこ${\displaystyle \mu }$はメビウス関数です。

数eは、いくつかの無限数列の極限に等しい。

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}}$そして

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}$（いずれもスターリングの公式による）。

対称極限、^{[ 8 ]}

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right]}$

eの基本的な極限定義を操作することによって得られる可能性があります。

次の2つの定義は素数定理^{[ 9 ]の直接的な系である。}

${\displaystyle {\begin{aligned}e&=\lim _{n\to \infty }(p_{n}\#)^{1/p_{n}}\\e&=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}\\&=\lim _{n\to \infty }n^{n/p_{n}}\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle p_{n}}$n番目の素数です。${\displaystyle p_{n}\#}$はn番目の素数の原始数であり、${\displaystyle \pi (n)}$は素数計数関数です。

また：

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

x = 1という特殊な場合、結果は次の有名な記述となる。

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

順序集合Sの要素数nのすべての順列を数える階乗n !と、元の位置に要素が出現しない順列の数を数える部分階乗 (別名、順列の乱数関数) ! nの比は、 n が大きくなるにつれてeに近づきます。

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{!n}}.}$

確率が${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$いずれかの試行でその事象が発生する確率は、 n回の試行でその事象が発生しない確率は1/ eに近づきます。つまり、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{e}}}$

次のシーケンスを考えてみましょう。

${\displaystyle e_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

二項定理により：^{[ 10 ]}

${\displaystyle e_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}{\frac {1}{n^{k}}}}$

これは以下へと収束する${\displaystyle e}$として${\displaystyle n}$増加する。${\displaystyle n^{\underline {k}}}$は${\displaystyle k}$の th階乗の減少${\displaystyle n}$のように振る舞う${\displaystyle n^{k}}$いつ${\displaystyle n}$大きい。固定の場合${\displaystyle k}$そして${\displaystyle \textstyle n\to \infty }$:

${\displaystyle {\frac {n^{\underline {k}}}{n^{k}}}\approx 1-{\frac {k(k-1)}{2n}}}$

ハーラン・ブラザーズによって発見されたように、パスカルの三角形の構造の中に、 eの独特な表現を見出すことができます。パスカルの三角形は二項係数で構成されており、従来はこれらの係数を合計して多項式展開を導出していました。しかし、ブラザーズはこれらの係数の間に、 eと結びつく積に基づく関係性があることを発見しました。具体的には、パスカルの三角形の隣接する行の二項係数の積の比は、行番号n が増加するにつれてeに近づきます。

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{b}(n)&=\sum _{k=0}^{n}\log _{b}{\binom {n}{k}}\\A&=P_{b}(n-1),B=P_{b}(n),C=P_{b}(n+1)\\x&=(A-B)+(C-B)\sim 1\\\end{aligned}}}$

のために${\displaystyle b=e,\exp x\sim e}$。

この関係の詳細とその証明は、パスカルの三角形の行の性質に関する議論で概説されています。^{[ 11 ] [ 12 ]}

三角関数的に、e は2 つの双曲線関数の和で表すことができ、

${\displaystyle e^{x}=\sinh(x)+\cosh(x),}$

x = 1 のとき。

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