カテゴリー理論

圏論は数学的構造とその関係についての一般理論である。20世紀半ばにサミュエル・アイレンバーグとサンダース・マクレーンが代数位相幾何学の基礎研究の中で提唱した。^[1]圏論は数学のほぼすべての分野で使われている。特に、いくつかの文脈で同じように現れる以前の数学的対象から新しい数学的対象を構築する多くの方法は、圏という用語で便利に表現され、統一される。例としては、商空間、直積、完備化、双対性などがある。

関数型プログラミングやセマンティクスなど、コンピュータサイエンスの多くの分野もカテゴリー理論に依存しています。

カテゴリは、カテゴリのオブジェクトと、射のソースとターゲットと呼ばれる 2 つのオブジェクトを関連付ける射の 2 種類のオブジェクトによって形成されます。比喩的に言えば、射はソースをターゲットにマップする矢印です。最初の射のターゲットが 2 番目の射のソースと等しい場合、射を合成できます。射の合成には、関数の合成と同様の特性があります(結合性、および各オブジェクトの恒等射の存在)。射は多くの場合、何らかの関数ですが、常にそうであるとは限りません。たとえば、モノイドは、射がモノイドの要素である単一のオブジェクトを持つカテゴリと見なすことができます。

圏論の2番目の基本概念は、関数の概念であり、これは2つの圏との間の射の役割を果たします。つまり、ソースがソースに、ターゲットがターゲットにマッピングされるように、関数のオブジェクトを関数のオブジェクトに、関数の射を関数の射にマッピングします（または、反変関数の場合には、ソースがターゲットにマッピングされ、その逆も同様です）。3番目の基本概念は、関数の射として見ることができる 自然変換です。${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$

カテゴリは 次の 3 つの数学的エンティティで構成されます。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• クラス。 その要素はオブジェクトと呼ばれます。${\displaystyle {\text{ob}}({\mathcal {C}})}$
• クラス。その要素は、射、マップ、または矢印と呼ばれます。各射には、ソース オブジェクトとターゲット オブジェクトがあります。${\displaystyle {\text{hom}}({\mathcal {C}})}$
  ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

表現 は、言葉で表現すると「 はaからbへの射である」となります。${\displaystyle f:a\mapsto b}$${\displaystyle f}$

式( 、、またはとも表記) は、からまでのすべての射のhom クラスを表します。${\displaystyle {\text{hom}}(a,b)}$${\displaystyle {\text{hom}}_{\mathcal {C}}(a,b)}$${\displaystyle {\text{mor}}(a,b)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

• 射の合成と呼ばれる二項演算は 、${\displaystyle \circ }$

任意の3つのオブジェクトa、b、cについて、

${\displaystyle \circ :{\text{hom}}(b,c)\times {\text{hom}}(a,b)\mapsto {\text{hom}}(a,c)}$

と の合成はまたはと書かれ、^{[a] は}2 つの公理によって決まります。 ${\displaystyle f:a\mapsto b}$${\displaystyle g:b\mapsto c}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle gf}$

1.結合性：、、ならば ${\displaystyle f:a\mapsto b}$${\displaystyle g:b\mapsto c}$${\displaystyle h:c\mapsto d}$

${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$

2.恒等写像: あらゆる対象xに対して、 xの恒等写像と呼ばれる射（ とも表記）が存在し、あらゆる写像 に対して、 ${\displaystyle 1_{x}:x\mapsto x}$${\displaystyle {\text{id}}_{x}}$${\displaystyle f:a\mapsto b}$

