互いに直交するラテン方陣

組合せ論では、同じサイズ (順序)の 2 つのラテン方陣は、重ね合わせたときに位置の順序付けられたペアのエントリがすべて異なる場合、直交していると言われます。すべて同じ順序で、すべてのペアが直交しているラテン方陣の集合は、相互に直交するラテン方陣の集合と呼ばれます。組合せ論におけるこの直交性の概念は、統計におけるブロッキングの概念と深く関連しており、ブロッキングは、独立変数が隠れた交絡相関関係なしに真に独立していることを保証します。したがって、「直交」は「独立」と同義であり、1 つの変数の値がわかっても、別の変数の可能性のある値に関する詳細情報は得られません。

直交するラテン方陣のペアを表す古い用語は、オイラーによって導入された「グレコ・ラテン方陣」です。

ギリシャ・ラテン方陣

グレコ・ラテン方陣またはオイラー方陣、または2 つの集合 $S$ と $T$ (同じ場合もあります)上の $n$ 次直交ラテン方陣のペアは、それぞれ $n個のシンボルで構成され、セルの$ $n$ $\times$ $n$ 配置であり、各セルには順序付きペア $($ $s$ $、$ $t$ $)$ が含まれます。ここで、 $sは$ $S$ にあり、 $tは$ $T$ にあり、すべての行とすべての列には $S$ の各要素と $T$ の各要素が 1 回ずつ含まれ、2 つのセルに同じ順序付きペアが含まれることはありません。

グレコ・ラテン方陣（直交するラテン方陣のペア）
注文3
注文4
注文5

$s$ 座標（ラテン文字と考えることができる）と $t$ 座標（ギリシャ文字）の配置はそれぞれラテン方陣を形成します。したがって、ギリシャ・ラテン方陣は 2 つの直交ラテン方陣に分解できます。ここでの直交性とは、直積 $S$ $\times$ $T$ のすべてのペア $(s 、 t)$ が 1 回だけ出現することを意味します。

直交ラテン方陣はレオンハルト・オイラーによって詳細に研究され、彼は2つの集合を $S = {A 、 B 、 C 、...$ }（ラテンアルファベットの最初の $n$ 個の大文字）と $T$ $= { α 、 β 、 γ 、... }$ （ギリシャアルファベットの最初の $n$ 個の小文字）とみなしました。そのため、この方陣はギリシャ・ラテン方陣と呼ばれています。

存在

グレコ・ラテン方陣を一対の直交ラテン方陣として見ると、各ラテン方陣は直交メイトを持つと言われます。任意のラテン方陣において、各行および各列に 1 つずつ含まれ、そのエントリがすべて異なる位置の選択は、その方陣の横断と呼ばれます。 ^[1]グレコ・ラテン方陣内の 1 つの記号について考えます。この記号を含む位置はすべて異なる行と列にあり、さらにこれらの位置にあるもう 1 つの記号はすべて異なっている必要があります。したがって、一対のラテン方陣として見ると、最初の方陣の 1 つの記号を含む位置は、2 番目の方陣の横断に対応します (逆も同様)。

n次のラテン方陣が直交対角線を持つのは、それがn個の互いに素な横断線を持つ場合のみである。^[2]

奇数次のグループのケーリー表（境界なし）は、直交する対角を持つラテン方陣を形成する。^[2]

したがって、これらの順序のグループが存在するため、すべての奇数順序に対してグレコ-ラテン方陣が存在します。このようなグレコ-ラテン方陣はグループベースであると言われています。

オイラーは4の倍数のグレコ・ラテン方陣を構成することができ^[2]、次の結果を認識していたようである。

順序が2の奇数倍（つまり、ある正の整数 $kに対して$ $4k$ + 2に等しい）の場合、グループベースのグレコ・ラテン方陣は存在できない。^[3]

