A¹ ホモトピー理論

数学の一分野である代数幾何学と代数位相幾何学 において、A ¹ホモトピー理論またはモティヴィックホモトピー理論は、代数位相幾何学、特にホモトピーの手法を代数多様体、より一般的にはスキームに適用する方法である。この理論は、ファビアン・モレルとウラジミール・ヴォエヴォツキーによるものである。基本的な考え方は、代数多様体ではない単位区間[0, 1]を代数多様体であるアフィン直線A ¹に置き換えることによって、ホモトピー理論への純粋に代数的なアプローチを開発できるはずであるというものである。この理論は、ヴォエヴォツキーによる混合モチーフの導来圏の構築や、ミルナー予想とブロッホ-カトー予想の証明など、目覚ましい応用が見られている。

A ^{1ホモトピー理論は、} A ¹ホモトピー カテゴリと呼ばれるカテゴリに基づいています。簡単に言うと、 A ¹ホモトピー カテゴリ、またはむしろ標準関数は、滑らかな -スキームのカテゴリから、ニスネビッチ降下を満たす無限大カテゴリに向かう普遍関数であり、アフィン直線A ^{1 は}収縮可能になります。ここでは、事前に選択された基本スキームを示します (たとえば、複素数 のスペクトル)。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}(S)}$${\displaystyle Sm_{S}\to {\mathcal {H}}(S)}$${\displaystyle Sm_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Spec(\mathbb {C} )}$

普遍的性質に関するこの定義は、無限圏なしには不可能です。無限圏は 90 年代には存在せず、元の定義は Quillen のモデル圏の理論を経由します。この状況を別の観点から見ると、Morel-Voevodsky の元の定義は、無限圏 (のホモトピー圏) の具体的なモデルを生み出します。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}(S)}$

より具体的な構造を以下にスケッチします。

基底スキームを選択します。古典的には、はネーターであることが求められますが、Marc Hoyois などの現代の著者の多くは、準コンパクト準分離基底スキームを扱っています。いずれにせよ、複素数などの多くの重要な結果は、完全基底体上でのみ知られているため、この場合のみを検討します。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

ステップ 1a: ニスネビッチ層。古典的には、上の滑らかなスキームのカテゴリ上のニスネビッチ層のカテゴリから構築が始まります。経験的に、これは、すべての余極限を隣接させ、ニスネビッチ降下を満たすように強制することで得られるの普遍的な拡大とみなされるべきです (そして正確な技術的な意味では です) 。 ${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}}$${\displaystyle Sm_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Sm_{S}}$

ステップ 1b: 単体層。ホモトピー余極限やホモトピー極限などの標準的なホモトピー理論的手順をより簡単に実行するために、次のカテゴリの単体層に置き換えます。 ${\displaystyle Shv_{Nis}(Sm_{S})}$

Δ を単体カテゴリ、つまり集合を対象とするカテゴリ とする。

{0}、{0、1}、{0、1、2}、...、

および、その射が順序保存関数である。 を関数のカテゴリ と表記する。つまり、は 上の単体オブジェクトのカテゴリである。このようなオブジェクトは上の単体層とも呼ばれる。 ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$${\displaystyle \Delta ^{op}\to Shv(Sm_{S})_{Nis}}$${\displaystyle \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}}$${\displaystyle Sm_{S}}$

ステップ 1c: ファイバー関数。任意の滑らかな-スキーム、任意の点、任意の層について、の小さな Nisnevich サイトへの制限の茎を と書きます。明示的には、ここで余極限はエタール射 を介した標準包含の因数分解上にあります。コレクションはのファイバー関数の保存的な族です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x^{*}F}$${\displaystyle F|_{X_{Nis}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x^{*}F=colim_{x\to V\to X}F(V)}$${\displaystyle x\to V\to X}$${\displaystyle x\to X}$${\displaystyle V\to X}$${\displaystyle \{x^{*}\}}$${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}}$

ステップ 1d: 閉じたモデル構造。ファイバー関数を用いて上の閉じたモデル構造を定義します。を単体層の射とします。次のように言えます。 ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$

