一般的な平坦性

代数幾何学と可換代数において、ジェネリック平坦性定理とジェネリック自由性定理は、ある仮定の下で、あるスキーム上の加群の層が平坦または自由であることを述べています。これらはアレクサンダー・グロタンディークによるものです。

ジェネリック平坦性とは、Yが整的局所ノイザンスキーム、u  : X → Yがスキームの有限型射、F がコヒーレントO _Xモジュールである場合、 Yの空でない開集合Uが存在し、 Fのu ⁻¹ ( U )への制限がU上で平坦になることを指します。^[1]

Yは整数なので、 U はYの稠密な開部分集合である。これを適用すると、基底が整数でない場合に真となるジェネリック平坦性の変種を演繹することができる。^[2] Sがネータースキーム、u  : X → Sが有限型射、F がコヒーレントO _Xモジュールであるとする。すると、 Sの局所閉部分集合S ₁、...、S _nへの分割が存在し、次の特性を持つ: 各S _{i に}その簡約スキーム構造を与え、ファイバー積 X × S S i を X i で表し、制限F ⊗ _O S _O S _iをF iで_表すと、_各F i_は平坦に_なる。

ジェネリック平坦性はジェネリック自由性補題の結果である。ジェネリック自由性とは、Aがネーター 整域、Bが有限型A代数、Mが有限型B加群である場合、 Aの非ゼロ元f が存在し、 M _{f が}自由A _f加群となることを述べている。^[3]ジェネリック自由性は次数付き状況に拡張できる。Bが自然数によって次数付き、A が次数 0 で作用し、Mが次数付きB加群である場合、M _fの各次数付き成分が自由となるようにf を選択できる。^[4]

ジェネリック自由性は、グロタンディークのデヴィサージュ技法を使用して証明されます。ジェネリック自由性の別のバージョンは、ノイマンの正規化補題を使用して証明できます。

• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）、代数幾何学を視野に入れた可換代数、Graduate Texts in Mathematics、第150巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-94268-1、MR  1322960
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1965)。 「幾何学計算の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、第 2 部」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。２４．土井：10.1007/bf02684322。MR  0199181。