シリンダーのマッピング

数学、特に代数的位相幾何学において、位相空間と間の連続関数の写像円筒^[1]は商である。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle M_{f}=(([0,1]\times X)\amalg Y)\,/\,\sim }$

ここで は非結合和集合を表し、 ~ は次のように 生成される同値関係である。${\displaystyle \amalg}$

${\displaystyle (0,x)\sim f(x)\quad {\text{各 }}x\in X について。}$

つまり、マッピングシリンダーは、の一方の端をマップ を介してに貼り付けることによって得られます。シリンダーの「上部」は に同相ですが、「下部」は空間 であることに注意してください。 についてはと書き、マッピングシリンダーの構築には または という表記を使用するのが一般的です。つまり、次のように書きます。${\displaystyle M_{f}}$${\displaystyle X\times [0,1]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{1\}\times X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(X)\subset Y}$${\displaystyle Mf}$${\displaystyle M_{f}}$${\displaystyle \sqcup_{f}}$${\displaystyle \cup_{f}}$

${\displaystyle Mf=([0,1]\times X)\cup _{f}Y}$

下付き文字のカップ記号は同値性を表します。マッピング シリンダーは、シリンダーの一方の端を点に折りたたむことで得られるマッピング コーンを作成するためによく使用されます。マッピング シリンダーは、 コファイブレーションの定義の中心となります。 ${\displaystyle Cf}$

下部のYは の変形収縮です。投影は( を介して) 分割され、変形収縮は次のように与えられます。 ${\displaystyle M_{f}}$${\displaystyle M_{f}\to Y}$${\displaystyle Y\ni y\mapsto y\in Y\subset M_{f}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle R:M_{f}\times I\rightarrow M_{f}}$

${\displaystyle ([t,x],s)\mapsto [s\cdot t,x],(y,s)\mapsto y}$

(ただし、 の点は、すべての に対してであるため、固定されたままです)。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle [0,x]=[s\cdot 0,x]}$${\displaystyle s}$

この写像は、「上面」が の強い変形収縮である場合にのみホモトピー同値である。^[2]強い変形収縮の明示的な式を導くことができる。^[3]${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \{1\}\times X}$${\displaystyle M_{f}}$

繊維束 の場合、マッピングシリンダ ${\displaystyle \pi :P\to X}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle M_{\pi }=(([0,1]\times P)\coprod X)/\sim }$

同値関係がある

${\displaystyle (0,p_{x})\sim (0,q_{x})}$

に対してである。すると、点を 点に写す標準写像が存在し、ファイバー束を与える 。${\displaystyle p_{x},q_{x}\in F_{x}}$${\displaystyle [i,p_{x},x]\in M_{\pi}}$${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle p:M_{\pi }\to X}$

そのファイバーは円錐である。これを見るには、点上のファイバーが商空間であること に注意する。${\displaystyle CF}$${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle [0,1]\times P\coprod \{x\}/\sim }$

ここで、 内のすべての点は同等です。 ${\displaystyle \{0\}\times P}$

マッピングシリンダーは、次の意味で、 任意のマップを同等のコファイブレーションに置き換える方法と見なすことができます。

写像 が与えられた場合、写像シリンダーは、コファイブレーションおよび全射ホモトピー同値（実際、Yはの変形後退）を伴う空間 であり、その合成はf に等しくなります。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle M_{f}}$${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to M_{f}}$ ${\displaystyle M_{f}\to Y}$${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle X\to M_{f}\to Y}$

したがって、空間Y はホモトピー同値空間 に置き換えられ、写像f は持ち上げられた写像 に置き換えられます。同様に、図 ${\displaystyle M_{f}}$${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

図に置き換えられる

${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to M_{f}}$

それらの間のホモトピー同値も示します。

この構成は、位相空間の任意のマップをホモトピー等価なコファイブレーションに置き換えるのに役立ちます。

点ごとに、コファイブレーションは閉じた包含であることに注意してください。

マッピング シリンダーは、非常に一般的なホモトピック ツールです。マッピング シリンダーの 1 つの用途は、単射ではない可能性のある一般的なマップに、空間の包含に関する定理を適用することです。

したがって、関係する空間および写像のホモトピー類にのみ依存する定理または手法（ホモロジー、コホモロジー、ホモトピー理論など）は、および実際には部分空間の包含であるという仮定のもとでに適用できます。 ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle X\subset Y}$${\displaystyle f}$

この構成のもう 1 つの、より直感的な魅力は、関数が 1 対 1 である必要はないにもかかわらず、の点を の点に「送信」し、したがって を内に埋め込むという関数の通常の精神的イメージと一致することです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$

マッピング シリンダーを使用してホモトピー余極限を構築できます。^[要出典]これは、すべてのプッシュアウトとコイコライザーを持つカテゴリはすべて余極限を持つという一般的なステートメントに従います。つまり、ダイアグラムが与えられた場合、マップをコファイブレーションに置き換え (マッピング シリンダーを使用)、通常の点ごとの極限を取ります (少し注意が必要ですが、マッピング シリンダーはコンポーネントです)。

逆に、マッピングシリンダーは、およびの図のホモトピープッシュアウトです。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle {\text{id}}_{X}\colon X\to X}$

マップの シーケンスが与えられた場合

${\displaystyle X_{1}{\xrightarrow {f_{1}}}X_{2}{\xrightarrow {f_{2}}}X_{3}\to \cdots }$

マッピング望遠鏡はホモトピー的直接極限です。写像がすべて既にコファイブレーションである場合 (直交群 など)、直接極限は和集合ですが、一般にはマッピング望遠鏡を使用する必要があります。マッピング望遠鏡は、端から端まで結合されたマッピングシリンダーのシーケンスです。構築の図は、望遠鏡のように、次第に大きくなるシリンダーのスタックのように見えます。 ${\displaystyle O(n)\subset O(n+1)}$

正式には次のように定義される。

${\displaystyle {\Bigl (}\coprod _{i}[0,1]\times X_{i}{\Bigr )}/((0,x_{i})\sim (1,f_{i}(x_{i}))).}$

• 共繊維
• シリンダーのマッピング（ホモロジー代数）
• ホモトピー余極限
• マッピングパス空間は、マッピングコシリンダーとして見ることができる

• メイ、JP (1999)。代数的位相幾何学の簡潔なコース。シカゴ大学出版局。ISBN 978-0-2265-1183-2。