オイラー等辺三角形

組合せ数学において、オイラー posetは、すべての非自明な区間が偶数階の要素と奇数階の要素の数が同じである次数付き posetです。格子であるオイラー poset はオイラー 格子です。これらのオブジェクトは、レオンハルト オイラーにちなんで名付けられています。 オイラー 格子は、凸多面体の面格子を一般化するものであり、近年の研究の多くは、凸単体多面体のfベクトルに対するさまざまな制限など、多面体組合せ論からの既知の結果を、このより一般的な設定に 拡張することに費やされています。

• 凸多面体の面格子は、その面と、最小の要素である空の面、および最大の要素である多面体自体から構成され、オイラー格子です。奇偶条件はオイラーの公式に従います。
• 任意の単体的一般化ホモロジー球面はオイラー格子です。
• L を、 | L | が同じ次元の球面と同じオイラー特性を持つ多様体であるような正則セル複体とします (次元が奇数の場合、この条件は空です)。すると、 Lのセルのposet は、その閉包の包含順に並べられ、オイラーになります。
• W をBruhat 順序のCoxeter 群とします。このとき、( W ,≤) はオイラー半集合です。

• オイラー等位集合Pの定義条件は、そのメビウス関数を用いて同様に述べることができる。

${\displaystyle \mu _{P}(x,y)=(-1)^{|y|-|x|}{\text{ すべての }}x\leq y に対して。}$

• 半順序を逆にすることで得られる、最上位要素を持つオイラー ポセットの双対はオイラーです。
• リチャード・スタンレーは、順位付き半集合のトーリックhベクトルを定義した。これは、単体多面体のhベクトルを一般化したものである。 ^[1]彼は、デーン・ソマービル方程式が

${\displaystyle h_{k}=h_{dk}\,}$

階数d  + 1の任意のオイラー等位集合に対して成り立つ^。[2]しかし、正則セル複合体または凸多面体から生じるオイラー等位集合の場合、トーリックhベクトルは異なる次元のセルの数または面の数を決定することも、それらによって決定されることもなく、トーリックhベクトルには直接的な組合せ論的解釈はない。

• リチャード・P・スタンレー『列挙的組合せ論』第1巻。ケンブリッジ大学出版局、1997年ISBN  0-521-55309-1

• 抽象多面体
• スター積、オイラーの性質を保ちながら半順序集合を結合する方法