歴史

直交ラテン方陣は、この主題を数学的に扱った独自の手法で知られていますが、オイラーより古いものです。トランプを使った古いパズルの形で、^[4] 4 x 4 セットの構築は、1725 年にジャック・オザナムによって公開されました。 ^[5]問題は、標準的なトランプのデッキからエース、キング、クイーン、ジャックをすべて取り出し、各行と各列に 4 つのスートすべてと各額面のカードが 1 つずつ含まれるように、4 x 4 のグリッドに配置するというものでした。この問題には複数の解法があります。

この問題の一般的なバリエーションは、行と列の制約に加えて、各対角線に 4 つの面の値と 4 つのスートがすべて含まれるように 16 枚のカードを配置するというものでした。

1959年11月のMathematical Gamesコラムでこの問題の変種を取り上げているマーティン・ガードナーによると、^[6]ラウズ・ボールは異なる解の数が72であると誤って述べた。この間違いは、キャスリーン・オレレンショウが正しい値144を見つけるまで何年も続いた。144の解のそれぞれには8つの反射と回転があり、合計1152の解がある。144×8の解は、次の2つの同値クラスに分類できる。

2 つの解のそれぞれについて、4 つのスートと 4 つの額面を個別に並べ替えることで、24×24 = 576 の解を導き出すことができます。スートと額面が異なるため、並べ替えを行っても 2 つの解は互いに変換されません。

36人の警官問題

上記のカード問題に似た問題が1700年代後半にサンクトペテルブルクで出回っており、伝説によると、当時エカチェリーナ2世が宮廷にいたオイラーにその解法を依頼したという。 ^{[7]この問題は「}三十六将校問題」として知られており、^[8]オイラーは次のように紹介した。^[9]^[10]

非常に興味深い疑問が、長い間多くの人々の創意工夫を駆使してきたが、私は次の研究に携わることとなった。この研究は、新しい分析分野、特に組み合わせの研究を切り開くものと思われる。この疑問は、6 つの異なる連隊から 36 人の将校を正方形に並べ、各列 (水平と垂直の両方) に階級と連隊の異なる将校が 6 人ずついるように配置することに関するものである。
— レオンハルト・オイラー

1959年11月のサイエンティフィック・アメリカン第10次グレコ・ラテン方陣の再描画 - SVGファイルでは、文字の上にマウスを移動すると背景が非表示になり、その逆も同様です。

オイラーはこの問題を解くことができなかったが、この研究で、 $n$ が奇数または4の倍数であるグレコ・ラテン方陣を構成する方法を示した。2次の方陣が存在せず、6次の方陣を構成できないことに気づいたオイラーは、 $n$ $\equiv 2 ($ $mod$ $4 )の$ 奇偶数に対しては6次の方陣が存在しないと予想した。6次の方陣が存在しないことは、1901年にガストン・タリーによって徹底的な証明によって確認された。^[11]^{[12]しかし、オイラーの予想は1950年代後半まで解決されず、この問題は}組合せ論における重要な研究につながった。^[13]

1959年、RCボーズとSSシュリカンデは数学的洞察を用いて、22次の反例（オイラースポイラーと呼ばれる）をいくつか構築した。 ^[14] その後、ETパーカーは、レミントンランドのUNIVAC部門で働いていたときに、 UNIVAC 1206軍用コンピュータで1時間のコンピュータ検索を使用して、10次の反例を発見した（これはデジタルコンピュータで解決された最も初期の組合せ論の問題の1つであった）。

1959年4月、パーカー、ボーズ、シュリカンデは、オイラーの予想が $n \geq 7のすべてに対して誤りであることを示す論文を発表しました。$ ^[15]したがって、グレコ・ラテン方陣は、 $n$ $= 2、6を$ 除く $n > 1$ のすべての順序で存在します。 1959年11月号のScientific Americanで、マーティン・ガードナーがこの結果を発表しました。^[6]表紙は、オイラーの予想の10×10反証です。

