射影平面

数学において、射影平面は平面の概念を拡張した幾何学的構造です。通常のユークリッド平面では、2 本の線は通常 1 点で交差しますが、交差しない線 (つまり、平行線) のペアもいくつかあります。射影平面は、平行線が交差する「無限遠点」が追加された通常の平面と考えることができます。したがって、射影平面内の 2つの異なる線は、正確に 1 点で交差します。

ルネサンス期の芸術家たちは、遠近法による描画技法を発展させることで、この数学的なテーマの基礎を築きました。その典型的な例が、実射影平面、別名拡張ユークリッド平面です。^[1]この例は、若干異なる形で、代数幾何学、位相幾何学、射影幾何学において重要であり、 PG(2, R )、 RP ²、P ₂ ( R ) などさまざまな表記法で表されます。射影平面には、複素射影平面などの無限のものから、ファノ平面などの有限のものまで、他にも数多くあります。

射影平面は 2 次元の射影空間です。すべての射影平面が3 次元の射影空間に埋め込めるわけではありません。このような埋め込み可能性は、すべての射影平面に当てはまるわけではない、デザルグの定理と呼ばれる特性の結果です。

射影平面は、点の集合、直線の集合、および入射と呼ばれる集合上の対称関係から構成される階数2の入射構造 であり、次の特性を持つ: ^[2]${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},I)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\mathcal {P}}\cup {\mathcal {L}}}$

2 番目の条件は、平行線が存在しないことを意味します。最後の条件は、いわゆる退化の場合を除外します (以下を参照)。「入射」という用語は、点と線の関係の対称性を強調するために使用されます。したがって、「点Pは線ℓに入射する」という表現は、「 P はℓ上にある」または「ℓ はPを通過する」の代わりに使用されます。

定義から、射影平面上の任意の直線に接する点の数は、任意の点に接する直線の数と同じであることがわかります。この基数 (無限の場合もあります) は平面の 位数と呼ばれます。${\displaystyle s+1}$${\displaystyle s}$

通常のユークリッド平面を射影平面に変換するには、次の手順に従います。

1. 平行線の各クラス（互いに平行な線の最大集合）には、1 つの新しい点が関連付けられます。その点は、そのクラスの各線と接続していると見なされます。追加された新しい点は、互いに異なります。これらの新しい点は、無限遠点と呼ばれます。
2. 無限遠にあるすべての点と交差する（他の点とは交差しない）新しい線を追加します。この線は無限遠にある線と 呼ばれます。

拡張された構造は射影平面であり、拡張ユークリッド平面または実射影平面と呼ばれます。これを得るために使用される上記のプロセスは、「射影完備化」または射影化と呼ばれます。この平面は、 R ³をベクトル空間として見て構築することもできます。以下の § ベクトル空間の構築を参照してください。

モールトン平面の点は、ユークリッド平面の点であり、座標は通常どおりです。ユークリッド平面からモールトン平面を作成するには、一部の線を再定義します。つまり、一部の点セットは変更されますが、他の線は変更されません。負の傾きを持つすべての線を再定義して、「曲がった」線のように見えるようにします。つまり、これらの線は負のx座標を持つ点を保持しますが、残りの点は、x座標が正の場所で、同じy切片で傾きが 2 倍の線の点に置き換えられます。

モールトン平面は平行な直線類を持ち、アフィン平面です。前の例のように、射影化して射影モールトン平面を得ることができます。デザルグの定理は、モールトン平面でも射影モールトン平面でも有効な定理ではありません。

この例には、13 個の点と 13 本の線があります。点を P ₁、...、P ₁₃、線を m ₁、...、m ₁₃とラベル付けします。接続関係(どの点がどの線上にあるか) は、次の接続行列で表すことができます。行には点のラベルが付けられ、列には線のラベルが付けられます。行i列jの 1 は、点 P _iが線 m _j上にあることを意味し、0 (ここでは読みやすくするために空白のセルで表しています) は、点と線が接続していないことを意味します。行列は、ペイジ・ウェクスラー正規形です。