• fが弱同値であるとは、 Tの任意のファイバー関数xに対して、単体集合の射が弱同値であることを意味する。 ${\displaystyle x^{*}f:x^{*}{\mathcal {X}}\to x^{*}{\mathcal {Y}}}$
• f は単射であればコファイブレーションである。
• f は、弱同値である任意のコファイブレーションに対して正しい持ち上げ特性を持つ場合、ファイブレーションです。

このモデル構造のホモトピーカテゴリは と表記されます。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}(T)}$

このモデル構造はニスネビッチ降下法を採用しているが、アフィン線を縮約することはない。単体層は、任意の単体層に対して写像 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}}\times \mathbb {A} ^{1},{\mathcal {X}})\to {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}},{\mathcal {X}})}$

によって誘導される は一対一です。ここでは、 を米田埋め込みと定数単体オブジェクト関手 を介して層として考えています。 ${\displaystyle i_{0}:\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}\to \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$

射が-弱同値であるとは、任意の-局所に対して、誘導写像 ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}},{\mathcal {Z}})\to {\text{ Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {X}},{\mathcal {Z}})}$

は一対一です。-局所モデル構造は、-弱同値性に関して上記のモデルの局所化です。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

最後に、 A ¹ホモトピーカテゴリを定義します。

定義。S を有限次元ノイザンスキーム（たとえば複素数のスペクトル）とし、 Sm _{/ S を}S上の滑らかなスキームのカテゴリとします。Sm _{/ S}にニスネビッチ位相を備えて、サイト( Sm _{/ S} ) _Nisを取得します。上の -局所モデル構造に関連付けられたホモトピーカテゴリ（または無限大カテゴリ）は、 A ¹ -ホモトピーカテゴリと呼ばれます。これは と表記されます。同様に、尖った単体層には、尖ったホモトピーカテゴリが関連付けられます。${\displaystyle S=Spec(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \Delta ^{op}Shv_{*}(Sm_{S})_{Nis}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}}$${\displaystyle \Delta ^{op}Shv_{*}(Sm_{S})_{Nis}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s,*}}$

構成上、Sm _{/ S}内の任意のXに対して同型が存在することに注意する。

X × _S A¹
_秒≅ X、

ホモトピーカテゴリにおいて。

-ホモトピー圏を構成するために単体モデル圏から始めたため、単体モデル圏の抽象理論から受け継いだ構造がいくつかある。特に、の尖った単体層に対しては、楔積を余極限として形成することができる。${\displaystyle \mathbf {A} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {X}},{\mathcal {Y}}}$${\displaystyle \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$

${\displaystyle {\mathcal {X}}\vee {\mathcal {Y}}={\underset {\to }{\text{colim}}}\left\{{\begin{matrix}*&\to &{\mathcal {X}}\\\downarrow &&\\{\mathcal {Y}}\end{matrix}}\right\}}$

そしてスマッシュプロダクトは次のように定義される。

${\displaystyle {\mathcal {X}}\wedge {\mathcal {Y}}={\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}/{\mathcal {X}}\vee {\mathcal {Y}}}$

ホモトピー理論における古典的な構成のいくつかを回復します。さらに、単体的（前）層の円錐と射の円錐がありますが、これらを定義するには単体球の定義が必要です。

単体モデルカテゴリから始めるという事実から、これは余単体関数が存在することを意味する。

${\displaystyle \Delta ^{\bullet }:\Delta \to \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$

の単体を定義する。代数的n単体は-スキームによって与えられることを思い出してください${\displaystyle \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \Delta ^{n}={\text{Spec}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{S}[t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}]}{(t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}-1)}}\right)}$

これらのスキームを定数前層として埋め込み、層化すると 内のオブジェクトが得られ、これを と表記する。これらは の像内のオブジェクト、すなわちである。次に、抽象単体ホモトピー理論を使用して、単体球面を得る。${\displaystyle \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle \Delta ^{\bullet }([n])}$${\displaystyle \Delta ^{\bullet }([n])=\Delta ^{n}}$

