コンパクトに生成された弱ハウスドルフ空間のカテゴリ

数学において、コンパクトに生成された弱ハウスドルフ空間の圏CGWH は、位相空間の圏Topの代替として代数位相幾何学で用いられる圏である。位相空間の圏Topには、実際には一般的で証明に便利ないくつかの性質が欠けているからである。また、マップが基点を保存することを要求することで定義される、尖った位相空間のCGWH類似体にも、同様の圏が存在する。^[1]

コンパクト生成空間と弱ハウスドルフ空間の記事では、それぞれの位相的性質を定義します。空間に関するこれらの条件の歴史的な動機については、コンパクト生成空間#動機を参照してください。この記事では、カテゴリの性質に焦点を当てています。

CGWH には次の特性があります。

• それは完全^[2]かつ共完全である。^[3]
• 集合に対する忘却関手は小さな極限を保存する。 ^[2]
• それはすべての局所コンパクトなハウスドルフ空間^[4] とすべてのCW複体^[5]を含みます。
• 内部Homは任意の空間XとYのペアに対して存在する。^{[6] [7]}それはまたはで表され、 XからYへの（自由）写像空間と呼ばれる。さらに、同相写像が存在する。 ${\displaystyle \operatorname {マップ} (X,Y)}$${\displaystyle Y^{X}}$

  ${\displaystyle \operatorname {Map} (X\times Y,Z)\simeq \operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (Y,Z))}$

これはX、Y、Zにおいて自然である。^[8]つまり、このカテゴリは豊富な意味でデカルト的に閉じている。

• CW複体の有限積はCW複体である。^[9]
• と が尖端空間であるならば、それらのスマッシュ積が存在する。^[10]からへの（基底）写像空間は、 からへのすべての基底点保存写像から成り、基底点のない基礎空間間の写像空間の閉部分空間である。^[11]これは、基底点が唯一の定数写像である基底空間である。さらに、基底空間、、 に対して、同相写像が存在する。 ${\displaystyle (X,*)}$${\displaystyle (Y,\circ )}$ ${\displaystyle \operatorname {Map} ((X,*),(Y,\circ ))}$${\displaystyle (X,*)}$${\displaystyle (Y,\circ )}$${\displaystyle (X,*)}$${\displaystyle (Y,\circ )}$${\displaystyle (X,*)}$${\displaystyle (Y,\circ )}$${\displaystyle (Z,\star )}$

  ${\displaystyle \operatorname {Map} ((X,*)\wedge (Y,\circ ),(Z,\star ))\simeq \operatorname {Map} ((X,*),\operatorname {Map} ((Y,\circ ),(Z,\star )))}$

、、およびにおいて自然である。^[12]${\displaystyle (X,*)}$${\displaystyle (Y,\circ )}$${\displaystyle (Z,\star )}$

• フランクランド、マーティン (2013 年 2 月 4 日)。「数学 527 - ホモトピー理論 - コンパクトに生成された空間」(PDF)。
• スティーンロッド、NE（1967年5月1日）。「位相空間の便利なカテゴリ」ミシガン数学ジャーナル。14 （2）：133–152。doi ： 10.1307 / mmj / 1028999711。
• ストリックランド、ニール (2009)。「CGWH 空間のカテゴリ」(PDF)。
• 「付録」。トポロジーにおける細胞構造。1990年。pp. 241–305。doi :10.1017 / CBO9780511983948.007。ISBN 9780521327848。

• CGWH部門、キム・ドンリュル 2017