これを射影平面とする条件を確認するには、2 行ごとに 1 が現れる共通の列が 1 つだけあること (異なる点のペアはすべて 1 つの共通線上にある)、および 2 列ごとに 1 が現れる共通の行が 1 つだけあること (異なる線のすべてのペアは 1 つの点で交わる) に注目します。多くの可能性の中で、たとえば点 P ₁、 P ₄、 P ₅、 P _{8は 3 番目の条件を満たします。この例は、}位数 3 の射影平面として知られています。

拡張された実平面の無限遠直線は、その射影平面の他の直線とは異なる性質を持っているように見えるかもしれないが、そうではない。同じ射影平面の別の構成は、どの直線も（幾何学的根拠に基づいて）他の直線と区別できないことを示している。この構成では、実射影平面の各「点」は、3次元ベクトル空間の原点を通る1次元部分空間（幾何学的直線）であり、射影平面の「直線」は、3次元空間の原点を通る（幾何学的）平面から生じる。この考え方は、次のように一般化され、より明確にすることができる。^[3]

K を任意の分割環（歪体）とする。K ^{3 を}Kの元（ベクトル空間として見た直積）の３つ組x = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ )の集合とする。K 3の任意の非ゼロxに対して、 x を含むK ³の最小部分空間（原点を通る直線上のすべてのベクトルとして視覚化できる）は部分集合で ある^。

${\displaystyle \{kx:k\in K\}}$

K ³の最小部分空間。同様に、xとy をK ³の線形独立な要素とすると、kx + my = 0はk = m = 0を意味する。 xとyを含むK ³の最小部分空間（原点を通る平面上のすべてのベクトルとして視覚化できる）は、部分集合

${\displaystyle \{kx+my:k,m\in K\}}$

K ³の2 次元部分空間には、原点を通るさまざまな 1 次元部分空間が含まれます。これらの部分空間は、kとm を固定し、結果のベクトルの倍数を取ることで得られます。同じ比率のkとm を異なる値に選択すると、同じ直線が得られます。

K上の射影平面はPG(2,  K ) またはK P ²と表記され、K ³のすべての 1 次元部分空間からなる点の集合を持ちます。 PG(2, K )の点の サブセットLが PG(2, K )の 直線であるとは、 K ³の 2 次元部分空間が存在し、その 1 次元部分空間の集合がちょうどL であることを意味します。

この構成によって射影平面が生成されることを確認することは、通常、線形代数の演習として残されます。

この構成の別の（代数的な）見方は次のようになる。この射影平面の点は、同値関係を法とする集合K ³ \ {(0, 0, 0)}の同値類である。

x ~ kx （すべてのkはK ^×に属する）

射影平面上の線は、まさに上記と同じように定義されます。

PG(2, K )内の点の 座標( x ₀ , x ₁ , x ₂ )は同次座標と呼ばれます。各 3 つの値( x ₀ , x ₁ , x ₂ )は、点を表さない 3 つの値(0, 0, 0)を除き、 PG(2, K )内の明確に定義された点 を表します。ただし、 PG(2, K )内の各点は 、多数の 3 つの値で表されます。

K が位相空間である場合、K P ^{2 は}積位相、部分空間位相、商位相 を介して位相を継承します。

実射影平面 RP2^は、Kを実数Rとしたときに生じる。これは閉じた非向き付け実2次元多様体であり、位相幾何学の基本的な例として用いられる。^[4]

この構成では、 R ³の原点を中心とする単位球面を考えます。この構成におけるR ³の各直線は、2 つの対心点で球面と交差します。R ^{3の直線は}​​ RP ²の点を表すため、球面の対心点を特定することでRP ²の同じモデルが得られます。この対心点の特定の後、 RP ²の直線は​​球面の大円になります。この説明により、楕円幾何学の標準モデルが与えられます。

複素射影平面 CP ^{2 は、} Kを複素数Cとしたときに生じる。これは閉じた複素2次元多様体であり、したがって閉じた有向実4次元多様体である。この平面と他の体上の射影平面（パッピアン平面として知られる）は、代数幾何学の基本的な例として用いられる。^[5]

四元数射影平面 HP2^も独立した興味深いものである。^[6]

