自由落下時間

自由落下時間とは、他の力が崩壊に対抗しない場合に、物体が自身の重力によって崩壊するのにかかる特性時間です。そのため、自由落下時間は、星形成から太陽震学、超新星まで、重力が主要な役割を果たすさまざまな天体物理学的プロセスの時間スケールを設定する上で基本的な役割を果たします。

ケプラーの惑星運動の第 3 法則を退化した楕円軌道 に適用することで、自由落下時間を導くことは比較的簡単です。距離 にある質点が、その質点に向かって放射状に落下しているとします。(重要なことに、ケプラーの第 3 法則は軌道の長半径のみに依存し、離心率には依存しません)。純粋な放射状の軌道は、離心率が 1 で長半径 である退化した楕円の例です。したがって、ケプラーの第 3 法則により、 物体が内側に落下し、向きを変えて元の位置に戻るのにかかる時間は、半径 の円軌道の周期と同じです。${\displaystyle m}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R/2}$${\displaystyle R/2}$$${\displaystyle t_{\text{軌道}}={\frac {2\pi}{\sqrt {G(M+m)}}}\left({\frac {R}{2}}\right)^{3/2}={\frac {\pi R^{3/2}}{\sqrt {2G(M+m)}}}.}$$

長半径が であることを確認するには、軌道が楕円に近づくにつれて軌道の特性を調べる必要があります。ケプラーの第一法則では、軌道は質量の中心を 1 つの焦点とする楕円であるとされています。非常に小さな質量が非常に大きな質量に向かって落下する場合、質量の中心は大きな質量内にあります。楕円の焦点は、楕円度が増すにつれて中心からずれていきます。離心率が 1 である退化した楕円の極限の場合、軌道の最大直径は、落下する物体の初期位置から質量の点源まで伸びます。言い換えると、楕円は長さ の線になります。長半径は、楕円の長軸に沿った幅の半分であり、退化した場合には になります。 ${\displaystyle R/2}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R/2}$

自由落下する物体が完全な軌道を一周すると、点源質量から距離 離れたところから始まり、点源に到達するまで内側に落下し、その後元の位置に戻ります。実際のシステムでは、点源質量は実際には点源ではなく、落下する物体は最終的に何らかの表面に衝突します。したがって、軌道の半分しか完了しません。ただし、軌道は対称であるため、自由落下時間は周期の半分になります。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle t_{\text{ff}}=t_{\text{軌道}}/2={\frac {\pi }{2}}{\frac {R^{3/2}}{\sqrt {2G(M+m)}}}}$$

(この式は、位置の関数としての落下時間の式からも得られます。)

例えば、地球の軌道上で周期1年で太陽の周りを回っている物体が突然軌道上で停止した場合、太陽に落ちる までの時間は、${\displaystyle P=1}$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {P}{2^{3/2}}}={\frac {P}{\sqrt {32}}}.}$$

これは約64.6日です。

ここで、質量が質点ではなく、中心の周りに球対称の分布で分布し、平均質量密度が である場合を考えます。ここ で、 球の体積は次のようになります。${\displaystyle M}$${\displaystyle \rho}$$${\displaystyle \rho ={\frac {3M}{4\pi R^{3}}},}$$${\textstyle {{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}.}$

作用する唯一の力が重力であると仮定しましょう。すると、ニュートンによって初めて実証され、発散定理 を使って簡単に実証できる通り、球の中心からの任意の距離における重力の加速度は、 内に含まれる全質量のみに依存します。この結果の帰結は、球を一連の同心円状の殻に分割すると想像すると、各殻はそれ自身の内部にある殻の後にのみ崩壊し、崩壊中に殻が交差することはありません。その結果、 における試験粒子の自由落下時間は、内の全質量のみで表すことができます。 から 内の平均密度で表すと、自由落下時間は^[1]となり 、後者はSI単位系です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$ $${\displaystyle t_{\text{ff}}={\sqrt {\frac {3\pi }{32G\rho }}}\simeq 0.5427{\frac {1}{\sqrt {G\rho }}}\simeq 66430\,{\frac {1}{\sqrt {\rho }}}$$

この結果は、 の場合の前のセクションの結果とまったく同じです。 ${\displaystyle M\gg m}$

自由落下時間は、多くの天体物理学的プロセスに関連する時間スケールの非常に有用な推定値である。その応用例を理解するために、次のように書くことができる。 $${\displaystyle t_{\text{ff}}\simeq {\frac {35\,{\mbox{min}}}{\sqrt {\rho \ ({\mbox{g}}\cdot {\mbox{cm}}^{-3})}}}}$$

^{ここでは、平均密度 1 g/cm 3}の物体の場合、自由落下時間の数値をおよそ 35 分と推定しました。

捕獲軌道で無限遠から落下する物体の場合、与えられた位置から中心質点まで落下するのにかかる時間は、定数を除いて自由落下時間と同じです。${\displaystyle {\frac {4}{3\pi }}\approx 0.42}$

• 銀河のダイナミクス ビニー、ジェームズ; トレメイン、スコット。プリンストン大学出版局、1987年。