持ち上げ特性

させて${\displaystyle 1}$固定された単一要素集合を表す。${\displaystyle \{0\}}$、そして${\displaystyle 2}$2 つの要素を持つ任意の固定集合を表す。${\displaystyle \{0,1\}}$。

• もし${\displaystyle i:1\to 2}$は、以下の2つの関数のいずれかを表します。${\displaystyle 1}$に${\displaystyle 2}$、 それから${\displaystyle \{i\}^{\perp l}=\{i\}^{\perp r}}$は全射のクラスです。

• もし${\displaystyle j:2\to 1}$は、${\displaystyle 2}$に${\displaystyle 1}$、 それから${\displaystyle \{j\}^{\perp r}=\{j\}^{\perp l}}$は注射のクラスです。

させて${\displaystyle 0}$ゼロモジュールを表し、各${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle M}$、 させて${\displaystyle 0\to M}$そして${\displaystyle M\to 0}$2 つの一意な射を表す${\displaystyle 0}$そして${\displaystyle M}$。

• ${\displaystyle \{0\to R\}^{\perp r}}$は、全射加群準同型のクラスである。

• ${\displaystyle \{R\to 0\}^{\perp r}}$これは、単射加群準同型のクラスです。

• モジュール${\displaystyle M}$射影的であるのは、${\displaystyle 0\to M}$は${\displaystyle \{0\to R\}^{\perp rl}}$。

• モジュール${\displaystyle M}$単射であるのは、${\displaystyle M\to 0}$は${\displaystyle \{R\to 0\}^{\perp rr}}$。

させて${\displaystyle \mathbb {Z} }$は、加法に関する整数の無限巡回群を表す。

• ${\displaystyle \{0\to \mathbb {Z} \}^{\perp r}}$は全射群準同型のクラスである。

• ${\displaystyle \{\mathbb {Z} \to 0\}^{\perp r}}$これは、単射群準同型のクラスです。

• グループ${\displaystyle F}$は自由群であるのは、${\displaystyle 0\to F}$は${\displaystyle \{0\to \mathbb {Z} \}^{\perp rl}}$。

• グループ${\displaystyle A}$ねじれがないのは、${\displaystyle 0\to A}$は${\displaystyle \{n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} :n>0\}^{\perp r}}$。

• サブグループ${\displaystyle A}$グループの${\displaystyle B}$純粋であるのは、${\displaystyle A\to B}$は${\displaystyle \{n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} :n>0\}^{\perp r}}$。

有限群の場合${\displaystyle G}$、

• ${\displaystyle \{0\to {\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} }\}\perp 1\to G}$順序が​${\displaystyle G}$は${\displaystyle p}$もし${\displaystyle \{{\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} }\to 0\}\perp G\to 1}$。

• ${\displaystyle G\to 1\in (0\to {\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} })^{\perp rr}}$もし${\displaystyle G}$は${\displaystyle p}$-グループ。

• ${\displaystyle H}$冪零であるのは、対角写像が${\displaystyle H\to H\times H}$は${\displaystyle (1\to *)^{\perp \ell r}}$どこ${\displaystyle (1\to *)}$マップのクラスを表す${\displaystyle \{1\to G:G{\text{ arbitrary}}\}}$。

• 有限群${\displaystyle H}$可溶であるのは、${\displaystyle 1\to H}$は$${\displaystyle \{0\to A:A{\text{ abelian}}\}^{\perp \ell r}=\{[G,G]\to G:G{\text{ arbitrary }}\}^{\perp \ell r}.}$$

させて${\displaystyle \{0,1\}}$そして${\displaystyle \{0\leftrightarrow 1\}}$それぞれ離散トポロジーと非離散トポロジーを持つ2要素集合を表す。${\displaystyle \{0\to 1\}}$は、2 つの点のシェルピンスキー空間を表し、その集合は${\displaystyle \{0\}}$開いている（閉じていない）セット${\displaystyle \{1\}}$閉じている（開いていない）ので、${\displaystyle \{0\}\to \{0\to 1\},\{1\}\to \{0\to 1\}}$、などは自明な埋め込みを表します。

