一般相対性理論の理論的動機

測地線方程式やアインシュタイン場の方程式の根拠を含む一般相対性理論の理論的根拠は、地球の周りの円軌道上の粒子の力学を調べることによって特殊相対性理論から得ることができる。円軌道を調べることの重要な利点は、アインシュタイン場の方程式の解を事前に知ることができることである。これは、形式主義を通知し検証する手段を提供する。

一般相対性理論は次の 2 つの疑問に答えます。

1. 時空の曲率は物質の運動にどのような影響を与えるのでしょうか？
2. 物質の存在は時空の曲率にどのような影響を与えるのでしょうか?

前者の質問は測地線方程式で答えられます。2 番目の質問はアインシュタイン場方程式で答えられます。測地線方程式と場の方程式は、最小作用の原理によって関連しています。測地線方程式の根拠については、「円軌道の測地線方程式」のセクションで説明しています。アインシュタイン場方程式の根拠については、「応力-エネルギー テンソル」のセクションで説明しています。

明確にするために、粒子の円軌道（螺旋状の世界線）を考えてみましょう。粒子は速度 v で移動します。地球上の観測者は、粒子のフレーム内で長さが収縮しているのを観測します。粒子とともに移動する物差しは、地球上の観測者には短く見えます。したがって、運動方向にある軌道の円周は、軌道の直径の倍よりも長く見えます。^[1]${\displaystyle \pi}$

特殊相対論では、地球の 慣性系（非加速系）における粒子の4固有速度は

${\displaystyle u=\left(\gamma ,\gamma {\mathbf {v} \over c}\right)}$

ここでcは光速、は3次元速度、は ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle \gamma ={1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}$。

4速度ベクトルの大きさは常に一定である

${\displaystyle u_{\alpha }u^{\alpha }=-1}$

ここではミンコフスキー計量を使用している

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$。

したがって、4 次元速度の大きさはローレンツスカラーです。

地球（非加速）フレームにおける4加速度は

${\displaystyle a\equiv {{du} \over {d\tau }}={d \over {d\tau }}{\left(\gamma ,\gamma {\mathbf {v} \over c}\right )}={\left(0,\gamma ^{2}{\mathbf {a} \over c^{2}}\right)}={\left(0,-\gamma ^{2}{{\ mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}{{\mathbf {r} } \over r^{2}}\right)}}$

ここでcは粒子のフレームで測定された固有時間間隔の倍数である。これは地球のフレームにおける時間間隔と次の式で関係している。 ${\displaystyle d\tau}$

${\displaystyle cdt=\gamma d\tau }$。

ここで、円軌道の3加速度は

${\displaystyle \mathbf {a} =-\omega ^{2}\mathbf {r} =-{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{{\mathbf {r} } \over r^{ 2}}}$

ここで、は回転粒子の角速度であり、は粒子の 3 次元位置です。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \mathbf {r} }$

4 次元速度の大きさは一定です。つまり、4 次元加速度は 4 次元速度に対して垂直でなければなりません。したがって、4 次元加速度と 4 次元速度の内積は常にゼロです。内積はローレンツ スカラーです。

加速度の方程式は一般化することができ、測地線方程式が得られる。

${\displaystyle {{du^{\mu }} \over {d\tau }}-a^{\mu }=0}$

${\displaystyle {{du^{\mu }} \over {d\tau }}+{R^{\mu }}_{\alpha \nu \beta }u^{\alpha }x^{\nu } u^{\beta }=0}$

ここで、は粒子の4次元位置であり、は次式で与えられる曲率テンソル である。${\displaystyle x^{\mu}}$${\displaystyle {R^{\mu }}_{\alpha \nu \beta }}$

${\displaystyle {R^{\mu }}_{\alpha \nu \beta }={1 \over r^{2}}\eta _{\alpha \beta }{\delta ^{\mu }}_ {\n }}$

