Landweber の厳密関手定理

数学において、ピーター・ランドウェーバーにちなんで名付けられたランドウェーバーの完全関手定理は、代数位相幾何学における定理です。ホモロジー理論の複素方向付けが形式群法則につながることが知られています。ランドウェーバーの完全関手定理（略して LEFT）は、このプロセスを逆転させる方法と見なすことができます。つまり、形式群法則からホモロジー理論を構築します。

複素コボルディズムの係数環は であり、 の次数は である。これは、次数付きラザード環と同型である。つまり、次数付き環上の形式群法則 F (次数 ) を与えることは、次数付き環射 を与えることと同値である。整数による乗算は、次のように、 べき級数として帰納的に定義される。${\displaystyle MU_{*}(*)=MU_{*}\cong \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\dots ]}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle 2i}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}L_{*}}$${\displaystyle -2}$${\displaystyle R_{*}}$${\displaystyle L_{*}\to R_{*}}$${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle [n+1]^{F}x=F(x,[n]^{F}x)}$そして${\displaystyle [1]^{F}x=x.}$

ここで、Fを環上の形式群法則とする。位相空間Xに対して定義する。${\displaystyle {\mathcal {}}R_{*}}$

${\displaystyle E_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}R_{*}}$

ここで、は F を介して -代数構造を取得します。問題は、 E がホモロジー理論であるかどうかです。これは明らかにホモトピー不変関手であり、除去を満たします。問題は、テンソル化が一般に正確なシーケンスを保存しないことです。 が上で平坦であることを要求することもできますが、実際にはそれは強すぎます。ピーター・ランドウェーバーは別の基準を見つけました。 ${\displaystyle R_{*}}$${\displaystyle MU_{*}}$${\displaystyle R_{*}}$${\displaystyle MU_{*}}$

定理(ランドウェーバーの厳密関手定理)

任意の素数 p に対して、次を満たす元が存在する: が次数付き - 加群であり、任意のpおよびnに対して、列がに対して正則であると仮定する。すると、 ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots \in MU_{*}}$${\displaystyle M_{*}}$${\displaystyle MU_{*}}$${\displaystyle (p,v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle E_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}M_{*}}$

はCW複体上のホモロジー理論である。

特に、環上のすべての形式群法則 F は、F を介して環射を得るため、上の加群を生成します。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}}$${\displaystyle MU_{*}\to R}$

• ブラウン・ピーターソン・コホモロジーBPのバージョンもあります。スペクトルBP は係数 を持つ の直和です。素数 p を固定し、MU の代わりに BP を使用した場合、左辺の記述は真のままです。${\displaystyle MU_{(p)}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}[v_{1},v_{2},\dots ]}$
• LEFT の古典的な証明では、ランドウェーバー・モラバ不変イデアル定理を使用します。 の共作用に対して不変である唯一の素イデアルは です。これにより、 に対してのみ平坦性をチェックできます(Landweber、1976 を参照)。${\displaystyle BP_{*}}$${\displaystyle BP_{*}BP}$${\displaystyle I_{n}=(p,v_{1},\dots ,v_{n})}$${\displaystyle BP_{*}/I_{n}}$
• LEFT は次のように強化できます。 をLandweber 完全 - 加群の (ホモトピー) カテゴリとし、がLandweber 完全であるMU 加群スペクトル M のカテゴリとします。すると、関数はカテゴリの同値になります。逆関数 (LEFT によって与えられる) は、- 代数を (ホモトピー) MU 代数スペクトルに変換します (Hovey、Strickland、1999、Thm 2.7 を参照)。${\displaystyle {\mathcal {E}}_{*}}$${\displaystyle MU_{*}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \pi_{*}M}$${\displaystyle \pi _{*}\colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}_{*}}$${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}}$

典型的で最初に知られている（自明ではない）例は、複素K理論Kです。複素K理論は複素指向であり、形式群法則としてを持ちます。対応する射はトッド種数としても知られています。したがって、同型 ${\displaystyle x+y+xy}$${\displaystyle MU_{*}\to K_{*}}$

