セミモジュラー格子

順序理論として知られる数学の分野において、半モジュラ格子とは次の条件を満たす格子です。

表記a <: bは、 b が a をカバーする、つまりa < bであり、 a < c < bとなる要素cが存在しないことを意味します。

原子半モジュラー有界格子は、（単純な）マトロイドと同等であるため、マトロイド格子と呼ばれます。有限長の原子半モジュラー有界格子は幾何学格子と呼ばれ、有限ランクのマトロイドに対応します。^[1]

半モジュラー格子は、上半モジュラー格子とも呼ばれます。双対概念は、下半モジュラー格子です。有限格子がモジュラーであるのは、上半モジュラーと下半モジュラーの両方である場合のみです。

有限格子、またはより一般的には昇順連鎖条件または降順連鎖条件を満たす格子は、 M対称である場合にのみセミモジュラーである。一部の著者はM対称格子をセミモジュラー格子と呼んでいる。^[2]

バーコフの病状

格子は、ギャレット・バーコフによる次の条件を満たす場合、弱半モジュラと呼ばれることがあります。

すべての半モジュラー格子は弱半モジュラーです。逆は有限長の格子に対しても当てはまり、より一般的には上連続（鎖の結合部にわたって交わりが分配される）の相対的に原子的な格子に対しても当てはまります。

次の 2 つの条件は、すべての格子に対して互いに同等です。これらは、有限格子の半モジュラ性と同等であるが被覆関係を含まない条件を探していたSaunders Mac Laneによって発見されました。

マックレーンの病状1: 任意のa、b、cに対して、b ∧ c < a < c < b ∨ a、; b ∧ c < d ≤ bかつa = ( a ∨ d ) ∧ cとなるような元dが存在する。
マックレーンの病状2: 任意のa、b、 c について、b∧c < a < c < b∨c が成り立つ。; b ∧ c < d ≤ bかつa = ( a ∨ d ) ∧ cとなるような元dが存在する。

^これらの定義は Stern (1999) に従っています。一部の著者は、より一般的なマトロイド格子に対して幾何 学的格子という用語を使用しています。ほとんどの著者は有限の場合のみを扱っており、その場合、両方の定義は半モジュラーと原子論に相当します。
^ 例えば、Fofanova (2001)。