ウェダーバーンの定理によれば、有限分割環は可換でなければならず、したがって体でなければならない。したがって、この構成の有限例は「体平面」として知られている。K を、素数 p を持つq = p n 個の元の有限体とすると、q 2 + ^q + 1点の^射影平面が得られる。体平面は通常、PG(2,  q ) と表記される。ここで、PG は射影幾何学を表し、「2」は次元、q は平面の位数(任意の直線上の点の数より 1 少ない)と呼ばれる。以下で説明するファノ平面は、PG(2, 2) と表記される。上記の 3 番目の例は、射影平面 PG(2, 3) である。

ファノ平面は、2 つの要素の体から生じる射影平面です。これは、7 つの点と 7 つの直線のみを持つ最小の射影平面です。右の図では、7 つの点は小さな球として示され、7 つの直線は 6 つの線分と 1 つの円として示されています。ただし、球を「線」、線分と円を「点」と見なすことも同等です。これは、射影平面の双対性の例です。線と点を入れ替えても、結果は射影平面になります (以下を参照)。7 つの点の順列で、共線上の点 (同じ線上の点) を共線上の点に置き換えることは、平面の共線化または対称性と呼ばれます。幾何学の共線化は合成によってグループを形成し、ファノ平面の場合、このグループ ( PΓL(3, 2) = PGL(3, 2) ) には 168 個の要素があります。

デザルグの定理が射影平面において普遍的に妥当であるための必要十分条件は、その平面が上記のように歪体上の3次元ベクトル空間から構成できる場合である。^[7]これらの平面は、ジラール・デザルグにちなんでデザルグ平面と呼ばれる。上記の実数（または複素数）射影平面と位数3の射影平面は、デザルグ射影平面の例である。このように構成できない射影平面は非デザルグ平面と呼ばれ、上記のモールトン平面はその一例である。PG(2,  K ) 表記は、デザルグ平面のために予約されている。K が体である場合（非常に一般的な場合）、それらは体平面とも呼ばれ、体が有限体である場合はガロア平面と呼ばれることがある。

射影平面の部分平面は、 の部分集合のペアであり、への接続関係の制限に関してそれ自体が射影平面です。 ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},I)}$${\displaystyle ({{\mathcal {P}}'},{{\mathcal {L}}'})}$${\displaystyle {{\mathcal {P}}'}\subseteq {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {{\mathcal {L}}'}\subseteq {\mathcal {L}}}$${\displaystyle ({{\mathcal {P}}'},{{\mathcal {L}}'},I')}$${\displaystyle I'}$${\displaystyle I}$${\displaystyle ({{\mathcal {P}}'}\cup {{\mathcal {L}}'})\times ({{\mathcal {P}}'}\cup {{\mathcal {L}}'})}$

(Bruck 1955) は次の定理を証明しています。 Π をN位の有限射影平面と、 M位の適切な部分平面 Π _{0とします。このとき、} N = M ²またはN ≥ M ² + Mのいずれかです。

のすべての直線がのちょうど 1 つの点と交差し、 のすべての点がのちょうど 1 つの直線と交差する場合、の部分平面はBaer の部分平面です。 ${\displaystyle ({{\mathcal {P}}'},{{\mathcal {L}}'})}$${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},I)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\setminus {{\mathcal {L}}'}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}'}$${\displaystyle {\mathcal {P}}\setminus {{\mathcal {P}}'}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}'}$

有限のデザルグ射影平面の順序は、 が正方である場合に限り、ベール部分平面（すべて必ずデザルグである）を許容します。この場合、ベール部分平面の順序は です。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\sqrt {q}}}$

有限デザルグ平面 PG(2,  p ⁿ ) では、サブ平面の位数は有限体 GF( p ⁿ ) のサブ体の位数、つまり、iがnの約数であるp ^{i で}ある。しかし、非デザルグ平面では、ブルックの定理がサブ平面の位数に関する情報のみを与える。この定理の不等式が等しいケースは発生しないことが知られている。位数Nの平面に位数Mのサブ平面が存在し、 M ² + M = Nであるかどうかは未解決の問題である。そのようなサブ平面が存在する場合、合成位数 (非素数冪位数) の射影平面が存在することになる。

