コンパクトエレメント

順序理論という数学の分野において、半順序集合のコンパクト要素または有限要素とは、そのコンパクト要素より上位の要素を既に含まない、空でない有向集合の上限によって包含されない要素のことである。このコンパクト性の概念は、集合論における有限集合、位相幾何学におけるコンパクト集合、代数学における有限生成加群の概念を同時に一般化するものである。（数学には他にもコンパクト性の概念が存在する。）

半順序集合 ( P ,≤) において、要素cがコンパクト(または有限)と呼ばれるのは、以下のいずれかの同値条件を満たす場合である。

• Pの任意の有向部分集合Dに対して、D が上限 sup Dを持ち、c ≤ sup Dならば、Dのある要素dに対してc ≤ d が成り立つ。
• PのすべてのイデアルIに対して、I が上限 sup Iを持ち、c ≤ sup Iであるならば、cはIの要素である。

半順序集合Pが結合半束である場合(つまり、二項上限を持つ場合)、これらの条件は次の記述と同等です。

• Pの任意の部分集合Sに対して、S が上限 sup S を持ち、c ≤ sup Sであるならば、Sのある有限部分集合Tに対してc ≤ sup T が成り立つ。

特に、c = sup Sの場合、cはSの有限部分集合の上限です。

これらの同値性は、関連する概念の定義から容易に検証できます。結合半束の場合、任意の集合は、有限（空でない）上限の下で閉じることによって、同じ上限を持つ有向集合に変換できます。

有向完全半順序または完全束を考える場合、指定された上限が存在するという追加要件は当然省略できます。有向完全である結合半束は、ほぼ完全束です（最小要素が欠けている可能性があります）。詳細は完全性（順序理論）を参照してください。

• 最も基本的な例は、ある集合Aの冪集合を部分集合の包含関係で順序付けすることによって得られます。この完全束の中では、コンパクト要素はまさにAの有限部分集合です。これが「有限要素」という名称の正当性を示しています。^{[ 1 ]}
• 「コンパクト」という用語は、位相空間Tの（位相的に）コンパクトな部分集合の定義に由来する。集合Yは、任意の開集合の集合Sに対して、 Sの和集合がY を部分集合として 含む場合、 Y がSの有限部分集合の和集合の部分集合として含まれる場合にコンパクトである。集合の集合の上限がそれらの和集合によって与えられる部分集合包含順序を持つ完全束としてTの冪集合を考えると、コンパクト性の位相的条件は、結合半束のコンパクト性の条件を模倣しているが、開集合であるという追加要件がある。
• 半順序集合の最小要素は、存在する場合、常にコンパクトである。実数単位区間[0,1]（実数から継承された標準的な順序を持つ）の例が示すように、これが唯一のコンパクト要素である場合もある。
• 格子の完全結合素要素はすべてコンパクトである。

すべての要素が、その下位にあるコンパクト要素によって形成される有向集合の上限であるような半順序集合を代数的半順序集合と呼ぶ。このようなdcposである半順序集合は、領域理論でよく用いられる。

重要な特殊なケースとして、代数束は、 Lのすべての要素xがxより小さいコンパクト要素の上限であるような完全束Lです 。

典型的な例（「代数的」という名前の由来となった例）は次のとおりです。

任意の代数A (例えば、群、環、体、束など、あるいは演算を持たない単なる集合など) に対して、Sub( A ) をAのすべての部分構造の集合、すなわち、A のすべての演算 (群の加算、環の加算と乗算など) に関して閉じている A のすべての部分集合の集合とします。ここで、部分構造の概念には、代数Aに零演算がない場合の空の部分構造も含まれます。

それから：

• 集合包含関係によって順序付けられた集合 Sub( A ) は束である。
• Sub( A )の最大の要素は集合A自体です。
• Sub( A ) 内の任意のS、Tに対して、 SとTの最大下限はSとTの集合論的共通部分であり、最小上限はSとTの和集合によって生成される部分代数である。
• 集合 Sub( A ) は完全束です。任意の部分構造の族の最大下限は、それらの共通部分です (族が空集合の場合はAです)。
• Sub( A )のコンパクト要素は、Aの有限生成部分構造と完全に一致する。
• すべての部分構造は、その有限生成部分構造の和集合である。したがって、Sub( A )は代数束である。^{[ 2 ]}

また、ある種の逆も成り立つ。すべての代数束は、ある代数Aに対してSub( A ) と同型である。

普遍代数において重要な役割を果たす別の代数束があります。任意の代数Aに対して、 Con( A ) をA上のすべての合同関係の集合とします。A 上の各合同関係は積代数A x Aの部分代数であるため、Con( A ) ⊆ Sub( A x A ) となります。ここでも、次のようになります。

• 集合包含関係によって順序付けられたCon( A ) は格子である。
• Con( A )の最大の要素は集合A x Aであり、これは定数準同型に対応する合同式です。最小の合同式はA x Aの対角線であり、これは同型に対応します。
• Con( A )は完全格子である。
• Con( A )のコンパクト要素は、まさに有限生成合同式である。
• Con( A )は代数束である。

また逆もあります。George GrätzerとET Schmidtの定理により、すべての代数束は、ある代数Aに対してCon( A )と同型です。

コンパクト要素は、コンピュータ科学における意味論的アプローチであるドメイン理論において重要であり、一種の原始要素とみなされます。コンパクト要素によって表される情報は、この知識を既に含んでいないいかなる近似によっても得ることができません。コンパクト要素は、それより厳密に小さい要素によって近似することはできません。一方、すべての非コンパクト要素がコンパクト要素の有向上限として得られる場合もあります。これは望ましい状況です。なぜなら、コンパクト要素の集合は元の半順序集合よりも小さい場合が多いからです（上記の例がこれを示しています）。

順序理論と領域理論については、参考文献を参照してください。