ケプラーの惑星運動の法則

ケプラーの研究の現在の定式化が定着するまでには、ほぼ2世紀を要した。 1738年のヴォルテールの『ニュートンの哲学の要素』は、「法則」という用語を使用した最初の出版物である。^{[ 17 ] [ 18 ]}『天文学者伝記百科事典』のケプラーに関する記事（620ページ）には、これらの発見に対する科学法則という用語が、少なくともジョゼフ・ド・ラランドの時代から使われていたと記されている。^{[ 19 ]}ロバート・スモールの『ケプラーの天文学的発見の報告』 （1804年）の解説によって、3つ目の法則が追加され、3つの法則のセットが完成した。^{[ 20 ]}スモールはまた、歴史的事実に反して、これらは帰納的推論に基づく経験法則であると主張した。^{[ 18 ] [ 21 ]} 

ケプラーの第一法則は次のように述べている。^{[ 22 ]： 3}

すべての惑星の軌道は楕円であり、太陽はその2つの焦点のうちの1つに位置する。

数学的には、楕円は次の式で表すことができます。 $${\displaystyle r={\frac {p}{1+\varepsilon \cos \theta }},}$$ どこ${\displaystyle p}$は半正距円筒図法、εは楕円の離心率、 rは太陽から惑星までの距離、θは太陽から見た惑星の最接近時の現在の位置に対する角度です。したがって、( r , θ )は極座標です。 

楕円の場合、0 < ε < 1です。極限の場合、ε  =  0 では、軌道は太陽を中心とする円になります（つまり、離心率はゼロです）。

θ = 0° （近日点）では、距離は最小になります。 $${\displaystyle r_{\text{min}}={\frac {p}{1+\varepsilon }}.}$$

θ = 90° およびθ = 270°では、距離は${\displaystyle p}$。

θ = 180° （遠日点）では、距離は最大になります（定義により、遠日点は常に近日点に180°を加えたものです）。   $$\displaystyle r_{\text{max}}={\frac {p}{1-\varepsilon }}.}$$

長半径 aは、 r _minとr _maxの算術平均です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}},\\a&={\frac {p}{1-\varepsilon ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

短軸 bは、 r _minとr _maxの幾何平均である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}b&={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}},\\b&={\frac {p}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}.\end{aligned}}}$$

半正弦線pは、 r _minとr _maxの調和平均である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}p&=\left({\frac {r_{\text{max}}^{-1}+r_{\text{min}}^{-1}}{2}}\right)^{-1},\\pa&=r_{\text{max}}r_{\text{min}}=b^{2}.\end{aligned}}}$$

偏心率εは、 r _minとr _maxの間の変動係数です。 $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}}$$

楕円の 面積は$${\displaystyle A=\pi ab.}$$

円の特殊なケースはε = 0 であり、その結果r  = p  = r _min  = r _max  = a  = bおよびA = πr ²となります。

ケプラーの第二法則は次のように述べている。^{[ 22 ]： 3}

惑星と太陽を結ぶ線は、等しい時間間隔で等しい面積を掃過する。^{[ 23 ]}

楕円軌道上の惑星の軌道半径と角速度は変化します。これはアニメーションで示されています。惑星は太陽に近づくほど速く移動し、太陽から遠ざかるほど遅く移動します。ケプラーの第2法則によれば、青色のセクターの面積は一定です。

ケプラーの第三法則は次のように述べている。^{[ 22 ]： 3}

同じ主星を周回するすべての天体において、その天体の公転周期の二乗と軌道の長半径の三乗の比は同じである。

あるいは象徴的に言えば：${\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}$

どこ${\displaystyle T}$は天体の公転周期であり、${\displaystyle a}$これは、その軌道の長半径です。

これは、惑星と太陽との距離と、惑星の公転周期との関係を表している。

ケプラーは1619年にこの第三法則を提唱した^{[ 14 ]。}これは、彼が「天球の音楽」とみなしたものを正確な法則に従って決定し、それを音楽記号で表現しようとする骨の折れる試みであった^{[ 25 ]} 。そのため、これは調和法則として知られていた^{[ 26 ]}。この法則の元の形式（半長軸ではなく「平均距離」を参照）は、離心率がゼロに近い小さな惑星にのみ当てはまる^{[ 27 ] 。}