${\displaystyle K_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}K_{*},}$

コナー・フロイド同型と呼ばれる。

複素 K 理論は以前にも幾何学的な手段によって構築されていましたが、多くのホモロジー理論は、ランドウェーバーの正確な関数定理によって初めて構築されました。これには、楕円ホモロジー、ジョンソン・ウィルソン理論 、ルビン・テイトスペクトルが含まれます。 ${\displaystyle E(n)}$ ${\displaystyle E_{n}}$

有理係数のホモロジーはランドウェーバー正確ですが、整数係数のホモロジーはランドウェーバー正確ではありません。さらに、モラヴァ K 理論K(n) はランドウェーバー正確ではありません。 ${\displaystyle H\mathbb {Q} }$${\displaystyle H\mathbb {Z} }$

上の加群 M は、上の準連接層と同じである。ここで、L はラザード環である。 の場合、 M は共作用という追加のデータを持つ。環レベル上の共作用は、アフィン群スキーム G の作用に関して同変層である に対応する。Quillen の定理によれば、およびはすべての環 R に冪級数の群を割り当てる。 ${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\text{スペック}}L}$${\displaystyle M={\mathcal {}}MU_{*}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}MU}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle G\cong \mathbb {Z} [b_{1},b_{2},\dots ]}$

${\displaystyle g(t)=t+b_{1}t^{2}+b_{2}t^{3}+\cdots \in R[[t]]}$。

それは、形式的な群法則の集合 に作用し、${\displaystyle {\text{Spec}}L(R)}$

${\displaystyle F(x,y)\mapsto gF(g^{-1}x,g^{-1}y)}$。

これらは、形式群の法則の座標変換にすぎません。したがって、スタック商を (1 次元)形式群のスタックと同一視し、このスタック上の準コヒーレント層を定義できます。これで、M がホモロジー理論の順序で平坦な準コヒーレント層を定義すれば十分であることが簡単にわかります。ランドウェーバーの完全性定理は、の平坦性基準として解釈できます(Lurie 2010 を参照)。 ${\displaystyle {\text{Spec}}L//G}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{fg}}$${\displaystyle M=MU_{*}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{fg}}$${\displaystyle MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}M}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{fg}}$

LEFT は から (ホモトピー) 環スペクトルを生成することが知られていますが、これらのスペクトルが実際に- 環スペクトルであるのはいつかを理解することは、はるかに微妙な問題です。2010 年の時点で、最も大きな進歩はJacob Lurieによって達成されました。X が代数スタックであり、スタックの平坦なマップである場合、上記の説明から、X 上の (ホモトピー) 環スペクトルの前層が得られることがわかります。このマップが(高さ n の 1 次元p 分割可能群のスタック) 上で因数分解され、マップがエタールである場合、この前層は - 環スペクトルの層に精製できます(Goerss を参照)。この定理は、位相モジュラー形式の構築に重要です。 ${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}}$${\displaystyle E_{\infty}}$${\displaystyle X\to {\mathcal {M}}_{fg}}$${\displaystyle M_{p}(n)}$${\displaystyle X\to M_{p}(n)}$${\displaystyle E_{\infty}}$

• 色彩ホモトピー理論

• Goerss, Paul. 「Landweber の正確なホモロジー理論の族の実現」(PDF)。
• Hovey, Mark; Strickland, Neil P. (1999)、「Morava K-theories and localisation」、Memoirs of the American Mathematical Society、139 (666)、doi :10.1090/memo/0666、MR  1601906、2004-12-07 にオリジナルからアーカイブ
• Landweber , Peter S. (1976) . 「および上のコモジュールのホモロジー特性」。アメリカ数学ジャーナル。98 (3): 591–610。doi :10.2307/2373808。JSTOR  2373808。${\displaystyle MU_{*}(MU)}$${\displaystyle BP_{*}(BP)}$。
• ルリー、ジェイコブ(2010)。「クロマティックホモトピー理論。講義ノート」。