ファノ部分平面は、位数2の唯一の射影平面であるPG(2, 2)と同型な部分平面です。

この平面で四角形(同一直線上にない 4 つの点の集合)を考えると、それらの点によって平面の 6 つの線が決まります。残りの 3 つの点 (四角形の対角点と呼ばれる) は、四角形の 1 点で交差しない線が交わる点です。7 番目の線は、すべての対角点 (通常は円または半円として描かれます) で構成されます。

有限デザルグ平面 PG(2,  q ) では、 qが偶数 (つまり、2 の累乗)の場合にのみファノ部分平面が存在します。非デザルグ平面の状況は未解決です。これらは、6 より大きい次数の非デザルグ平面に存在する可能性があり、実際、それらが探されたすべての非デザルグ平面で発見されています (奇数と偶数の両方の次数)。

未解決の疑問は、明らかにハンナ・ノイマンによるものだが、彼女自身によって公表されていないのは、「すべての非デザルグ平面にはファノ部分平面が含まれているか？」である。

(Gleason 1956) によるファノ部分平面に関する定理は次の通りである。

有限射影平面内のすべての四角形が同一直線上の対角点を持つ場合、その平面はデザルグ平面（偶数次）です。

ユークリッド平面の射影化により、実射影平面が生成されます。逆の操作、つまり射影平面から始めて、1 本の直線とその直線に接するすべての点を削除すると、アフィン平面が生成されます。

より正式には、アフィン平面は、直線の集合と点の集合、および点と直線の間の接続と呼ばれる関係で構成され、次の特性を持ちます。

2 番目の条件は、 平行線が存在することを意味し、プレイフェアの公理として知られています。この条件の「交わらない」という表現は、「両方の線に接する点は存在しない」の省略形です。

ユークリッド平面とモールトン平面は無限アフィン平面の例です。有限射影平面から直線とその上の点の 1 つを削除すると、有限アフィン平面が生成されます。有限アフィン平面の位数は、その直線上の点の数です (これは元の射影平面の位数と同じ数になります)。射影平面 PG(2,  q ) から生じるアフィン平面は、AG(2, q )で表されます 。

次数Nの射影平面が存在するのは、次数Nのアフィン平面が存在する場合のみです。次数Nのアフィン平面が 1 つしかない場合は、次数Nの射影平面も 1 つしかありませんが、その逆は成り立ちません。射影平面の異なる線分を除去して形成されるアフィン平面は、除去された線分が射影平面の共線群の同じ軌道にある場合にのみ同型になります。これらの記述は、無限射影平面にも当てはまります。

K上のアフィン平面K ^{2は、アフィン（非同次）座標を}同次座標に写像することでK P ²に埋め込まれます。

${\displaystyle (x_{1},x_{2})\mapsto (1,x_{1},x_{2}).}$

像の補集合は、(0, x ₁ , x ₂ )の形をした点の集合である。先ほど与えた埋め込みの観点から、これらの点は無限遠点である。これらはK P ²の直線、すなわち平面から生じる直線 を構成する。

${\displaystyle \{k(0,0,1)+m(0,1,0):k,m\in K\}}$

K ³の無限遠点と呼ばれる直線。無限遠点は、拡張された実平面の構築において平行線が交差する「余分な」点である。点 (0, x ₁ , x _{2 ) は、傾き}x ₂ / x ₁のすべての直線が交差する点である。例えば、次の 2 つの直線を考える。

${\displaystyle u=\{(x,0):x\in K\}}$

${\displaystyle y=\{(x,1):x\in K\}}$

アフィン平面K ²上の直線。これらの直線は傾き 0 で交差しません。これらは上記の埋め込みによりK P ^{2のサブセットとみなすことができますが、これらのサブセットは}K P ²内の直線ではありません。各サブセットに点(0, 1, 0)を追加します。つまり、