ニュートンの万有引力の法則（1687年発表）を用いると、円軌道の場合、向心力と重力を等しくすることで、この関係式を導き出すことができる。 $${\displaystyle mr\omega ^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}.}$$ 次に、角速度ωを軌道周期で表すと、${\displaystyle T}$そして式を整理すると、ケプラーの第三法則が得られる。 $${\displaystyle mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}\implies T^{2}=\left({\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\right)r^{3}\implies T^{2}\propto r^{3}.}$$

円軌道ではなく一般的な楕円軌道、そして大きな質量だけでなく重心の周りを公転させることで、より詳細な導出を行うことができる。これにより、円の半径を置き換えることができる。${\displaystyle r}$半長軸${\displaystyle a}$一方の質量が他方の質量に対して楕円形の相対運動をすること、および大きな質量を置き換えること${\displaystyle M}$と${\displaystyle M+m}$しかし、惑星の質量は太陽の質量よりもはるかに小さいため、この補正はしばしば無視されます。完全な対応する式は次のとおりです。 $${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}}}\approx {\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\approx 7.496\times 10^{-6}{\frac {{\text{AU}}^{3}}{{\text{days}}^{2}}}{\text{ is constant}},}$$ どこ${\displaystyle M}$太陽の質量は、${\displaystyle m}$は惑星の質量であり、${\displaystyle G}$は重力定数です。${\displaystyle T}$は軌道周期であり、${\displaystyle a}$は楕円の長半径であり、${\displaystyle {\text{AU}}}$は天文単位であり、地球から太陽までの平均距離を表す。 

テーブル

以下の表は、ケプラーが自身の法則を経験的に導き出すために用いたデータを示している。

ケプラーは、パターンを発見する前に、ジョン・ネイピアが最近発明した対数と対数グラフについて知っていた。 ^{[ 28 ]}

このパターンを発見したケプラーは次のように書いた。^{[ 29 ]}

最初は夢を見ているのかと思ったが… 2つの惑星の公転周期の比率は、平均距離の3/2乗の比率と完全に一致することは、絶対に確実で正確である。

—ケプラー著『世界の調和』 （1619年）からの翻訳

比較のために、現代の推定値を以下に示します。

太陽中心の観点から、惑星へのベクトルを考えてみましょう。${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }},}$どこ${\displaystyle r}$は惑星までの距離であり、${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$これは惑星の方向を指す 単位ベクトルです。$${\displaystyle {\frac {d{\hat {\mathbf {r} }}}{dt}}={\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\qquad {\frac {d{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{dt}}={\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ どこ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$は、反時計回りに 90° の方向を持つ単位ベクトルです。${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$、 そして${\displaystyle \theta }$は極角であり、変数の上のドットは時間に関する微分を表します。

位置ベクトルを2回微分して、速度ベクトルと加速度ベクトルを求めます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}\right)+\left({\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\dot {\theta }}{\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}\right)=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.\end{aligned}}}$$

それで $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=a_{r}{\hat {\boldsymbol {r}}}+a_{\theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}},}$$ ここで、半径方向の加速度は $${\displaystyle a_{r}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2},}$$ そして横方向の加速度は $${\displaystyle a_{\theta }=r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}.}$$

ケプラーの第二法則によれば、 $${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=nab}$$ 定数である。

横方向の加速度${\displaystyle a_{\theta }}$ゼロです: $${\displaystyle {\frac {d\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)}{dt}}=r\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}\right)=ra_{\theta }=0.}$$ つまり、ケプラーの第二法則に従う惑星の加速は、太陽の方向に向かうということだ。

半径方向の加速度${\displaystyle a_{\text{r}}}$は $${\displaystyle a_{\text{r}}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}={\ddot {r}}-r\left({\frac {nab}{r^{2}}}\right)^{2}={\ddot {r}}-{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}.}$$

ケプラーの第一法則によれば、軌道は次の式で表される。 $${\displaystyle {\frac {p}{r}}=1+\varepsilon \cos(\theta ).}$$ 時間に関して微分すると、 $${\displaystyle -{\frac {p{\dot {r}}}{r^{2}}}=-\varepsilon \sin(\theta )\,{\dot {\theta }},}$$ または $${\displaystyle p{\dot {r}}=nab\,\varepsilon \sin(\theta ).}$$