ここでクロネッカーのデルタ関数であり、制約条件は次の通りである。 ${\displaystyle {\delta ^{\mu }}_{\nu }}$

${\displaystyle u_{\alpha }u^{\alpha }=-1}$

そして

${\displaystyle a_{\alpha }u^{\alpha }=0}$。

円軌道が測地線方程式を満たすことは簡単に確認できます。測地線方程式は実際にはより一般的なものです。円軌道は方程式の特定の解です。円軌道以外の解も許容され、有効です。

リッチ曲率テンソルは、収縮によって与えられる特別な曲率テンソルである。

${\displaystyle R_{\alpha \beta }\equiv {R^{\nu }}_{\alpha \nu \beta }}$。

リッチテンソルの軌跡はスカラー曲率と呼ばれ、

${\displaystyle R\equiv {R^{\alpha }}_{\alpha }}$。

半径と速度で地球の近くの円 極軌道上に 2 つの粒子がある状況を考えてみましょう。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle v}$

粒子は地球の周りを、また互いに対して単振動運動します。赤道を横切るときに粒子間の距離は最大になります。軌道は両極で交差します。

粒子の 1 つと一緒に移動する宇宙船を想像してください。宇宙船の天井、つまり方向は、方向と一致します。宇宙船の前面は方向にあり、方向は宇宙船の左側にあります。宇宙船は軌道の大きさに比べて小さいため、局所フレームは局所ローレンツ フレームです。2 つの粒子の 4 次元分離は で与えられます。宇宙船の局所フレームでは、測地線方程式は次のように与えられます。 ${\displaystyle {\acute {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle {\acute {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle {\acute {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\acute {x}}^{\mu }}$

${\displaystyle {{d^{2}{\acute {x}}^{\mu }} \over {d\tau ^{2}}}+{\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }{\acute {u}}^{\alpha }{\acute {x}}^{\nu }{\acute {u}}^{\beta }=0}$

どこ

${\displaystyle {\acute {u}}^{\mu }={{d{\acute {x}}^{\mu }} \over {d\tau }}}$

そして

${\displaystyle {\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }}$

は局所フレームにおける曲率テンソルです。

平坦な時空で力が存在しないときの粒子の運動方程式は

${\displaystyle {{d{u}^{\mu }} \over {d\tau }}=0}$。

曲がった時空において測地線に沿って粒子が移動すると仮定すると、曲がった時空における類似の表現は次のようになる。

${\displaystyle {{D{\acute {u}}^{\mu }} \over {D\tau }}={{d{\acute {u}}^{\mu }} \over {d\tau }}+{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }{\acute {u}}^{\alpha }{\acute {u}}^{\beta }=0}$

ここで、左側の微分は共変微分であり、これは通常の微分を曲がった時空での微分に一般化したものである。ここで

${\displaystyle {\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }}$

はクリストッフェル記号です。

曲率はクリストッフェル記号と次のように関係している。

${\displaystyle {\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }={{\partial {{\Gamma }^{\mu }}}_{\alpha \beta } \over {\partial x^{\nu }}}-{{\partial {{\Gamma }^{\mu }}}_{\alpha \nu } \over {\partial x^{\beta }}}+{{\Gamma }^{\mu }}_{\gamma \nu }{{\Gamma }^{\gamma }}_{\alpha \beta }-{{\Gamma }^{\mu }}_{\gamma \beta }{{\Gamma }^{\gamma }}_{\alpha \nu }}$。

局所フレームにおける間隔は

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\equiv g_{\mu \nu }d{\acute {x}}^{\mu }d{\acute {x}}^{\nu }}$

${\displaystyle =d{\acute {x}}^{2}+d{\acute {y}}^{2}+d{\acute {z}}^{2}-c^{2}d{\acute {t}}^{2}+2\gamma \cos(\theta )\cos(\phi )\,v\,d{\acute {t}}\,d{\acute {x}}+2\gamma \cos(\theta )\sin(\phi )v\,d{\acute {t}}\,d{\acute {y}}-2\gamma \sin(\theta )v\,d{\acute {t}}\,d{\acute {z}}}$