${\displaystyle 1_{b}\circ f=f=f\circ 1_{a}}$

公理から、あらゆるオブジェクトに対して正確に 1 つの恒等写像が存在することが証明できます。

• カテゴリセット
  • オブジェクトのクラスとして、すべてのセットのクラスを選択します。${\displaystyle {\text{ob}}({\text{Set}})}$
  • 射のクラスとして、すべての関数のクラスを選択します。したがって、2つのオブジェクトAとB、つまり集合に対して、⁠ ⁠となるすべての関数⁠ ⁠のクラスでなければなりません。${\displaystyle {\text{hom}}({\text{Set}})}$${\displaystyle {\text{hom}}(A,B)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:A\mapsto B}$
  • 射${\displaystyle \circ }$の合成は、通常の関数合成に過ぎません。つまり、2つの射⁠ ⁠${\displaystyle f:A\mapsto B}$と⁠ ⁠に対して、 ${\displaystyle g:B\mapsto C}$⁠ ⁠${\displaystyle g\circ f:A\mapsto C}$ ,が成り立ち、これは明らかに結合的です。さらに、すべてのオブジェクトAに対して、恒等写像がA上の恒等写像となる恒等写像が成り立ちます。${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$${\displaystyle {\text{id}}_{A}}$${\displaystyle {\text{id}}_{A}:A\mapsto A}$${\displaystyle {\text{id}}_{A}(x)=x}$

射の間の関係（ fg = hなど）は、多くの場合、可換図を使用して表され、「点」（角）がオブジェクトを表し、「矢印」が射を表します。

射は以下のいずれかの特性を持ちます。射f  : a → b は次のようになります。

• 単射（またはモニック）とは、f ∘ g ₁ = f ∘ g ₂であれば、すべての射g ₁ , g ₂  : x → aに対してg ₁ = g _{2 が}成り立つことを意味する。
• g ₁ ∘ f = g ₂ ∘ fならば、すべての射g ₁ , g ₂  : b → xに対してg ₁ = g ₂が成り立つ場合、エピモーフィズム（またはエピック）となる。
• f がエピックかつモニックである場合は双射。
• 同型とは、射g  : b → aが存在してf ∘ g = 1 _bかつg ∘ f = 1 _aとなる場合である。^[b]
• a = bならば自己準同型。end( a ) はaの自己準同型のクラスを表す。
• f が自己準同型かつ同型である場合、自己同型。aut( a ) はaの自己同型のクラスを表します。
• fの右逆が存在する場合、つまりf ∘ g = 1 bとなる射g  : b → aが存在する場合_は撤回。
• fの左逆が存在する場合、つまりg ∘ f = 1 _aとなる射g  : b → aが存在する場合、セクションとなります。

すべての撤回はエピモーフィズムであり、すべてのセクションはモノモーフィズムです。さらに、次の 3 つのステートメントは同等です。

• f は単射であり、かつ撤回である。
• f はエピモーフィズムとセクションです。
• f は同型です。

関数は、カテゴリ間の構造保存マップです。関数は、すべての（小さな）カテゴリのカテゴリ内の射と考えることができます。

カテゴリCからカテゴリDへの(共変) 関手Fは、F  : C → Dと書かれ、次のものから構成されます。

• C内の各オブジェクトxに対して、 D内のオブジェクトF ( x ) があり、
• Cの各射f  : x → yに対して、 Dの射F ( f ) : F ( x ) → F ( y )、

次の 2 つの特性が成り立つ:

• C内のすべてのオブジェクトxについて、F (1 _x ) = 1 _{F ( x )}です。
• すべての射f  : x → yとg  : y → zに対して、F ( g∘f )= F ( g ) ∘F ( f )です。

反変関手F : C → D は共変関手に似ていますが、「射を反転する」（「すべての矢印を逆にする」）点が異なります。より具体的には、Cのすべての射f  : x → yは、 Dの射F ( f ) : F ( y ) → F ( x )に割り当てられる必要があります 。言い換えると、反変関手は、反対のカテゴリC ^opからDへの共変関手として機能します。

自然変換は、2 つの関数間の関係です。関数は多くの場合、「自然な構成」を記述し、自然変換はそのような 2 つの構成間の「自然な準同型」を記述します。まったく異なる 2 つの構成が「同じ」結果をもたらすこともあります。これは、2 つの関数間の自然同型によって表現されます。

FとG がカテゴリCとD の間の (共変) 関手である場合、FからGへの自然変換η は、 CのすべてのオブジェクトX に D の射η X : F ₍  X ) → G ( X )を関連付けます。これにより、Cのすべての射f  : X → Yに対して、 η _Y ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ η _Xが成立します。これは、次の図が可換であることを意味します。