さらに区別すると、 $${\displaystyle p{\ddot {r}}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\dot {\theta }}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\frac {nab}{r^{2}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta ).}$$

半径方向の加速度${\displaystyle a_{\text{r}}}$満たす $${\displaystyle pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta )-p{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left(\varepsilon \cos(\theta )-{\frac {p}{r}}\right).}$$

楕円の方程式を代入すると、 $${\displaystyle pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left({\frac {p}{r}}-1-{\frac {p}{r}}\right)=-{\frac {n^{2}a^{2}}{r^{2}}}b^{2}.}$$

関係${\displaystyle b^{2}=pa}$シンプルな最終結果が得られます $${\displaystyle a_{\text{r}}=-{\frac {n^{2}a^{3}}{r^{2}}}.}$$ これは、加速度ベクトルが${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} }$ケプラーの第一法則と第二法則に従う惑星は、逆二乗法則を満たす。$${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ どこ $${\displaystyle \alpha =n^{2}a^{3}}$$ 定数です。${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$は太陽から惑星に向かう単位ベクトルであり、${\displaystyle r}$は惑星と太陽の間の距離です。

平均運動${\displaystyle n=2\pi /T}$、 どこ${\displaystyle T}$ケプラーの第三法則によれば、周期は${\displaystyle \alpha }$すべての惑星において同じ値をとる。したがって、惑星の加速度に関する逆二乗法則は、太陽系全体に適用される。

逆二乗法則は微分方程式です。この微分方程式の解には、図に示すようなケプラー運動が含まれますが、軌道が双曲線、放物線、または直線となる運動も含まれます（ケプラー軌道を参照）。

ニュートンの第二法則によれば、惑星に作用する重力は $${\displaystyle \mathbf {F} =m_{\text{planet}}{\ddot {\mathbf {r} }}=-m_{\text{planet}}\alpha r^{-2}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ どこ${\displaystyle m_{\text{planet}}}$は惑星の質量であり、${\displaystyle \alpha }$太陽系のすべての惑星に対して同じ値を持つ。ニュートンの第三法則によれば、太陽は惑星に同じ大きさの力で引き付けられる。この力は惑星の質量に比例するため、対称性を考慮すると、太陽の質量にも比例するはずである。${\displaystyle m_{\text{Sun}}}$。 それで $${\displaystyle \alpha =Gm_{\text{Sun}},}$$ どこ${\displaystyle G}$は重力定数です。

ニュートンの法則によれば、 太陽系天体番号iの加速度は、$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{i}=G\sum _{j\neq i}m_{j}r_{ij}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{ij},}$$ どこ${\displaystyle m_{j}}$は物体jの質量です。${\displaystyle r_{ij}}$は物体iと物体jの間の距離です。${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}}$は物体iから物体jへの単位ベクトルであり、ベクトルの総和は太陽系内のすべての物体（物体i自身を除く）について行われます。

太陽系に2つの天体（地球と太陽）しかない特殊なケースでは、加速度は次のようになる。 $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Earth}}=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}},}$$ これはケプラー運動の加速度です。つまり、地球はケプラーの法則に従って太陽の周りを公転しているのです。

太陽系内の2つの天体が月と地球である場合、月の加速度は $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Moon}}=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}.}$$ この近似では、月はケプラーの法則に従って地球の周りを公転する。

3体問題の場合、加速度は $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Sun}}&=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Earth}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Moon}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}.\end{aligned}}}$$ これらの加速度はケプラー軌道の加速度とは異なり、三体問題は複雑です。しかし、摂動計算の基礎となるのはケプラー近似です（月理論を参照）。