${\displaystyle {\bar {u}}=\{(1,x,0):x\in K\}\cup \{(0,1,0)\}}$

${\displaystyle {\bar {y}}=\{(1,x,1):x\in K\}\cup \{(0,1,0)\}}$

これらはK P ²の直線であり、ūは平面から生じる。

${\displaystyle \{k(1,0,0)+m(0,1,0):k,m\in K\}}$

K ³ではȳ は平面から生じる。

${\displaystyle {k(1,0,1)+m(0,1,0):k,m\in K}.}$

射影直線 ū と ȳ は(0, 1, 0)で交差します。実際、傾き 0 のK ²のすべての直線は、このように射影すると、K P ²の(0, 1, 0)で交差します。

上で示したK ^2からK P ²への埋め込みは一意ではない。各埋め込みは、独自の無限遠点の概念を生成する。例えば、埋め込み

${\displaystyle (x_{1},x_{2})\to (x_{2},1,x_{1}),}$

補点として( x ₀ , 0, x ₂ )の形をした点があり、これらは無限遠点としてみなされます。

アフィン平面がK ²の形を持たず、 Kが分割環である場合、アフィン平面は射影平面に埋め込むことができますが、上記の構成は機能しません。この場合の埋め込みを実行するために一般的に使用される方法は、アフィン座標のセットを拡張し、より一般的な「代数」で作業することです。

任意の射影平面に対応する座標「環」、いわゆる平面三元環（真の環ではない）を構築することができる。平面三元環は体や分割環である必要はなく、分割環から構築されない射影平面は多数存在する。これらは非デザルグ射影平面と呼ばれ、活発な研究分野である。八元数上の射影平面であるケーリー平面（OP ²）は、八元数が分割環を形成しないため、これらの1つである。^[8]

逆に、平面三元環 ( R、  T ) が与えられれば、射影平面を構築することができます (下記参照)。この関係は 1 対 1 ではありません。射影平面は、複数の非同型平面三元環に関連付けられることがあります。三元演算子T は、次のようにして、集合R上の 2 つの二元演算子を生成するために使用できます。

a + b = T ( a , 1, b )、そして

a⋅b = T ( a , b ,0)である。

三項演算子は、 T ( x , m , k ) = x ⋅ m + kのとき線形です。射影平面の座標の集合が実際に環を形成するとき、右側の環演算を使用して、このように線形三項演算子を定義して、平面三項環を生成することができます。

この平面三元座標環の代数的性質は、平面の幾何学的入射特性に対応することが判明しています。たとえば、デザルグの定理は、座標環が除算環から得られることに対応し、パップスの定理は、この環が可換体から得られることに対応します。パップスの定理を普遍的に満たす射影平面は、パッピアン平面と呼ばれます。八元数のような、必ずしも結合的ではない代替除算代数は、ムーファン平面に対応します。

デザルグの定理は有限射影平面におけるパップスの定理を意味するという純粋に幾何学的な主張の、純粋に幾何学的な証明は知られていない (有限デザルグ平面はパップスである)。(逆は任意の射影平面で真であり、幾何学的に証明可能であるが、パップスでない無限デザルグ平面が存在するため、この主張では有限性が不可欠である。) 最も一般的な証明は、除算環の座標と、有限除算環は必ず可換であるというウェダーバーンの定理を使用する。バンバーグとペンティラ (2015) は、除算環に関するより「基本的な」代数的事実のみを使用する証明を与えている。

非同次座標と平面三元環を使用して、 N (≥ 2)の有限射影平面を記述します。

1つの点に( ∞ )というラベルを付けます。

N点にラベル( r )を付けます。ただしr = 0, ..., ( N  − 1)です。

N ²点にラベル( r , c ) を付けます。ここでr , c = 0, ..., ( N  − 1 ) です。

これらの点に基づいて、次の行を構築します。

1行目 [ ∞ ] = { ( ∞ ), (0), ..., ( N  − 1)}

N行[ c ] = {( ∞ ), ( c , 0), ..., ( c , N  − 1)}、ここでc = 0, ..., ( N  − 1)

N ^{2 本の}直線 [ r , c ] = {( r ) と点 ( x , T ( x , r , c )) }、ここでx , r , c = 0, ..., ( N  − 1) であり、T は平面三元環の三元演算子です。