2 つの関手FとG は、 C内のすべてのオブジェクトXに対してη _{X が}同型となるような、FからGへの自然変換が存在する場合、自然同型であると呼ばれます。

カテゴリー理論の言語を使用すると、数学の研究の多くの分野を分類することができます。カテゴリーには、集合、群、位相が含まれます。

各カテゴリは、空集合や2 つの位相の積など、そのすべてのオブジェクトに共通するプロパティによって区別されますが、カテゴリの定義では、オブジェクトはアトミックであると見なされます。つまり、オブジェクトAが集合なのか、位相なのか、その他の抽象概念なのかはわかりません。したがって、課題は、それらのオブジェクトの内部構造を参照せずに特殊なオブジェクトを定義することです。要素を参照せずに空集合を定義したり、開集合を参照せずに積位相を定義したりするには、それぞれのカテゴリの射によって与えられる他のオブジェクトとの関係でこれらのオブジェクトを特徴付けることができます。したがって、タスクは、対象のオブジェクトを一意に決定する 普遍的なプロパティを見つけることです。

カテゴリー極限を展開して双対化し、余極限の概念を生み出すことができれば、多くの重要な構成を純粋にカテゴリー的な方法で記述することができます。

次のような疑問が自然に湧いてきます。どのような条件下では、2 つのカテゴリが本質的に同じであると考えられるのでしょうか。つまり、一方のカテゴリに関する定理が他方のカテゴリに関する定理に容易に変換できるということです。このような状況を説明するために用いられる主要なツールは、カテゴリの同値性と呼ばれ、2 つのカテゴリ間の適切な関数によって与えられます。カテゴリの同値は、数学において 数多くの用途が見出されています。

カテゴリと関数の定義はカテゴリ代数のごく基本的な内容のみを示しています。その他の重要なトピックについては、以下で説明します。これらのトピックはすべて密接に関連していますが、ここで示した順序は、さらに読み進める際のガイドラインとして考えることができます。

• 関数カテゴリ D C^は、 CからDへの関数をオブジェクトとして持ち、そのような関数の自然変換を射として持ちます。米田の補題は、カテゴリ理論の最も有名な基本的結果の 1 つであり、関数カテゴリ内の表現可能な関数を記述します。
• 双対性: カテゴリー理論におけるすべてのステートメント、定理、または定義には、本質的に「すべての矢印を反転」することで得られる双対があります。1 つのステートメントがカテゴリーCで真である場合、その双対は双対カテゴリーC ^opで真です。この双対性は、カテゴリー理論のレベルでは明らかですが、アプリケーションでは不明瞭になることが多く、意外な関係につながることがあります。
• 随伴関数: 関数は、反対方向にマッピングする別の関数の左 (または右) 随伴になることができます。このような随伴関数のペアは、通常、普遍的なプロパティによって定義された構成から生じます。これは、普遍的なプロパティに関するより抽象的で強力な見方と見ることができます。

上記の概念の多く、特にカテゴリの同値性、随伴関数ペア、関数カテゴリは、高次元カテゴリのコンテキストに位置付けることができます。簡単に言えば、2 つのオブジェクト間の射を「あるオブジェクトから別のオブジェクトに移行するプロセス」と考えると、高次元カテゴリでは「高次元プロセス」を考慮することでこれを一般化することができます。

たとえば、（厳密な）2-カテゴリは、「射間の射」、つまり、ある射を別の射に変換するプロセスを伴うカテゴリです。次に、これらの「双射」を水平方向と垂直方向の両方で「合成」することができ、2 つの合成法則を関連付ける 2 次元の「交換法則」が成立する必要があります。このコンテキストでは、標準的な例は、すべての（小さな）カテゴリの 2-カテゴリである Cat であり、この例では、射の双射は、通常の意味での射の自然な変換です。もう 1 つの基本的な例は、単一のオブジェクトを持つ 2-カテゴリを検討することです。これらは、本質的にモノイド カテゴリです。双カテゴリは、射の合成が厳密に結合的ではなく、同型までのみ結合的である、2 次元カテゴリの弱い概念です。

このプロセスはすべての自然数 nに拡張でき、これらはnカテゴリーと呼ばれます。順序数ωに対応するω カテゴリーの概念さえあります。

高次元カテゴリは、ロナルド・ブラウンによって提唱された概念である高次元代数というより広範な数学分野の一部です。これらの概念の会話形式の入門書については、ジョン・バエズの「A Tale of n-categories」（1996 年）を参照してください。

まず、カテゴリの概念全体が本質的に補助的なものであることに注意してください。私たちの基本概念は、本質的に関数と自然変換の概念です [...]