どこ

${\displaystyle \theta }$軸（経度）との角度であり、${\displaystyle z}$

${\displaystyle \phi }$軸（緯度）との角度です。${\displaystyle x}$

これ により、

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&\gamma \cos(\theta )\cos(\phi ){\frac {v}{c}}&\gamma \cos(\theta )\sin(\phi ){\frac {v}{c}}&-\gamma \sin(\theta ){\frac {v}{c}}\\\gamma \cos(\theta )\cos(\phi ){\frac {v}{c}}&1&0&0\\\gamma \cos(\theta )\sin(\phi ){\frac {v}{c}}&0&1&0\\-\gamma \sin(\theta ){\frac {v}{c}}&0&0&1\end{pmatrix}}}$

ローカルフレーム内。

計量テンソルの逆は次のように定義される。 ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$

${\displaystyle g_{\mu \alpha }g^{\alpha \nu }=\delta _{\mu }^{\nu }}$

ここで、右側の項はクロネッカーのデルタです。

無限小の4次元体積の変換は ${\displaystyle d\Omega }$

${\displaystyle d{\acute {\Omega }}={\sqrt {-g}}d{\Omega }}$

ここで g は計量テンソルの行列式です。

計量テンソルの行列式の微分は

${\displaystyle dg=gg^{\mu \nu }dg_{\mu \nu }=-gg_{\mu \nu }dg^{\mu \nu }}$。

クリストッフェル記号と計量テンソルの関係は

${\displaystyle {{\Gamma }^{\alpha }}_{\mu \nu }=g^{\alpha \beta }{\Gamma }_{\beta \mu \nu }}$

${\displaystyle {\Gamma }_{\beta \mu \nu }={\frac {1}{2}}\left({{\partial {g}}_{\beta \nu } \over {\partial x^{\mu }}}+{{\partial {g}}_{\beta \mu } \over {\partial x^{\nu }}}-{{\partial {g}}_{\mu \nu } \over {\partial x^{\beta }}}\right)}$。

最小作用の原理は、時空における2つの事象間の世界線は、2つの事象間の作用を最小にする世界線であると述べています。古典力学では、最小作用の原理はニュートンの運動法則を導くために使用され、ラグランジアン力学の基礎となっています。相対性理論では、次のように表現されます。

${\displaystyle S=\int _{1}^{2}{\mathcal {L}}\,d\Omega }$

イベント1と2の間の最小値。ここでSはスカラーであり、

${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

ラグランジュ密度として知られています。ラグランジュ密度は、軌道を回る粒子の密度と、地球を構成する粒子を含む他のすべての粒子によって生成される重力場の密度の2つの部分に分かれています。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{p}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{e}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{e}}$。

曲がった時空では、「最短」の世界線は測地線に沿った曲率を最小にする測地線である。作用は世界線の曲率に比例する。Sはスカラーなので、スカラー曲率は曲率の適切な尺度である。したがって、粒子に対する作用は次のようになる。

${\displaystyle S_{p}=C\int _{1}^{2}{\acute {R}}\,d{\acute {\Omega }}=C\int _{1}^{2}{\acute {R}}{\sqrt {-g}}\,d{\Omega }=C\int _{1}^{2}g^{\alpha \beta }{\acute {R}}_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d{\Omega }}$

ここで、は未知の定数です。この定数は、理論が非相対論的極限でニュートンの万有引力の法則に還元されることを要求することによって決定されます。 ${\displaystyle C}$

したがって、粒子のラグランジアン密度は

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{p}=Cg^{\alpha \beta }{\acute {R}}_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}}$。

粒子と地球の作用は

${\displaystyle S=\int _{1}^{2}Cg^{\alpha \beta }{\acute {R}}_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d\Omega +\int _{1}^{2}{\mathcal {L}}_{e}\,d\Omega }$。