たとえば、N = 2の場合、位数 2 の有限体に関連付けられた記号 {0, 1} を使用できます。T ( x , m , k ) = xm + kで定義される 3 項演算で、右側の演算が体での乗算と加算である場合、次のようになります。

1行目 [ ∞ ] = { ( ∞ ), (0), (1)},

2行目 [ c ] = {( ∞ ), ( c ,0), ( c ,1) : c = 0, 1},

[0] = {( ∞ ), (0,0), (0,1) }

[1] = {( ∞ ), (1,0), (1,1) }

4本の線[ r , c ]:( r )と点( i , ir + c )、ここでi =0,1: r , c =0,1。

[0,0]: {(0), (0,0), (1,0) }

[0,1]: {(0), (0,1), (1,1) }

[1,0]: {(1), (0,0), (1,1) }

[1,1]: {(1), (0,1), (1,0) }

退化平面は、射影平面の定義における 3 番目の条件を満たしません。退化平面は、それ自体では興味深いほど構造的に複雑ではありませんが、一般的な議論では特別なケースとして時々発生します。(Albert & Sandler 1968) によると、退化平面には 7 種類あります。これらは次のとおりです。

1. 空集合。
2. 線のない単一の点。
3. 点のない単一の線。
4. 単一の点、線の集合、その点はすべての線と交差する。
5. 単一の線、点の集合、点はすべてその線と接している。
6. 直線mと交差する点P 、 Pと交差する直線の任意の集合、およびmと交差する点の任意の集合。
7. 直線mと交わらない点P 、すべてPと交わる任意の (空でもよい) 直線の集合、およびこれらの直線とmとの交点すべて。

これら 7 つのケースは独立しておらず、4 番目と 5 番目は 6 番目のケースの特殊ケースと見なすことができます。一方、2 番目と 3 番目はそれぞれ 4 番目と 5 番目のケースの特殊ケースです。追加の線がない 7 番目の平面の特殊ケースは、8 番目の平面と見なすことができます。したがって、すべてのケースは、次のように 2 つの退化した平面のファミリーに分類できます (この表現は有限の退化した平面用ですが、自然な方法で無限の退化した平面に拡張できます)。

1) 任意の数の点P ₁ , ..., P _nと線分L ₁ , ..., L _mについて、

L ₁ = { P ₁、P ₂、 ...、P _n }

L ₂ = { P ₁ }

L ₃ = { P ₁ }

...

Lm = { P1 _}​

2) 任意の数の点P ₁、...、P _nと線L ₁、...、L _n（点の数は線の数と同じ）

L ₁ = { P ₂、P ₃、 ...、P _n }

L ₂ = { P ₁、P ₂ }

L ₃ = { P ₁、P ₃ }

...

Ln = { P1 , Pn _}​​

射影平面の共線写像は平面からそれ自身への全単射写像であり、点を点に、線を線に写像し、入射を保存する。つまり、 σが全単射で点Pが線分m上にある場合、点P ^σはm ^σ上にある。^[9]

σ が射影平面の共線化である場合、 P = P σ^{となる点 P}はσの不動点と呼ばれ、 m = m ^σとなる直線m はσの 不動線と呼ばれます。 不動線上の点は不動点である必要はなく、σによるそれらの像は、この直線上にあるように制約されるだけです。 共線化の不動点と不動線の集合は、閉じた構成を形成します。これは、射影平面の定義の最初の 2 つの条件を満たしますが、必ずしも 3 番目の条件を満たすとは限りません。 したがって、任意の共線化の不動点と不動線の構造は、それ自体で射影平面を形成するか、または退化した平面を形成します。 固定構造が平面を形成する共線化は、平面共線化と呼ばれます。

PG(2,  K ) のホモグラフィ(または射影変換) は、基になるベクトル空間の線型変換であるこのタイプの射影平面の共線化です。同次座標を使用すると、これらはK上の可逆な3 × 3行列で表すことができ、 y = M x ^TによってPG(2,  K )の点に作用します。ここで、xとy はK ³ (ベクトル)の点であり、 MはK上の可逆な3 × 3行列です。^{[10] 2 つの行列は、一方が他方の定数倍である場合、同じ射影変換を表します。したがって、射影変換の群は、}一般線型群を射影線型群と呼ばれるスカラー行列で割った商です。

