平方和関数

数論において、平方和関数は、与えられた正の整数nの表現の数をk個の平方の和として与える算術関数であり、加数の順序または平方される数の符号のみが異なる表現は異なるものとしてカウントされます。これはr _k ( n )と表されます。

この関数は次のように定義される。

${\displaystyle r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\ :\ n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|}$

ここで、 は集合の濃度を表します。言い換えると、r _k ( n ) は、 n をkの平方の和として表す方法の数です。 ${\displaystyle |\,\ |}$

たとえば、各合計には 2 つの符号の組み合わせがあるため、また4 つの符号の組み合わせがあるためです。一方、3 を 2 つの平方の合計として表す方法はないためです。 ${\displaystyle r_{2}(1)=4}$${\displaystyle 1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}}$${\displaystyle r_{2}(2)=4}$${\displaystyle 2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}}$${\displaystyle r_{2}(3)=0}$

自然数を2つの平方数の和として表す方法の数はr ₂ ( n )で与えられる。これは次のように明示的に与えられる。

${\displaystyle r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))}$

ここで、d ₁ ( n ) は4を法として 1 と合同なnの約数の数であり、d ₃ ( n )は 4 を法として 3 と合同なnの約数の数です。合計を使用すると、式は次のように表すことができます。

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\,\equiv \,1,3{\pmod {4}}}(-1)^{(d-1)/2}}$

素因数分解は 、 は の形式の素因数であり、 はの形式の素因数であるので、別の式が得られる。 ${\displaystyle n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots }$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p_{i}\equiv 1{\pmod {4}},}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}}$

${\displaystyle r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots }$すべての指数が偶数の場合は。 1 つ以上が奇数の場合は。${\displaystyle h_{1},h_{2},\cdots }$${\displaystyle h_{i}}$${\displaystyle r_{2}(n)=0}$

ガウスは、平方数 n > 4に対して、

${\displaystyle r_{3}(n)={\begin{cases}24h(-n),&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{if }}n\equiv 7{\pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

ここでh ( m )は整数mの類数を表す。

ガウスの公式には任意の整数nへの拡張が存在する。^{[1] [2]}

nを4つの平方数の和として表す方法はカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビによるもので、4で割り切れないすべての約数の合計の8倍である。

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{d\,\mid \,n,\ 4\,\nmid \,d}d.}$

n = 2 ^k m （ mは奇数）を表すと、除数関数で次のように表すことができます。 ${\displaystyle r_{4}(n)}$

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sigma (2^{\min\{k,1\}}m).}$

nを6つの平方数の和として 表す方法の数は次のように与えられる。

${\displaystyle r_{6}(n)=4\sum _{d\mid n}d^{2}{\big (}4\left({\tfrac {-4}{n/d}}\right)-\left({\tfrac {-4}{d}}\right){\big )},}$

クロネッカー記号はここにある。^[3]${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)}$

ヤコビはk = 8の場合の明示的な式も発見した: ^[3]

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sum _{d\,\mid \,n}(-1)^{n+d}d^{3}.}$

固定kに対する数列の生成関数は、ヤコビのシータ関数で表すことができる。^[4] ${\displaystyle r_{k}(n)}$

${\displaystyle \vartheta (0;q)^{k}=\vartheta _{3}^{k}(q)=\sum _{n=0}^{\infty }r_{k}(n)q^{n},}$

どこ

${\displaystyle \vartheta (0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\cdots .}$

最初の 30 個の値が以下の表にリストされています。 ${\displaystyle r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8}$

• 整数分割
• ヤコビの四平方定理
• ガウス円問題

グロスワルド、エミール（1985）。平方和による整数の表現。シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0387961267。

• Weisstein、Eric W.「平方和関数」。MathWorld。
• Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A122141 (n を d の平方の和として表記する方法の数)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS財団。
• Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A004018 (正方格子のシータ系列、r_2(n))」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。