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形状理論は、位相空間のより包括的な視点を提供する位相幾何学の一分野であり、ホモトピー理論よりも広い視野を提供する。両者は、有限多面体によってホモトピー的に支配されるコンパクト空間において一致する。形状理論はチェフホモロジー理論と関連付けられ、ホモトピー理論は特異ホモロジー理論と関連付けられる。
形状理論は、1944年にD.E.クリスティによって考案・発表され、1968年にポーランドの数学者カロル・ボルスクによって再発明、発展、普及されました。実際、 「形状理論」という名称はボルスクによって考案されたものです。
ボルスクはワルシャワに住み、そこで働いていたため、その地域の基本的な例の 1 つがワルシャワ円と呼ばれている。[ 1 ]これは、位相幾何学者の正弦曲線(ワルシャワ正弦曲線とも呼ばれる) を弧で「閉じる」ことによって生成される平面のコンパクトな部分集合である。ワルシャワ円のホモトピー群は、点のホモトピー群と同様にすべて自明であるため、ワルシャワ円と点の間の任意の写像は弱いホモトピー同値をもたらす。しかし、これら 2 つの空間はホモトピー同値ではない。したがって、ホワイトヘッドの定理により、ワルシャワ円はCW 複体のホモトピー型を持たない。
ボルスクの形状理論は、1968/1969 年にヴウォジミエシュ・ホルシュティンスキによって任意の (非距離) コンパクト空間、さらには一般的な圏にまで一般化され、1971 年のFund. Math. 70 , 157–168 に掲載されました (下記 Jean-Marc Cordier、Tim Porter (1989) を参照)。これは、サミュエル・アイレンバーグとノーマン・スティーンロッドがモノグラフ『代数トポロジの基礎』で表現したチェフホモロジーに特徴的な連続的なスタイルで行われました。このような状況のため、ホルシュティンスキの論文はほとんど注目されず、代わりに、後にSibe Mardešićと Jack Segal による Fund. Math. 72 , 61–68に掲載された論文がこの分野で大きな人気を獲得しました。さらなる進展については、下記の参考文献およびその内容に反映されています。
力学系などの特定の目的のために、より洗練された不変量が「強形状」という名称で開発されました。非可換幾何学への一般化、例えば作用素環の形状理論なども見出されています。