PG(2, K )の別の種類の共線化は、  Kの任意の自己同型によって誘導され、これらは自己同型共線化と呼ばれます。αがKの自己同型である場合、( x ₀、x ₁、 x ₂ ) → ( x ₀ ^α、x ₁ ^α、x ₂ ^α )で与えられる共線化は自己同型共線化です。射影幾何学の基本定理によれば、 PG(2, K )のすべての共線化は ホモグラフィと自己同型共線化の合成です。 自己同型共線化は平面共線化です。

射影平面は、点の集合P、直線の集合L、およびどの点がどの直線上にあるかを決定する接続関係 I の観点から、接続構造として公理的に定義されます。P と L は単なる集合であるため、それらの役割を交換して平面の双対構造を定義することができます。

「点」と「線」の役割を入れ替えることで

C = ( P、L、I )

二重構造が得られる

C * = ( L , P , I *)、

ここで、I * はIの逆関係です。

射影平面において、点、線、およびそれらの間の結線を含むステートメントは、別のステートメントから「点」と「線」という単語を入れ替え、必要な文法上の調整を行うことで得られ、最初のステートメントの平面双対ステートメントと呼ばれます。「2 つの点は、一意の線上にあります。」という平面双対ステートメントは、「2 つの線は、一意の点で交わります。」です。ステートメントの平面双対を形成することを、ステートメントの 双対化と呼びます。

射影平面Cでステートメントが真である場合、そのステートメントの平面双対は双対平面C * で真でなければなりません。これは、「 C内」の証明の各ステートメントを双対化すると、「 C *内」の証明のステートメントが得られることからわかります。

射影平面Cには4 本の直線が存在し、そのうち 3 本は交わらないことが示されます。この定理と射影平面の定義の最初の 2 つの公理を双対化すると、平面の双対構造C * も射影平面であることが示され、Cの双対平面と呼ばれます。

CとC * が同型である場合、Cは自己双対と呼ばれます。任意の分割環Kの射影平面 PG(2,  K ) は自己双対です。ただし、ホール平面などの自己双対ではない非デザルグ平面と、ヒューズ平面などの自己双対である非デザルグ平面があります。

平面双対性の原理によれば、自己双対射影平面C内の任意の定理を双対化すると、 C内で有効な別の定理が生成されます。

双対性は、射影平面C = ( P , L , I )からその双対平面C * = ( L , P , I *) (上記参照) への、入射を保存する写像である。つまり、双対性σ は、点Qが直線m ( Q I mと表記) 上にある場合、 Q ^σ I * m ^σ ≡ m ^σ I Q ^σとなるように、点を直線に、直線を点に写像する ( P ^σ = LかつL σ ⁼ P ) 。同型である双対性は相関と呼ばれる。^[11]相関が存在する場合、射影平面C は自己双対である。

射影平面がPG(2,  K )型でKが分割環である特殊な場合、双対性は相互性と呼ばれる。^[12]これらの平面は常に自己双対である。射影幾何学の基本定理によれば、相互性はKの自己同型関数とホモグラフィの合成である。含まれる自己同型が恒等写像である場合、相互性は射影相関と呼ばれる。

2次の相関（反転）は極性と呼ばれます。相関φが極性でない場合、φ ^{2 は}非自明な共線化です。

射影平面は、点（無限または有限）の数と同じ数の直線を持つことが示されます。したがって、すべての有限射影平面に対して、平面 が

N ² + N + 1 点、

N ² + N + 1 行、

各線にN + 1点あり、

各点を通るN + 1 本の線。

数N は射影平面の 位数と呼ばれます。

2次の射影平面はファノ平面と呼ばれます。有限幾何学の記事も参照してください。

有限体によるベクトル空間構成を用いると、各素数冪p ^{nに対して、位数}N = p ⁿの射影平面が存在する。実際、既知のすべての有限射影平面において、位数Nは素数冪である。^[要出典]