36人の絡み合った警官問題

相互に直交するラテン方陣の量子領域への拡張は、2017年から研究されている。^[17] これらの設計では、シンボルの一意性の代わりに、配列の要素は、行と列で互いに直交する必要がある量子状態です。 2021年、インドとポーランドの物理学者チーム（Rather、Burchardt、Bruzda、Rajchel-Mieldzioć、Lakshminarayan、およびŻyczkowski）は、サイズ6の相互に直交する量子ラテン方陣の例を示す量子状態の配列を発見しました。これは、36人の役員が絡み合った配置と同等です。^[16]^[18]^[19] この設定は、36人のオイラーの役員問題の一般化を解決するとともに、新しい量子エラー検出コードを提供し、6レベルシステムを、1つのエラーの発生を証明する3つの6レベルシステムにエンコードすることを可能にします。

相互直交ラテン方陣の例 (MOLS)

同じ順序のラテン方陣の集合で、各正方形のペアが直交する（つまり、グレコ・ラテン方陣を形成する）ものは、相互に直交するラテン方陣の集合（またはペアワイズ直交ラテン方陣）と呼ばれ、順序が明示されている場合は通常、MOLSまたはMOLS( n )と略されます。

例えば、MOLS(4)の集合は次のように与えられる: ^[20]

{\begin{matrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\4&3&2&1\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\\2&1&4&3\\3&4&1&2\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\\4&3&2&1\\2&1&4&3\end{matrix}}.

そしてMOLS(5)のセット: ^[21]

{\begin{matrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&1\\3&4&5&1&2\\4&5&1&2&3\\5&1&2&3&4\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1&2&3&4&5\\3&4&5&1&2\\5&1&2&3&4\\2&3&4&5&1\\4&5&1&2&3\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1&2&3&4&5\\5&1&2&3&4\\4&5&1&2&3\\3&4&5&1&2&3\\2&3&4&5&1\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1&2&3&4&5\\4&5&1&2&3\\2&3&4&5&1\\5&1&2&3&4\\3&4&5&1&2\end{matrix}}.

MOLSを、例えばグレコ・ラテン方陣に似た「複合」行列形式で表現することは可能ですが、

上記のMOLS(5)の例では、MOLSを直交表としてコンパクトに表現するのがより一般的です（下記参照）。^[22]

これまで示したMOLSの例では、各マスに同じアルファベット（記号セット）が使われてきましたが、グレコ・ラテン語のマスが示すように、これは必ずしも必要ではありません。実際、MOLSのセットの各マスにはまったく異なる記号セットが使用されることもあります。たとえば、

これは、上記の複合MOLS(5)の例の表現であり、4つのMOLSはそれぞれ次のアルファベットを持ちます。

したがって、上記の表では、完全実施要因設計で必要な 625 (= 5 ⁴ ) 回の観測ではなく、わずか 25 回の観測で、4 つの異なる次元のそれぞれで 5つの値をテストできます。 5 つの単語はアルファベットの 26 文字すべてをカバーしているため、表ではアルファベットの各文字を 5 つの異なる書体と色の組み合わせで調べることができます。

互いに直交するラテン方陣の数

MOLS集合の相互直交性は、

すべての正方形の行を同時に並べ替えると、
すべての正方形の列を同時に並べ替え、
任意の正方形内のエントリを独立して並べ替えます。

これらの操作を使用すると、任意のMOLSセットを標準形式にすることができます。これは、すべての正方形の最初の行が同一であり、通常は自然な順序で配置され、1つの正方形の最初の列もこの順序になっていることを意味します。^[23]このセクションの冒頭にあるMOLS(4)とMOLS(5)の例は標準形式になっています。

MOLS( $n$ ) の集合を標準形式で表し、各正方形の 2 行目と 1 列目の要素を調べると、 $n$ − 1個を超える正方形は存在できないことがわかります。^[24] $n$ − 1 個の MOLS( $n$ )の集合は、 MOLS の完全集合と呼ばれます。完全集合は、 $n が$ 素数または素数の累乗である場合に存在することが知られています( 下記の有限体の構築を参照 )。ただし、与えられた順序 $n$ に対して存在できる MOLS の数は、一般の $n$ については不明であり、組合せ論の研究分野です。