このように、計量テンソルを変化させることによって、半径rの球面上に位置する世界線が作られる。gの2次微分項を含む境界上で消える項を最小化し無視すると、次の式が得られる。

${\displaystyle 0=\delta S=\int _{1}^{2}C\left({\acute {R}}_{\alpha \beta }-{1 \over 2}{\acute {R}}g^{\alpha \beta }\right)\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d\Omega -\int _{1}^{2}{\acute {T}}_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d\Omega }$

ここで^[2]

${\displaystyle {\acute {T}}_{\alpha \beta }={1 \over {\sqrt {-g}}}\left({d \over {dx^{\nu }}}{{\partial {\mathcal {L}}_{e}} \over {\partial \left({{dg^{\alpha \beta }} \over {dx^{\nu }}}\right)}}-{{\partial {\mathcal {L}}_{e}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}\right)}$

地球によって生成される場の ヒルベルト応力エネルギーテンソルです。

応力エネルギーと曲率の関係は、未知の定数係数の範囲内で、

${\displaystyle {\acute {T}}_{\alpha \beta }=C\left({\acute {R}}_{\alpha \beta }-{1 \over 2}{\acute {R}}\,g_{\alpha \beta }\right)}$。

非相対論的力学におけるニュートンの万有引力の法則は、質量のある物体が別の質量のある 物体によって受ける加速度は${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathbf {f} ={d^{2}\mathbf {r} \over d\tau ^{2}}=-{GM \over {c^{2}r^{3}}}\mathbf {r} }$

ここでは重力定数、は質量から質量へのベクトル、 はそのベクトルの大きさです。時間 t は光速c でスケールされます。${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \tau \equiv ct}$。

加速度は に依存しません。 ${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle m}$

明確にするために、質量 の粒子が地球の重力場を周回していると考えます。万有引力の法則は次のように書けます。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathbf {f} =-{4\pi G \over {3c^{2}}}\rho (r)\mathbf {r} }$

ここで、 は半径 の球体内の平均質量密度です。 ${\displaystyle \rho (r)}$${\displaystyle r}$

ニュートンの法則は次のように書ける

${\displaystyle \mathbf {f} =-{4\pi G \over {3c^{4}}}\left({Mc^{2} \over V}\right)\mathbf {r} }$。

ここで、は半径 の球の体積です。この量は、特殊相対論では、大きな物体である地球の静止エネルギーとして認識されます。これは、地球を構成するすべての粒子の静止エネルギーの合計です。括弧内の量は、地球の周りの半径 の球の平均静止エネルギー密度です。重力場は、半径 r 内の平均エネルギー密度に比例します。これは、すべてのエネルギーが静止エネルギーである特殊なケースの 相対論における応力エネルギーテンソルの 00 成分です。より一般的には、${\displaystyle V}$${\displaystyle r}$${\displaystyle Mc^{2}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle T_{00}=-{T^{0}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}\left({\gamma _{i}m_{i}c^{2} \over V}\right)}$

どこ

${\displaystyle \gamma _{i}\equiv {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}} \over c^{2}}}}}}$

は地球を構成する粒子 i の速度であり、粒子 i の静止質量です。地球を構成する粒子は全部で N 個あります。 ${\displaystyle \mathbf {v_{i}} }$${\displaystyle m_{i}}$

非相対論的極限において、応力エネルギーテンソルの00成分に還元される2つの単純な相対論的実体がある。

${\displaystyle u^{\alpha }T_{\alpha \beta }u^{\beta }\rightarrow T_{00}}$

そして痕跡

${\displaystyle T\equiv {T^{\alpha }}_{\alpha }=-u_{\alpha }u^{\alpha }T=-u^{\alpha }T\eta _{\alpha \beta }u^{\beta }\rightarrow -T_{00}}$