他の位数の有限射影平面の存在は未解決の問題である。位数に関して知られている唯一の一般的な制約は、位数N が1 または 2 mod 4 と一致する場合、2 つの平方数の和でなければならないというBruck-Ryser-Chowla の定理である。これにより、 N = 6 は除外される。次のケースN = 10は、大規模なコンピュータ計算によって除外されている。^{[13]それ以上は何もわかっていない。特に、位数}N = 12 の有限射影平面が存在するかどうかという問題は未解決である。^[要出典]

もう一つの長年の未解決問題は、有限体平面ではない素数位数の有限射影平面が存在するかどうか（つまり、素数位数の非デザルグ射影平面が存在するかどうか）である。^[要出典]

N次射影平面はシュタイナーS(2, N + 1, N ² + N + 1)系です (シュタイナー系を参照)。逆に、この形式 ( λ = 2 )のすべてのシュタイナー系が射影平面であることを証明できます。

互いに直交するN次のラテン方陣の数は最大でN − 1 個です。 N − 1 個が存在するのは、 N次の射影平面が存在する場合のみです。

すべての射影平面の分類はまだ完全には程遠いですが、小さな順序については結果がわかっています。

• 2 : すべてPG(2, 2)と同型
• 3 : すべてPG(2, 3)と同型
• 4 : すべてPG(2, 4)と同型
• 5 : すべてPG(2, 5)と同型
• 6 : 射影平面の順序としては不可能であり、オイラーの36人の将校問題には解がないことを示したタリーによって証明された。しかし、これらの問題の関係は1938年にボースが証明するまで知られていなかった。^[14]
• 7 : すべてPG(2, 7)と同型
• 8 : すべてPG(2, 8)と同型
• 9 : PG(2, 9)、およびさらに3つの異なる(非同型)非デザルグ平面:ヒューズ平面、ホール平面、およびこのホール平面の双対。これらはすべて(Room & Kirkpatrick 1971)で説明されています。
• 10: 射影平面の順序としては不可能であり、大量のコンピュータ計算によって証明された。^[13]
• 11 : 少なくともPG(2, 11)、その他は不明だが可能性あり。
• 12 : 射影平面の順序としては不可能であると推測される。^[要出典]

射影平面は、 2次元の射影幾何学として考えることができる。 ^[15]高次元射影幾何学は、射影平面の定義に類似した方法で、接続関係の観点から定義することができる。これらは射影平面よりも「穏やか」であることが判明している。なぜなら、自由度が増すことにより、高次元幾何学においてデザルグの定理を幾何学的に証明できるからである。これは、幾何学に関連付けられた座標「環」が分割環（歪体）Kでなければならず、射影幾何学がベクトル空間 K ^{d +1}から構築されるもの、つまり PG( d ,  K ) と同型であることを意味する。前述の構築と同様に、d次元射影空間 PG( d ,  K ) の点は、 K ^{d +1}の原点を通る直線であり、 PG( d ,  K )の直線は​​、K ^{d +1}の原点を通る平面に対応する。実際、 PG( d ,  K )内の各i次元オブジェクト（i < d ）は、 Kd ⁺¹の（i +1）次元（代数的）ベクトル部分空間です（「原点を通る」）。射影空間は、グラスマン空間に一般化さ^れます。

デザルグの定理が 2 次元を超える射影空間で成立する場合、その空間に含まれるすべての平面でも成立するはずであることが示される。デザルグの定理が成立しない射影平面 (非デザルグ平面) が存在するため、これらの平面は高次元の射影空間に埋め込むことができない。ベクトル空間構成 PG(2,  K ) からの平面のみが高次元の射影空間に出現できる。数学の分野によっては、射影平面の意味をこのタイプの射影平面のみに制限している。そうしないと、射影空間に関する一般的な記述で、幾何学的次元が 2 の場合の例外について常に言及しなければならなくなるためである。^[16]

• ブロック設計– 有限射影平面の一般化。
• 組み合わせ設計
• 差分セット
• 発生構造
• 一般化多角形
• 射影幾何学
• 非デザルグ平面
• 滑らかな射影平面
• 有限射影平面における横線
• 切断された射影平面- 1 つの頂点が削除された射影平面。
• 有限射影平面の VC 次元

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