連続半順序集合

任意の２つの要素について${\displaystyle a,b\in P}$連続した順序付き集合の${\displaystyle (P,\lesssim )}$、${\displaystyle a\ll b}$任意の有向集合に対して${\displaystyle D\subseteq P}$そのため${\displaystyle b\lesssim \sup D}$、${\displaystyle d\in D}$そのため${\displaystyle a\ll d}$これから、連続順序付き集合の補間特性が導かれる。${\displaystyle (P,\lesssim )}$: いずれの場合も${\displaystyle a,b\in P}$そのため${\displaystyle a\ll b}$があります${\displaystyle c\in P}$そのため${\displaystyle a\ll c\ll b}$。

任意の２つの要素について${\displaystyle a,b\in P}$連続的なdcpo${\displaystyle (P,\leq )}$、以下の2つの条件は同等である。^{[ 1 ]： p.61、命題I-1.19(i)}

• ${\displaystyle a\ll b}$そして${\displaystyle a\neq b}$。
• 任意の有向集合に対して${\displaystyle D\subseteq P}$そのため${\displaystyle b\leq \sup D}$、${\displaystyle d\in D}$そのため${\displaystyle a\ll d}$そして${\displaystyle a\neq d}$。

これを用いると、連続dcposに対して以下のより強い補間特性が成り立つことが示される。任意の${\displaystyle a,b\in P}$そのため${\displaystyle a\ll b}$そして${\displaystyle a\neq b}$、${\displaystyle c\in P}$そのため${\displaystyle a\ll c\ll b}$そして${\displaystyle a\neq c}$[ ^{1 ] : p.61、命題 I-1.19(ii )}

DCPOの場合${\displaystyle (P,\leq )}$以下の条件は同等である。^{[ 1 ]：定理I-1.10}

• ${\displaystyle P}$連続的である。
• 至高の地図${\displaystyle \sup \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P}$半順序付けられたイデアルの集合から${\displaystyle P}$に${\displaystyle P}$左随伴を持つ。

この場合、実際の左随伴は

${\displaystyle {\Downarrow }\colon P\to \operatorname {Ideal} (P)}$

${\displaystyle {\mathord {\Downarrow }}\dashv \sup }$

任意の２つの要素について${\displaystyle a,b\in L}$完全な格子の${\displaystyle L}$、${\displaystyle a\ll b}$任意の部分集合に対して${\displaystyle A\subseteq L}$そのため${\displaystyle b\leq \sup A}$有限部分集合が存在する${\displaystyle F\subseteq A}$そのため${\displaystyle a\leq \sup F}$。

させて${\displaystyle L}$完全格子である。このとき、以下の条件は同値である。

• ${\displaystyle L}$連続的である。
• 至高の地図${\displaystyle \sup \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L}$理想の完全な格子から${\displaystyle L}$に${\displaystyle L}$任意の下限値を保持する。
• どんな家族にも${\displaystyle {\mathcal {D}}}$有向集合の${\displaystyle L}$、${\displaystyle \textstyle \inf _{D\in {\mathcal {D}}}\sup D=\sup _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\inf _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)}$。
• ${\displaystyle L}$スコット連続冪等写像の像と同型である${\displaystyle r\colon \{0,1\}^{\kappa }\to \{0,1\}^{\kappa }}$任意に多数の2点格子の直接べき乗について${\displaystyle \{0,1\}}$[ ^{2 ]： p.56、定理44}

連続した完全格子は、しばしば連続格子と呼ばれる。

位相空間の場合${\displaystyle X}$以下の条件は同等である。

• 完全なヘイティング代数${\displaystyle \operatorname {Open} (X)}$開集合の${\displaystyle X}$は連続完備ハイティング代数である。
• 冷静になること${\displaystyle X}$は局所的にコンパクトな空間である（すべての点がコンパクトな局所基底を持つという意味で）。
• ${\displaystyle X}$は、カテゴリー内の指数化可能なオブジェクトです。${\displaystyle \operatorname {Top} }$位相空間の。^{[ 1 ]： p.196、定理II-4.12}すなわち、関手${\displaystyle (-)\times X\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Top} }$右随伴を持つ。