完全に分配的な格子

順序理論という数学の分野において、完全分配格子とは、任意の結合が任意の会合に分配される完全な格子のことである。

正式には、完全格子Lが完全分配的であるとは、 Lの任意の2重インデックス族 { x _{j , k} | j in J , k in K _j }に対して、次が 成り立つことを言う。

${\displaystyle \bigwedge _{j\in J}\bigvee _{k\in K_{j}}x_{j,k}=\bigvee _{f\in F}\bigwedge _{j\in J}x_{j,f(j)}}$

ここでFはJの各インデックスjに対してKj_のインデックスf ( j )を選択する選択関数 fの集合である。^[1]

完全分配性は自己双対的な性質であり、つまり上記のステートメントを双対化すると同じクラスの完全格子が得られる。^[1]

様々な異なる特徴付けが存在する。例えば、以下は選択関数の使用を避ける同等の法則である^{[引用が必要]}。任意の集合Sに対して、集合S ^#を、 Sのすべての要素と空でない交差を持つ完全格子のすべての部分集合Xの集合として定義する。次に、次のステートメントで完全分配性を定義することができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\bigwedge \{\bigvee Y\mid Y\in S\}=\bigvee \{\bigwedge Z\mid Z\in S^{\#}\}\end{aligned}}}$

演算子 ( ) ^#は、クロスカット演算子と呼ばれることがあります。このバージョンの完全分配性は、選択公理を認める場合にのみ、元の概念を意味します。

さらに、任意の完全格子Lに対して以下の命題が同値であることが知られている: ^[2]

• Lは完全に分配的です。
• Lは、任意の会合と結合を保存する順序埋め込みによって、チェーン[0,1]の直積に埋め込むことができます。
• Lとその双対順序L ^{op は}両方とも連続半順序集合である。^[要出典]

[0,1]の直積、つまりある集合Xから[0,1]までのすべての関数を点ごとに並べた集合は、立方体とも呼ばれます。

すべてのposet C は、完全に分配的な格子で 完成することができます。

完全分配格子L は、任意の完全分配格子Mと単調関数に対して、を満たす唯一の完全準同型が存在するような順序埋め込みが存在するときに限り、poset C上の自由完全分配格子と呼ばれます。任意の poset Cに対して、 poset C上の自由完全分配格子が存在し、同型を除いて一意です。^[3] ${\displaystyle \phi :C\rightarrow L}$ ${\displaystyle f:C\rightarrow M}$ ${\displaystyle f_{\phi }^{*}:L\rightarrow M}$${\displaystyle f=f_{\phi }^{*}\circ \phi }$

これは自由オブジェクトの概念の一例です。集合X は離散順序を持つ poset と見なすことができるため、上記の結果は集合X上の自由完全分配格子の存在を保証します。

• 自然な順序で並べられた単位区間[0,1]は完全に分配的な格子である。^[4]
  • より一般的には、任意の完全鎖は完全分配格子である。^[5]
• 任意の集合Xの冪集合格子は完全に分配的な格子である。^[1]${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}$
• 任意の poset Cに対して、 C 上の自由完全分配格子が存在する。^[3]上記の自由完全分配格子のセクションを参照。

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