— アイレンバーグとマクレーン（1945）^[2]

関数と自然変換の具体的な例は、 1942年の群論に関する論文^[3]でサミュエル・アイレンバーグとサンダース・マクレーンによって示されていましたが、これらの概念は、カテゴリーという追加の概念とともに、1945年の同じ著者^{[2] （}代数的位相幾何学の分野へのカテゴリー理論の応用について議論した）による論文^[4]でより一般的な意味で導入されました。彼らの研究は、直観的および幾何学的ホモロジーからホモロジー代数への移行において重要な部分であり、アイレンバーグとマクレーンは後に、彼らの目標は自然変換を理解することであり、そのためにはまず関数の定義が必要であり、次にカテゴリーの定義が必要であると書いています。

スタニスワフ・ウラムと、彼に代わって執筆した何人かの人物は、関連するアイデアが1930年代後半のポーランドで流行していたと主張している。^[要出典]アイレンバーグはポーランド人で、1930年代にポーランドで数学を学んだ。^{[5]圏論はまた、ある意味では、抽象的なプロセスを形式化した}エミー・ネーター（マクレーンの教師の一人）の研究の延長である。 ^[6]ネーターは、ある種の数学的構造を理解するには、その構造を保存するプロセス（準同型）を理解する必要があることに気づいた。^{[要出典]アイレンバーグとマクレーンは、}位相構造を、それらを特徴付ける代数構造（位相不変量）に関連付けるプロセス（関手）を理解し形式化するためのカテゴリーを導入した。

カテゴリー理論はもともとホモロジー代数の必要に応じて導入され、現代代数幾何学(スキーム理論) の必要に応じて広く拡張されました。カテゴリー理論は、代数構造を研究する普遍代数の拡張と見なすことができますが、前者はあらゆる種類の数学的構造に適用され、異なる性質の構造間の関係も研究します。このため、カテゴリー理論は数学全体で使用されています。数理論理学と意味論(カテゴリ抽象マシン)への応用は後に行われました。

トポス（単数形はトポス）と呼ばれる特定のカテゴリは、数学の基礎として公理的集合論の代替として機能することさえあります。トポスは、2つの追加のトポス公理を持つ特定のタイプのカテゴリと考えることもできます。カテゴリ理論のこれらの基礎的な応用は、構成的数学の基礎および正当化としてかなり詳細に検討されてきました。トポス理論は、幾何学に起源を持つ抽象層理論の一種であり、無意味な位相などのアイデアにつながります。

カテゴリー論理は現在、直観主義論理の型理論に基づく明確に定義された分野であり、関数型プログラミングやドメイン理論に応用されています。そこでは、デカルトの閉カテゴリーがラムダ計算の非構文的記述として扱われます。少なくとも、カテゴリー理論の言語は、これらの関連分野が正確に何を共有しているかを（ある抽象的な意味で）明確にします。

カテゴリー理論は他の分野にも応用されています。応用カテゴリー理論を参照してください。たとえば、ジョン・バエズは物理学におけるファインマン図とモノイドカテゴリーの関係を示しました。 ^[7]カテゴリー理論、より具体的にはトポス理論の別の応用は、数学的な音楽理論で行われました。たとえば、ゲリーノ・マッツォーラの著書「音楽のトポス、概念、理論、演奏の幾何学的論理」を参照してください。

数学の基礎として学部生にカテゴリーを紹介する最近の取り組みとしては、William Lawvereと Rosebrugh (2003)、Lawvere とStephen Schanuel (1997)、Mirroslav Yotov (2012) による取り組みがあります。

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