極限保存関数（順序理論）

数学の領域である順序論では、 特定の極限、つまり特定の上限または下限を保存する関数についてよく話されます。大まかに言えば、これらの関数は、集合の上限/下限を、集合の像の上限/下限にマッピングします。関数がこの特性を満たす集合の種類に応じて、有限、有向、空でない、または任意の上限または下限を保存します。これらの要件はそれぞれ、順序論の多くの領域で自然かつ頻繁に現れ、これらの概念と単調性などの他の概念の間にはさまざまな重要な関係があります。極限保存の含意が逆転し、関数の値域に極限が存在することが定義域に極限が存在することを意味する場合、極限を反映する関数が得られます。

この記事の目的は、現時点では文献が必ずしも一貫していないため必要な、これらの基本概念の定義を明確にし、これらの問題に関する一般的な結果と説明を提供することです。

順序理論の多くの専門分野では、特定の極限構成に関して完全な半順序集合のクラスに限定されます。たとえば、格子理論では、すべての有限の空でない集合が最小の上限と最大の下限の両方を持つ順序に関心があります。一方、領域理論では、すべての有向部分集合が上限を持つ半順序集合に焦点が当てられます。完全な格子と、最小の要素 (「空の上限」) を持つ順序は、さらなる例を提供します。

これらすべての場合において、極限は理論にとって中心的な役割を果たし、各分野の実際の応用におけるその解釈によってサポートされています。また、そのような順序間の適切なマッピングを指定することにも関心があります。代数的な観点からは、これは、検討中の構造に対する準同型性の適切な概念を見つけたいことを意味します。これは、それぞれの順序に特徴的な構成と互換性のある関数を検討することによって達成されます。たとえば、格子準同型性は、空でない有限の上限と下限を保存する関数です。つまり、2 つの要素の上限/下限の像は、それらの像の上限/下限に過ぎません。領域理論では、すべての有向上限を保存するいわゆるスコット連続関数を扱うことがよくあります。

以下に示す定義と用語の背景は、 より一般的な意味での極限（および共極限）が考慮される圏論に見られます。極限保存関手と極限反映関手の圏論的概念は、順序を、定義された追加構造を持つ半集合圏として定義される小さな圏と見なすことができるため、順序理論と完全に一致しています。

2つの半順序集合PとQ、およびPからQへの関数fについて考える。さらに、S をPの最小上限s を持つ部分集合とする。このとき、集合f ( S ) = { f ( x ) | x in S } がQの最小上限を持ち、それがf ( s )に等しい場合、 fはSの上限値を保存する。つまり、

f (sup S ) = sup f ( S )

この定義は、集合f ( S )の上限が存在し、それがf ( s ) に等しいという 2 つの要件から成ります。これは、前述のカテゴリ理論との類似点に対応しますが、文献では必ずしも要求されていません。実際、場合によっては、存在する上限のみがf ( s ) に等しいことを要求するように定義を弱めます。ただし、Wikipedia では上記の一般的な概念を使用しており、必要に応じて他の条件を明示的に述べています。

上記の基本的な定義から、広範囲の有用な特性を導くことができます。半集合PとQの間の関数fは、それぞれすべての有限、空でない、有向、または任意の集合の上限を保存する場合、有限、空でない、有向、または任意の上限を保存すると言われます。空でない有限上限の保存は、すべての要素xとyに対して成り立つ恒等式f ( x v y ) = f ( x ) v f ( y )によって定義することもできます。ここで、 v は両方の順序で全関数であると仮定します。

二重の方法で、内径の保存に関するプロパティを定義します。

極限の保存の「反対の」条件は反映と呼ばれます。上記のような関数fとPのサブセットS を考えます。この場合、 sup f ( S ) がQに存在し、 Pのいくつかの要素sに対してf ( s )に等しくなります。すると、sup S が存在し、 sに等しい場合、 f はSの上限を反映します。保存についてすでに示したように、集合Sの特定のクラスを考慮し、定義を最小値に双対化することで 、多くの追加の特性が得られます。

上記のスキームから派生したいくつかの特殊なケースや特性は、別の名前で知られていたり、順序理論のいくつかの分野で特に重要であったりします。たとえば、空の上限を保存する関数は、最小の要素を保存する関数です。さらに、前述の動機により、多くの極限保存関数は、特定の順序構造の特殊な準同型として現れます。その他の著名なケースを次に示します。

関数がすべての上限（または下限）を保存する場合、興味深い状況が発生します。より正確には、関数がすべての既存の上限（または下限）を保存すると表現され、検討中の半集合が完全な格子ではない可能性があります。たとえば、（単調な）ガロア接続にはこの特性があります。逆に、順序理論の随伴関数定理により、すべての上限/下限を保存するマッピングは、いくつかの追加要件が満たされている限り、一意のガロア接続の一部であることが保証されます。

格子Lが分配的であるとは 、L内のすべてのx、y、zに対して、

${\displaystyle x\wedge \left(y\vee z\right)=\left(x\wedge y\right)\vee \left(x\wedge z\right)}$

しかし、これは単に、meet関数^: L -> Lが二項の 上限を保存するということを示しているに過ぎません。格子理論では、この条件はその双対、つまり二項の下限を保存する関数v: L -> Lと同等であることが知られています。同様に、無限分配法則

${\displaystyle x\wedge \bigvee S=\bigvee \left\{x\wedge s\mid s\in S\right\}}$

完全なヘイティング代数（無点位相も参照）の条件は、任意の上限を保存する meet 関数 ^ と同値です。ただし、この条件はその双対を意味しません。

有向上限を保存する関数は、スコット連続、または解析学や位相幾何学の概念と混同しない範囲で単に連続と呼ばれることもあります。極限の保存に対する連続という用語の同様の用法は、圏論でも見られます。

上記の極限保存の定義は非常に強力です。実際、2 要素の連鎖、つまり 2 つの比較可能な要素のセットの少なくとも上限または下限を保存するすべての関数は、必然的に単調です。したがって、上記のすべての特別な保存特性は単調性を誘発します。

いくつかの極限は他の極限で表現できるという事実に基づいて、保存特性間の関係を導き出すことができます。たとえば、関数f が有向の上限値を保存するのは、すべてのイデアルの上限値を保存する場合のみです。さらに、すべての空でない有限の上限値が存在する poset (いわゆる sup-semilattice) からのマッピングf が任意の上限値を保存するのは、有向の上限値と有限の上限値 (空の場合もある) の両方を保存する場合のみです。

しかし、すべての上限値を保存する関数がすべての下限値も保存する、またはその逆であるというのは真実ではありません。