射影平面

$n$ − 1個のMOLS( $n$ )の集合は $n$ 次の有限アフィン平面と同値である（下記のネットを参照）。^{[10]すべての有限アフィン平面は同じ次数の}有限射影平面に一意に拡張可能であるため、この同値性はこれらの射影平面の存在によっても表現できる。^[25]

前述のように、 $nが素数または素数べき乗であればMOLS($ $n$ )の完全集合が存在するので、そのような順序の射影平面が存在する。これらとは異なる順序の有限射影平面、つまりそのような順序のMOLSの完全集合は存在しないことが知られている。^[10]

有限射影平面が存在しないという唯一の一般的な結果は、ブルック・ライザー定理であり、これは、 $n$ 次数の射影平面が存在し、 $n$ ≡ 1 (mod 4)または $n$ ≡ 2 (mod 4) である場合、 $n は$ 2 つの (整数) 平方の和でなければならないというものである。^[26]これは、例えば、6 次および 14 次数の射影平面を排除するが、 $n が$ 条件を満たす場合に平面が存在することを保証するものではない。特に、 $n$ = 10 は条件を満たすが、非常に長いコンピュータ検索によって示されたように、10 次数の射影平面は存在しない。^[27]これは、逆に、10 次数の MOLS が 9 つ存在しないことを意味する。

他に存在する結果は知られていない。2020年現在、^{[アップデート]}MOLSの完全なセットの存在が確定していない最小の順序は12である。^[10]

マクニーシュの定理

$MOLS( n$ )の最小値は $n$ = 2または6の場合には1となるが、それ以外の $n$ では2であることが知られている。しかし、さらに言えることは、^[28]

マクニーシュの定理：整数 $n$ を異なる素数の累乗に因数分解すると、 $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ $p_{1},p_{2},\cdots ,p_{r}$

MOLS( n

)の最小数

\geq {\underset {i}{\operatorname {min} }}\{p_{i}^{\alpha _{i}}-1\}.

マクニーシュの定理は、あまり良い下限を与えません。例えば、 $n$ ≡ 2 (mod 4) の場合、つまり素因数分解に 2 が 1 つある場合、定理は 1 という下限を与えますが、 $n$ > 6 の場合はこの下限を超えます。一方、 $n が$ 素数の累乗である場合は、正しい値を与えます。

一般的な合成数の場合、MOLS の数は不明です。n = 2、3、4... で始まる最初のいくつかの値は、 $1、2、3、4、1、6、7、8$ 、... です ( OEISのシーケンスA001438 )。

$MOLS( n$ )の正確な数が分からない最小のケースは $n$ = 10である。グレコ・ラテン方陣の構築から少なくとも2つは存在しなければならず、10次の射影平面が存在しないことから9つ未満である。しかし、多くの研究者がそのような集合を発見しようと試みたにもかかわらず、3つのMOLS(10)の集合はこれまで見つかっていない。^[29]

$n$ が十分に大きい場合、MOLS の数はより大きくなるため、任意の $kに対して、MOLS の数が$ $k$ となるような $n$ の数は有限個しかありません。^{[30]さらに、} $n$ > 90の場合、最小値は 6 です。 ${\sqrt[{14.8}]{n}}$

有限体の構築

$q$ が素数または素数べきであるときはいつでも、MOLS( $q$ )の完全なセットが存在します。これは、 $q が$ 素数または素数べきである場合にのみ存在する有限体GF ( $q ) に基づく構成に従います。$ ^[31]GF ( $q$ )の乗法群は巡回群であるため、生成元 λ を持ちます。これは、体のすべての非ゼロ元が λ の異なるべき乗として表現できることを意味します。GF ( $q$ )の $q$ 元に次のように名前を付けます。

