人形のシーケンス

数学において、プッペ列はホモトピー理論の構成であり、ディーター・プッペにちなんで名付けられました。これは、写像ファイバー（ファイブレーション）から構築される長完全列と、写像コーン（コファイブレーション）から構築される長コ完全列の2 つの形式があります。 ^{[ 1 ]}直感的に、プッペ列は、空間を群の長完全列に写像する関手としてホモロジー理論を考えることを可能にします。また、相対ホモトピー群の長完全列を構築するためのツールとしても役立ちます。

点のある空間と点のある地図の連続$${\displaystyle \dots \to X_{n+1}\to X_{n}\to X_{n-1}\to \dots }$$誘導されたシーケンスが正確である場合、それは正確であると呼ばれます。$${\displaystyle \dots \to [Z,X_{n+1}]\to [Z,X_{n}]\to [Z,X_{n-1}]\to \dots }$$は、すべての点付き空間に対して、点付き集合の列として正確に表される（マップの核は基点にマッピングされた要素とする）。${\displaystyle Z}$。

させて${\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$点付き空間間の連続マップとし、${\displaystyle Mf}$を写像ファイバー（写像錐の双対であるファイブレーション）とします。すると、次の正確なシーケンスが得られます。

${\displaystyle Mf\to X\to Y}$

ここで、マッピングファイバーは次のように定義されます。^{[ 1 ]}

${\displaystyle Mf=\{(x,\omega )\in X\times Y^{I}:\omega (0)=y_{0}{\mbox{ および }}\omega (1)=f(x)\}}$

ループ空間に注目してください${\displaystyle \Omega Y}$マッピングファイバーに注入します。${\displaystyle \Omega Y\to Mf}$なぜなら、それは開始点と終了点が両方とも基準点である地図で構成されているからである。$\displaystyle y_{0}}$すると、上記の数列がより長い数列に拡張されることを示すことができる。

${\displaystyle \Omega X\to \Omega Y\to Mf\to X\to Y}$

この構築手順を繰り返すことで、正確なPuppeシーケンスを取得できます。

${\displaystyle \cdots \to \Omega ^{2}(Mf)\to \Omega ^{2}X\to \Omega ^{2}Y\to \Omega (Mf)\to \Omega X\to \Omega Y\to Mf\to X\to Y}$

ジョセフ・J・ロットマンが説明するように、実際の応用では、完全なシーケンスの方が完全なシーケンスよりも便利な場合が多い。 ^{[ 1 ]}

（共完全列の）様々な構成では、部分空間ではなく商空間が用いられるため、すべての写像とホモトピーは、それらが明確に定義され連続であることを確認するために、より詳細な検討が必要となる。

させて${\displaystyle f\colon A\to B}$CW複合体間の連続マップとし、${\displaystyle C(f)}$fの写像錐(すなわち、写像fのコファイバー)を表すと、次の (コファイバー) 列が得られます。

${\displaystyle A\to B\to C(f)}$。

これで私たちは形成できます${\displaystyle \Sigma A}$そして${\displaystyle \Sigma B,}$それぞれAとBの懸濁液、また${\displaystyle \Sigma f\colon \Sigma A\to \Sigma B}$（これは、サスペンションがファンクターと見なせる可能性があるためです）シーケンスを取得します。

${\displaystyle \Sigma A\to \Sigma B\to C(\Sigma f)}$。

サスペンション処理によって共繊維配列が維持されることに注意してください。

この強力な事実により、私たちは次のことを知っています。${\displaystyle C(\Sigma f)}$ホモトピーは​${\displaystyle \Sigma C(f).}$崩壊することで${\displaystyle B\subset C(f)}$ある程度までは、自然な地図がある${\displaystyle C(f)\to \Sigma A.}$したがって、次のような数列が得られます。

${\displaystyle A\to B\to C(f)\to \Sigma A\to \Sigma B\to \Sigma C(f).}$

この構成を繰り返すと、次のものに関連付けられた Puppe シーケンスが得られます。${\displaystyle A\to B}$:

${\displaystyle A\to B\to C(f)\to \Sigma A\to \Sigma B\to \Sigma C(f)\to \Sigma ^{2}A\to \Sigma ^{2}B\to \Sigma ^{2}C(f)\to \Sigma ^{3}A\to \Sigma ^{3}B\to \Sigma ^{3}C(f)\to \cdots }$

位相幾何学の簡単な演習として、プッペ列の任意の3つの要素は、ホモトピーを除いて、次の形式になることがわかる。

${\displaystyle X\to Y\to C(f)}$。

ここで「ホモトピーを除いて」とは、プッペ列の任意の3つの要素が、ホモトピー圏の対象と射とみなした場合、上記の形式になることを意味します。

ここで位相的半完全ファンクターが与えられた場合、上記の性質は、問題のファンクターをPuppeシーケンスに作用させた後、${\displaystyle A\to B}$すると、長い完全数列が得られる。

^ジョン・ミルナー[ ^{2 ]}による結果によれば、ホモロジー理論のアイレンベルク-スティーンロッド公理を採用し、切除をペアの弱ファイブレーションの正確なシーケンスに置き換えると、アイレンベルク-スティーンロッド定理のホモトピー類似性、すなわち一意のファンクターのシーケンスが存在するという結果が得られる。${\displaystyle \pi _{n}\colon P\to {\bf {Sets}}}$ここで、Pは位相空間のすべての点付きペアの圏である。

サスペンションには非還元と還元という2つの「種類」があるため、非還元と還元されたPuppeシーケンスも考慮することができます（少なくとも、還元サスペンションを形成できる点付き空間を扱う場合は）。

• エドウィン・スパニア著『代数トポロジー』、シュプリンガー・フェルラーク（1982年）、復刻版、マグロウヒル（1966年）