${\displaystyle S^{n}=\Delta ^{n}/\partial \Delta ^{n}}$

すると、単体（前）層の円錐は次のように形成される。

${\displaystyle C({\mathcal {X}})={\mathcal {X}}\wedge \Delta ^{1}}$

そして、図の余極限として射の円錐を形成する ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle C(f)={\underset {\to }{\text{colim}}}\left\{{\begin{matrix}{\mathcal {X}}&\xrightarrow {f} &{\mathcal {Y}}\\\downarrow &&\\C({\mathcal {X}})\end{matrix}}\right\}}$

さらに、 のコファイバーは単にサスペンションである。尖端ホモトピーカテゴリには、サスペンションファンクタも存在する。${\displaystyle {\mathcal {Y}}\to C(f)}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}\wedge S^{1}=\Sigma {\mathcal {X}}}$

${\displaystyle \Sigma :{\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}\to {\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}}$与えられた${\displaystyle \Sigma ({\mathcal {X}})={\mathcal {X}}\wedge S^{1}}$

そしてその右の随伴

${\displaystyle \Omega :{\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}\to {\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}}$

ループ空間関数と呼ばれます。

設定、特にニスネビッチ位相は、代数 K 理論をスペクトルで表現できるようにするために選択され、いくつかの側面ではブロッホ-カトー予想の証明を可能にします。

Morel-Voevodsky 構成の後、他のモデル カテゴリ構造を使用したり、Nisnevich 層以外の層 (たとえば、Zariski 層やすべての前層) を使用したりして、 A ¹ホモトピー理論に対するさまざまなアプローチが行われました。これらの各構成では、同じホモトピー カテゴリが生成されます。

理論には 2 種類の球面があります。位相幾何学で1球面の役割を果たす乗法群から来る球面と、単体球面 (定数単体層と見なされる) から来る球面です。これにより、2 つの添字を持つモティヴィック球面S ^p、qの理論が導き出されます。モティヴィック球面のホモトピー群を計算すると、球面の古典的な安定ホモトピー群も得られるため、この点でA ¹ホモトピー理論は古典的なホモトピー理論と少なくとも同じくらい複雑です。

アーベル群に対して、滑らかなスキームの -モティヴィックコホモロジーは、層ハイパーコホモロジー群によって与えられる。${\displaystyle A}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,A):=\mathbb {H} ^{p}(X_{nis},A(q))}$

に対してである。このコホモロジーを表すのは、 に対応する と表記される単体アーベル層であり、これは尖ったモティヴィックホモトピー圏 の対象として考えられる。すると、滑らかなスキームに対しては、同値性が得られる。${\displaystyle A(q)=\mathbb {Z} (q)\otimes A}$${\displaystyle K(p,q,A)}$${\displaystyle A(q)[+p]}$${\displaystyle H_{\bullet }(k)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{H_{\bullet }(k)}(X_{+},K(p,q,A))=H^{p,q}(X,A)}$

これらの層がモチーフアイレンバーグ・マクレーン空間を表すことを示している^{[1] 3ページ}。

A ¹ホモトピー理論におけるさらなる構成は、カテゴリ SH( S ) であり、これは上記の不安定カテゴリから、 G _mとのスマッシュ積を逆になるように強制することによって得られます。このプロセスは、いわゆるG _mスペクトルを使用するモデルカテゴリ構成を使用するか、代わりに無限カテゴリを使用して実行できます。

実数体のスペクトルである S = Spec ( R )に対して、関数が存在する。

${\displaystyle SH(\mathbf {R} )\to SH}$

代数位相から安定ホモトピー圏への写像。この関数は滑らかなスキームX / RをXに付随する実多様体へ送るという特徴がある。この関数は写像

${\displaystyle \rho :S^{0}\to \mathbf {G} _{m},i.e.,\{-1,1\}\to Spec\mathbf {R} [x,x^{-1}]}$

は2点集合と同値 なので、同値となる。Bachmann (2018)は、結果として得られる関数が${\displaystyle \mathbf {R} ^{\times }}$

${\displaystyle SH(\mathbf {R} )[\rho ^{-1}]\to SH}$

同等です。

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• モチーフアダムススペクトル列
• モチーフ色彩ホモトピー理論

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