α ₀ = 0、α ₁ = 1、α ₂ = λ、α ₃ = λ ²、...、α _{$q$ -1} = λ ^{$q$ -2}。

ここで、λ ^{$q$ -1} = 1 であり、α に関する積の規則は α _$i$ α _$j$ = α _$t$であり、 $t$ = $i$ + $j$ -1 (mod $q$ -1) です。ラテン方陣は次のように構築されます。ラテン方陣 L _$r$ ( $r$ ≠ 0)の ( $i, j$ ) 番目の要素はL _$r$ ( $i,j$ ) = α _$i$ + α _$r$ α _$j$であり、すべての演算はGF ( $q ) 内で発生します。体が素体 ($ $q$ = $p$ が素数)である場合、体の元は通常の方法、つまり $p を$ 法とする整数として表されるため、上記の命名規則は使用せず、構築規則を L _$r$ ( $i,j$ ) = $i$ + $rj$ に簡略化できます。ここで $r$ ≠ 0 であり、 $i$ 、 $j$ 、 $rは$ GF ( $p$ )の元であり、すべての演算はGF ( $p$ )内で発生します。上記のMOLS(4)とMOLS(5)の例は、アルファベットの変更はあるものの、この構造から生まれました。

この構成からMOLSの完全集合がすべて生じるわけではない。この体の構成から得られるMOLSの完全集合に関連付けられた射影平面は、特殊なタイプであるデザルグ射影平面である。非デザルグ射影平面が存在し、それに対応するMOLSの完全集合は有限体から得ることができない。^[32]

直交表

強度2、インデックス1の直交配列OA ( $k,n )は、$ $n 2 \times k$ 配列 $A$ ( $k\geq2$ かつn≥1 $、整数)で、$ $A$ (強度)の任意の2列内で、すべての順序付けられたシンボルのペアが $A$ (インデックス)のちょうど1行に現れるようなサイズ $n$ の集合からのエントリを持つ。^[33]

OA( $s$ +2, $n )は$ $sMOLS$ ( $n$ )と同等である。^[33] 例えば、上で示したMOLS(4)の例をここでも繰り返すと、

{\begin{行列}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\4&3&2&1\\&L_{1}&&\end{行列}}\qquad \qquad {\begin{行列}1&2&3&4\\4&3&2&1\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\&L_{2}&&\end{行列}}\qquad \qquad {\begin{行列}1&2&3&4\\3&4&1&2\\4&3&2&1\\2&1&4&3\\&L_{3}&&\end{行列}}

OA(5,4)を形成するために使用できる。

ここで、 rとc のラベルが付いた列のエントリは、正方形内の位置の行と列を示し、固定されたrとc の値の行の残りの部分には、各ラテン方陣のその位置のエントリが記入されます。このプロセスは可逆です。つまり、 $s$ ≥ 3 のOA( $s$ , $n$ ) が与えられた場合、任意の 2 つの列を選択してrとc の役割を果たさせ、残りの列のエントリでラテン方陣を埋めます。

より一般的な直交配列は、相互に直交するラテンキューブなど、MOLS の概念の一般化を表します。

ネット

(幾何学的)( $k,n$ )-ネットは、点と呼ばれる $n2$ ^個の要素と、線またはブロックと呼ばれる $kn$ 個の部分集合の集合であり、それぞれが $n個のサイズを$ 持ち、2つの異なる線が最大1つの点で交差するという性質を持つ。さらに、線は $k$ 個の平行なクラス（2本の線が交わらない）に分割でき、各クラスには $n個の$ 線が含まれる。^[34]

( $n$ + 1, $n )-ネットは、次数$ $n$ のアフィン平面です。

$k個$ のMOLS( $n$ )の集合は( $k$ + 2, $n$ )-ネットと同等である。^[10]