• スペース${\displaystyle X}$T ₀空間であるのは、${\displaystyle X\to \{*\}}$は${\displaystyle (\{0\leftrightarrow 1\}\to \{*\})^{\perp r}}$。

• スペース${\displaystyle X}$T ₁空間であるのは、${\displaystyle \emptyset \to X}$は${\displaystyle (\{0\to 1\}\to \{*\})^{\perp r}}$。

• ${\displaystyle (\{1\}\to \{0\to 1\})^{\perp l}}$は、密な画像を持つマップのクラスです。

• ${\displaystyle (\{0\to 1\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$マップのクラス${\displaystyle f:X\to Y}$トポロジーが​${\displaystyle A}$トポロジーの引き戻しは${\displaystyle B}$つまり、上のトポロジー${\displaystyle A}$は、マップが連続となるような最小数の開集合を持つ位相である。

• ${\displaystyle (\emptyset \to \{*\})^{\perp r}}$は全射写像のクラスであり、

• ${\displaystyle (\emptyset \to \{*\})^{\perp r\ell }}$は、形式のマップのクラスです。${\displaystyle A\to A\cup D}$どこ${\displaystyle D}$離散的である、

• ${\displaystyle (\emptyset \to \{*\})^{\perp r\ell \ell }=(\{a\}\to \{a,b\})^{\perp \ell }}$マップのクラス${\displaystyle A\to B}$各連結成分が${\displaystyle B}$交差する${\displaystyle \operatorname {Im} A}$、

• ${\displaystyle (\{0,1\}\to \{*\})^{\perp r}}$は単射写像のクラスであり、

• ${\displaystyle (\{0,1\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$マップのクラス${\displaystyle f:X\to Y}$連結閉開部分集合の逆像${\displaystyle Y}$は連結した閉開部分集合である${\displaystyle X}$例えば${\displaystyle X}$接続されている場合${\displaystyle X\to \{*\}}$は${\displaystyle (\{0,1\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$、

• 連結された空間のために${\displaystyle X}$、各連続関数${\displaystyle X}$有界であるのは、${\displaystyle \emptyset \to X\perp \cup _{n}(-n,n)\to \mathbb {R} }$どこ${\displaystyle \cup _{n}(-n,n)\to \mathbb {R} }$これは、開区間の非交和から得られるマップです。${\displaystyle (-n,n)}$実際のラインへ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

• スペース${\displaystyle X}$ハウスドルフであるのは、任意の単射写像に対してである。${\displaystyle \{a,b\}\hookrightarrow X}$保持する${\displaystyle \{a,b\}\hookrightarrow X\perp \{a\to x\leftarrow b\}\to \{*\}}$どこ${\displaystyle \{a\leftarrow x\to b\}}$2つの開いた点を持つ3点空間を表す${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$、そして閉じた点${\displaystyle x}$、

• スペース${\displaystyle X}$完全に正常である場合${\displaystyle \emptyset \to X\perp [0,1]\to \{0\leftarrow x\to 1\}}$開区間${\displaystyle (0,1)}$行く ${\displaystyle x}$、 そして${\displaystyle 0}$地図は要点を捉えている${\displaystyle 0}$、 そして${\displaystyle 1}$地図は要点を捉えている${\displaystyle 1}$、 そして${\displaystyle \{0\leftarrow x\to 1\}}$2つの閉点を持つ3点空間を表す${\displaystyle 0,1}$そして1つのオープンポイント${\displaystyle x}$。

• スペース${\displaystyle X}$が完全であるのは、${\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\perp X\to \{0\}}$どこ${\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }}$は、誘導計量を持つ実数直線の 2 つの部分空間間の明らかな包含関係であり、${\displaystyle \{0\}}$は、1点からなる距離空間です。

• 部分空間${\displaystyle i:A\to X}$閉じているのは${\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\perp A\to X.}$