ケプラー問題は楕円軌道を仮定し、4つの点

s、太陽（楕円の焦点の1つ）、

z、近日点、

cは楕円の中心で、

p、惑星、

およびパラメータ

${\displaystyle a=|cz|,}$中心と近日点間の距離、半長軸、

${\displaystyle \varepsilon =|cs|/a,}$奇抜さ、

${\displaystyle b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}},}$短軸、

${\displaystyle r=|sp|,}$太陽と惑星の間の距離。

${\displaystyle \theta =\angle zsp,}$太陽から見た惑星の方向、真の異常。

問題は、近日点通過からの時間tから惑星の極座標( r , θ ) を計算することです。  

これは段階的に解決されます。ケプラーは、長軸を直径とする円を考え、

${\displaystyle x,}$惑星の補助円への投影、

${\displaystyle y,}$扇形の面積が | zcy | と | zsx | が等しくなるような円上の点、

${\displaystyle M=\angle zcy,}$平均異常値。

セクター領域は、${\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|.}$

円形セクター領域${\displaystyle |zcy|={\frac {a^{2}M}{2}}.}$

近日点以降に掃き清められた領域は、 $${\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|={\frac {b}{a}}\cdot |zcy|={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {abM}{2}},}$$ ケプラーの第2法則によれば、近日点通過からの時間に比例します。したがって、平均近点角Mは近日点通過からの時間tに比例します。 $${\displaystyle M=nt,}$$ ここでnは平均運動量である。

平均近点角Mを計算すると、目標は真近点角θを計算することです。しかし、関数θ  = f ( M ) は初等的ではありません。 ^{[ 33 ]}ケプラーの解決策は、  $${\displaystyle E=\angle zcx,}$$中心から見たx 、中間変数としての偏心近点角 を用いて、まず以下のケプラー方程式を解いてEをMの関数として計算し、次に偏心近点角Eから真近点角θを計算します。詳細は以下のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}|zcy|&=|zsx|=|zcx|-|scx|,\\{\text{with}}\ |scx|&={\frac {|cs|\cdot |dx|}{2}},\\{\frac {a^{2}M}{2}}&={\frac {a^{2}E}{2}}-{\frac {a\varepsilon \cdot a\sin E}{2}}.\end{aligned}}}$$

2/2で割るとケプラーの方程式^が得られる$${\displaystyle M=E-\varepsilon \sin E.}$$ この式は、MをEの関数として表す。与えられたMに対してEを求めることは、逆問題である。反復的な数値アルゴリズムが一般的に用いられる。

偏心近点角Eを計算したら、次のステップは真近点角θを計算することです。 

楕円の中心を基準としたデカルト座標は ( a  cos E、b sin E ) であることに注意してください。太陽 (座標 ( c、0) = ( ae、0)) を基準とすると、r = ( a cos E − ae、b sin E ) となります。          

真の異常値は arctan( r _y / r _x )であり、rの大きさは√ r  · r となります。

図から次の点に注目してください。 $${\displaystyle |cd|=|cs|+|sd|,}$$ となることによって $${\displaystyle a\cos E=a\varepsilon +r\cos \theta .}$$

で割る${\displaystyle a}$ケプラーの第一法則から挿入すると $${\displaystyle {\frac {r}{a}}={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}}$$ 与える $${\displaystyle \cos E=\varepsilon +{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}\cos \theta ={\frac {\varepsilon (1+\varepsilon \cos \theta )+\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}={\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}.}$$ その結果、偏心近点角Eと真近点角θの間には実用的な関係が得られる。 

計算上より便利な形式は、Eを三角関数の恒等式に代入することによって得られる。$${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}$$ 取得するため $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan ^{2}{\frac {E}{2}}&={\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1-{\dfrac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}{1+{\dfrac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}}\\&={\frac {(1+\varepsilon \cos \theta )-(\varepsilon +\cos \theta )}{(1+\varepsilon \cos \theta )+(\varepsilon +\cos \theta )}}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\cdot {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}$$

 1 + εを掛けると、次の結果が得られます。  $${\displaystyle (1-\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}=(1+\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {E}{2}}.}$$ これは、軌道上の時間と位置の関係を示す3番目のステップです。

第4のステップは、ケプラーの第一法則を用いて、 真近点角θから太陽中心距離rを計算することである。$${\displaystyle r(1+\varepsilon \cos \theta )=a(1-\varepsilon ^{2}),}$$上記のθとEの 関係を用いると、距離rの最終的な式は次のようになる。 $${\displaystyle r=a(1-\varepsilon \cos E).}$$