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『格子と順序の入門』は、ブライアン・A・デイヴィーとヒラリー・プリーストリーによる順序理論の数学教科書です。1990年にケンブリッジ大学出版局のケンブリッジ数学教科書シリーズから出版され[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]、 2002年に第2版が出版されました[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]。第2版は、トピックと構成が大きく異なり、特にコンピュータサイエンスへの応用など、この分野の最近の発展を取り入れるために改訂されました[ 4 ] [ 6 ]。アメリカ数学協会の基本図書館リスト委員会は、学部数学図書館への収蔵を推奨しています[ 7 ] 。
本書はどちらの版も11章から構成されており、第2版では最初の4章が数学者やコンピュータ科学者向けの一般的な参考資料として、残りの7章が論理学者、位相幾何学者、束論者向けのより専門的な内容として構成されている。[ 4 ]
第1章では、部分順序集合について扱い、グラフ上の部分集合関係によって順序付けられた部分関数を基本的な例として挙げ、上要素と下要素、上集合と下集合などの基本的な概念を扱います。これらの考え方は、第2章の束に関する内容につながり、束では任意の2つの要素（または完全束では任意の集合）が最大下限と最小上限を持ちます。この章では、任意の部分順序の下位集合から束を構成する方法、および完全束上の順序保存関数の不動点から束を構成するKnaster–Tarskiの定理について扱います。第3章では、形式概念分析、対象とその特性の集合から「概念束」を構成する方法、各束要素が対象の集合とそれらの対象が持つ特性の集合の両方を表すこと、および完全束を形成する際のこの構成の普遍性について扱います。導入章の4番目は、モジュラー束、分配束、ブール束などの特殊なクラスの束について扱っています。[ 5 ]
本書の第2部では、第5章で、すべての有限ブール束は有限集合の部分集合束と同型であるという定理、および（あまり自明ではないが）すべての有限分配束は有限半順序の下位集合束と同型であるというバーコフの表現定理について論じている。第6章では、束上の合同関係について扱っている。第7章では、半順序上の閉包演算とガロア接続、および半順序をそれを含む最小の完全束にデデキント・マクニールで完全化することについて論じている。続く2つの章では、完全半順序、その不動点定理、情報システム、およびそれらの表示的意味論への応用について論じている。第10章では、第5章の表現定理を無限束に拡張したものを含め、選択公理の順序理論上の等価物について論じ、最終章では、ブール代数に対するストーンの表現定理や分配束に対する双対性理論を含め、位相空間を持つ束の表現について論じる。[ 5 ]
2つの付録には、最終章に必要なトポロジーの背景知識と注釈付き参考文献が掲載されている。 [ 6 ]
本書は大学院生を対象としていますが、[ 2 ]上級学部生にも使用できます。[ 6 ]多数の演習問題があるため、コースの教科書として適しており、[ 2 ] [ 3 ]本書の解説の詳細を補足するとともに、追加のトピックへのヒントも提供します。[ 5 ]読者にはある程度の数学的素養が求められますが、主な前提条件は離散数学、抽象代数学、群論です。[ 2 ] [ 5 ]
初版について、書評家のヨゼフ・ニーダーレは「優れた教科書」「最新かつ明快」と評している。[ 3 ]同様に、トーマス・S・ブライスは初版を「非常に興味深い応用例について、よく書かれていて、満足のいく、有益で刺激的な解説」と称賛し、[ 1 ]更新されたレビューでは、第2版も初版と同等に優れていると述べている。[ 4 ]同様に、ジョン・コーエンはトピックの順序と選択（特に、主題の圏論的観点を犠牲にして合同関係を含めていること）に多少の異論はあるものの、本書は「格子理論への素晴らしく分かりやすい入門書であり、コンピュータ科学者と数学者の両方にとって等しく興味深い」と結論付けている。[ 5 ]
ブライスとコーエンは、本書が図を作成するためにLaTeXを巧みに使用していること、および図の作成方法に関する有益な説明があることを指摘している。[ 1 ] [ 5 ]