4 次速度は どこでしょうか。${\displaystyle u^{\alpha }}$

応力エネルギーテンソルの00成分は、2つの項の線形結合として相対論的なケースに一般化できる。

${\displaystyle T_{00}\rightarrow u^{\alpha }\left(AT_{\alpha \beta }+BT\eta _{\alpha \beta }\right)u^{\beta }}$

どこ

${\displaystyle A+B=1}$

重力による4加速度は次のように表される。

${\displaystyle f^{\mu }=-8\pi {G \over {3c^{4}}}\left({A \over 2}T_{\alpha \beta }+{B \over 2}T\eta _{\alpha \beta }\right)\delta _{\nu }^{\mu }u^{\alpha }x^{\nu }u^{\beta }}$。

残念ながら、この加速度は円軌道に必要なため、ゼロではありません。4次元速度の大きさは一定なので、加速度に寄与するのは4次元速度に垂直な力の成分だけです。したがって、4次元速度に平行な力の成分を差し引く必要があります。これはフェルミ・ウォーカー輸送として知られています。^[3]言い換えると、 ${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle f^{\mu }\rightarrow f^{\mu }+u^{\mu }u_{\nu }f^{\nu }}$。

これにより

${\displaystyle f^{\mu }=-8\pi {G \over {3c^{4}}}\left({A \over 2}T_{\alpha \beta }+{B \over 2}T\eta _{\alpha \beta }\right)\left(\delta _{\nu }^{\mu }+u^{\mu }u_{\nu }\right)u^{\alpha }x^{\nu }u^{\beta }}$。

局所座標系における力は

${\displaystyle {\acute {f}}^{\mu }=-8\pi {G \over {3c^{4}}}\left({A \over 2}{\acute {T}}_{\alpha \beta }+{B \over 2}{\acute {T}}g_{\alpha \beta }\right)\left(\delta _{\nu }^{\mu }+{\acute {u}}^{\mu }{\acute {u}}_{\nu }\right){\acute {u}}^{\alpha }{\acute {x}}^{\nu }{\acute {u}}^{\beta }}$。

アインシュタイン場の方程式は、円軌道に必要な加速度を重力加速度と等しくすることで 得られる^[4]。

${\displaystyle a^{\mu }=f^{\mu }}$

${\displaystyle {\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }{\acute {u}}^{\alpha }{\acute {x}}^{\nu }{\acute {u}}^{\beta }=-{\acute {f}}^{\mu }}$。

これは時空の曲率と応力エネルギーテンソルの関係です。

リッチテンソルは

${\displaystyle {\acute {R}}_{\alpha \beta }=8\pi {G \over {c^{4}}}\left({A \over 2}{\acute {T}}_{\alpha \beta }+{B \over 2}{\acute {T}}g_{\alpha \beta }\right)}$。

リッチテンソルのトレースは

${\displaystyle {\acute {R}}={\acute {R}}_{\alpha }^{\alpha }=8\pi {G \over {c^{4}}}\left({A \over 2}{\acute {T}}_{\alpha }^{\alpha }+{B \over 2}{\acute {T}}\delta _{\alpha }^{\alpha }\right)=8\pi {G \over {c^{4}}}\left({A \over 2}+2B\right){\acute {T}}}$。

最小作用の原理から計算されたリッチ テンソルとの比較、一般相対性理論の理論的動機#一般相対性理論における最小作用の原理、応力エネルギー テンソルをヒルベルト応力エネルギーと同一視し、A+B=1 であることを思い出すと、A、B、C の曖昧さが解消されます。

${\displaystyle A=2}$

${\displaystyle B=-1}$

そして

${\displaystyle C=\left(8\pi {G \over {c^{4}}}\right)^{-1}}$。

これにより

${\displaystyle {\acute {R}}=-8\pi {G \over {c^{4}}}{\acute {T}}}$。

場の方程式は次のように書ける。

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }=8\pi {G \over {c^{4}}}{\acute {T}}_{\alpha \beta }}$

