一般的な共変変換

物理学では、一般共変変換は、世界多様体上の重力理論の対称性です。これらは、パラメータ関数が上のベクトル場であるゲージ変換です。物理的な観点からは、一般共変変換は、一般相対論における特定の（ホロノミック）参照フレーム変換として扱われます。数学では、一般共変変換は、いわゆる自然ファイバーバンドルの特定の自己同型として定義されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

を局所ファイバー座標 を持つファイバー多様体とします。 のすべての自己同型は、その基底 の微分同相写像に射影されます。 しかし、その逆は真ではありません。 の微分同相写像は、必ずしも の自己同型を生じるわけではありません。 ${\displaystyle \pi :Y\to X}$${\displaystyle (x^{\lambda },y^{i})\,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

特に、の自己同型1パラメータリー群の無限小生成子は射影可能なベクトル場である。${\displaystyle Y}$

${\displaystyle u=u^{\lambda }(x^{\mu })\partial _{\lambda }+u^{i}(x^{\mu },y^{j})\partial _{i}}$

上のベクトル場 に射影されます。このベクトル場は上のベクトル場に射影され、そのフローは の 1 パラメータ微分同相写像群です。逆に、を 上のベクトル場 とします。上の射影可能なベクトル場 へのその揚力を構成するという問題があり、その揚力は に射影されます。このような揚力は常に存在しますが、標準的である必要はありません。上の接続が与えられると、上のすべてのベクトル場は水平ベクトル場 を生じます。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle \tau =u^{\lambda }\partial _{\lambda }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau =\tau ^{\lambda }\partial _{\lambda }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma \tau =\tau ^{\lambda }(\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{i}\partial _{i})}$

上のベクトル場の - 加群の上のベクトル場の - 加群への単射が得られますが、が平坦でない 限り、この単射はリー代数射ではありません。${\displaystyle Y}$${\displaystyle \tau \to \Gamma \tau }$${\displaystyle C^{\infty }(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{\infty }(Y)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \ガンマ}$

しかし、リー代数単射 であるような任意のベクトル場を関数的に持ち上げることができる、上で述べたような自然な束のカテゴリが存在する。${\displaystyle T\to X}$${\displaystyle {\widetilde {\tau }}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau \to {\widetilde {\tau }}}$

${\displaystyle [{\widetilde {\tau }},{\widetilde {\tau }}']={\widetilde {[\tau ,\tau ']}}.}$

この関数リフトは、 の無限小一般共変変換です。 ${\displaystyle {\widetilde {\tau }}}$${\displaystyle T}$

一般的な設定では、の微分同相写像の群から自然なバンドル のバンドル自己同型写像​​の群への単同型写像を考えます。自己同型写像​​はの一般共変変換と呼ばれます。たとえば、 の垂直自己同型写像​​は一般共変変換ではありません。 ${\displaystyle f\to {\widetilde {f}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T\to X}$${\displaystyle {\widetilde {f}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

自然バンドルの例としては、テンソルバンドルが挙げられます。たとえば、の接バンドル は自然バンドルです。のすべての微分同相写像はの接自己同型写像​​を生じ、これはの一般共変変換です。のホロノミック座標に関して、この変換は次のように表されます。 ${\displaystyle TX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\widetilde {f}}=Tf}$${\displaystyle TX}$${\displaystyle TX}$${\displaystyle (x^{\lambda },{\dot {x}}^{\lambda })}$${\displaystyle TX}$

${\displaystyle {\dot {x}}'^{\mu }={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}{\dot {x}}^ {\n }.}$

の線型接フレームのフレームバンドル も自然バンドルです。一般共変変換は、 のホロノミック自己同型の部分群を構成します。フレームバンドルに関連付けられたバンドルはすべて自然です。ただし、 に関連しない自然バンドルも存在します。 ${\displaystyle FX}$${\displaystyle TX}$${\displaystyle FX}$${\displaystyle FX}$

• 一般共分散
• ゲージ重力理論
• ファイバーマニホールド

• Kolář, I., Michor, P., Slovák, J.,微分幾何学における自然演算。Springer -Verlag: ベルリン・ハイデルベルク、1993年 。ISBN 3-540-56235-4 、ISBN 0-387-56235-4。 
• Sardanashvily, G. 、理論家のための上級微分幾何学。ファイバー束、ジェット多様体、ラグランジアン理論、 Lambert Academic Publishing: ザールブリュッケン、2013 年。ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv :0908.1886 
• サンダース、DJ（1989）、ジェットバンドルの幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-36948-7