どこ

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }\equiv {\acute {R}}_{\alpha \beta }-{1 \over 2}{\acute {R}}g_{\alpha \beta }}$。

これは、応力エネルギー密度から生じる時空の曲率を説明するアインシュタイン場方程式です。この方程式は測地線方程式とともに、円軌道で地球を周回する粒子の運動学と力学に基づいて考案されました。これらは一般に正しいです。

アインシュタイン場の方程式を解くには反復的なプロセスが必要である。解は計量テンソルで表される。

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$。

通常、テンソルの初期推定値があります。この推定値は、曲率を計算するために使用されるクリストッフェル記号を計算するために使用されます。アインシュタイン場の方程式が満たされない場合は、このプロセスが繰り返されます。

解には、真空解と非真空解の 2 つの形式があります。真空解とは、応力エネルギー テンソルがゼロになる解です。円軌道の関連する真空解は、シュワルツシルト計量です。また、非真空解、つまり応力テンソルがゼロではない解である 正確な解も多数あります。

測地線方程式を解くには、アインシュタイン場の方程式を解くことによって得られる計量テンソルの知識が必要です。クリストッフェル記号または曲率は、計量テンソルから計算されます。次に、測地線方程式を適切な境界条件で積分します。

曲がった時空におけるマクスウェル方程式、つまり電気力学の方程式は、平坦な時空におけるマクスウェル方程式の一般化です(特殊相対性理論におけるマクスウェル方程式の定式化を参照)。時空の曲率は電気力学に影響します。曲がった時空におけるマクスウェル方程式は、平坦な時空における方程式の導関数を共変導関数に置き換えることで得られます。ソース付き方程式とソースなし方程式は (cgs 単位) のようになります。

${\displaystyle {4\pi \over c}J^{b}=\partial _{a}F^{ab}+{\Gamma ^{a}}_{\mu a}F^{\mu b}+{\Gamma ^{b}}_{\mu a}F^{a\mu }\equiv D_{a}F^{ab}\equiv {F^{ab}}_{;a}\,\!}$、

そして

${\displaystyle 0=\partial _{c}F_{ab}+\partial _{b}F_{ca}+\partial _{a}F_{bc}=D_{c}F_{ab}+D_{b}F_{ca}+D_{a}F_{bc}}$

ここでは4元電流、は場の強さのテンソル、はレヴィ・チヴィタ記号、そして ${\displaystyle \,J^{a}}$${\displaystyle \,F^{ab}}$${\displaystyle \,\epsilon _{abcd}}$

${\displaystyle {\partial \over {\partial x^{a}}}\equiv \partial _{a}\equiv {}_{,a}\equiv (\partial /\partial ct,\nabla )}$

は4 次元勾配です。繰り返しインデックスは、アインシュタインの総和規則に従って にわたって合計されます。結果はいくつかの一般的な表記法で表示されています。

最初のテンソル方程式は、2 つの非同次マクスウェル方程式、ガウスの法則、およびマクスウェル補正を伴うアンペールの法則の表現です。2 番目の方程式は、同次方程式、ファラデーの電磁誘導の法則、およびガウスの磁気の法則の表現です。

電磁波方程式は平坦な時空の方程式から 2 つの方法で修正され、導関数が共変導関数に置き換えられ、曲率に依存する新しい項が現れます。

${\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }={4\pi \over c}J^{\alpha }}$

ここで4次元ポテンシャルは次のように定義される。

${\displaystyle F^{ab}=\partial ^{b}A^{a}-\partial ^{a}A^{b}\,\!}$。

我々は、曲がった時空における ローレンツゲージの一般化を仮定した。

${\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }=0}$。

• 一般相対性理論に対するニュートンの動機

• RP ファインマン、FB モリンゴ、WG ワグナー (1995)。『ファインマン重力講義』。アディソン・ウェズリー。ISBN 0-201-62734-5。
• PAM ディラック (1996)。一般相対性理論。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-01146-X。