$k$ MOLS( $n$ )から( $k$ + 2, $n$ )-ネットを構築するには、MOLS を直交表 OA( $k$ + 2, $n ) として表します (上記参照)。直交表の各行の$ $r$ および $c$ とラベル付けされた列のエントリの順序付けられたペアは、ネットの $n$ ²点の座標と見なされます。他の各列 (つまり、ラテン方陣) は、平行クラスの線を定義するために使用されます。L _iとラベル付けされた列によって決定される $n 本の線は、$ l _ijで示されます。l _ij上の点は、L _i列のエントリが $j$ である行に対応する座標を持つ点になります。r 列と $c$ 列に対応する 2 つの追加の平行クラスがあります。線 $r$ $j$ と $c$ _{jは、それぞれ最初の座標が}_j、または 2 番目の座標が $j$ である点で構成されます $。$ この構築は可逆です。^[35]

たとえば、上のセクションの OA(5,4) は、(5,4) ネット (次数 4 のアフィン平面) の構築に使用できます。各線上の点は次のように表されます (以下の各行は平行線クラスです)。

横断デザイン

サイズ $n$ 、インデックスλの $k個の$ グループを持つ横断的デザインはT[ $k$ ,λ; $n$ ]と表記され、( $X,G,B$ )の3つ組で表される。^[36]

$X は$ $kn$ 多様体の集合です。
$G = {G 1, G 2, ..., G k$ $} は、 X$ の分割を形成する $kn$ 集合の族（群と呼ばれるが、代数的な意味ではそうではない）である。
$B は多様体の$ $k$ 集合（ブロックと呼ばれる）の族であり、 $B内の各$ $k$ 集合は各グループ $G$ $i と$ 正確に 1 つの多様体で交差し、異なるグループに属する多様体の任意のペアは $B$ 内の正確に λ 個のブロックで一緒に出現します。

T[ $k$ ,1; $n ]計画の存在は$ $k$ -2MOLS( $n$ )の存在と同等である。^[37]

横断的デザインT[ $k$ ,1; $n$ ]は、( $k,n )ネットの$ 双対入射構造である。つまり、 $nk$ 個の点と $n2個$ ^のブロックを持つ。各点は $n$ 個のブロック内にあり、各ブロックには $k$ 個の点が含まれる。点はサイズ $nの$ $k$ 個の同値類（グループ）に分類され、同じグループ内の2つの点はブロックに含まれず、異なるグループ内の2つの点は正確に1つのブロックに属する。^[38]

たとえば、前のセクションの (5,4) ネットを使用して、T[5,1;4] 横断設計を構築できます。ネットのポイント ( $i, j ) に関連付けられたブロックは、$ $b$ _ijで示されます。設計のポイントは、次のスキームから取得されます: $r$ _i ↔ $i$ 、 $c$ _j ↔ 5 $j$ 、および $l$ _ij ↔ 5 $i$ + $j$ 。したがって、設計のポイントは、整数 1、...、20 で示されます。設計のブロックは次のとおりです。

5 つの「グループ」は次のとおりです。

グラフ理論

$k$ 個のMOLS( $n$ )の集合は、完全な( $k$ + 2)部グラフKn _{, ..., nを} $k$ + 2の順序の完全な部分グラフに辺分割することと同等である。^[10]

アプリケーション

相互に直交するラテン方陣には、さまざまな用途があります。統計的実験計画、トーナメントスケジューリング、誤り訂正および検出コードの構築の出発点として使用されます。オイラーのギリシアラテン方陣への関心は、魔方陣を構築したいという願望から生まれました。フランスの作家ジョルジュペレックは、 1978 年の小説「人生: ユーザーズマニュアル」を10×10 のギリシアラテン方陣を中心に構成しました。

参照

注記

^ この方法は文献では、formule directrix (Euler)、directrix、1-permutation、diagonalなど、さまざまな名前で呼ばれています。(Dénes & Keedwell 1974、p. 29)
^ abc デーネス&キードウェル、1974年、p. 155
^ デネスとキードウェル、1974 年、p. 156
^ クヌース、ドナルド (2011)、コンピュータプログラミングの芸術、第4A巻：組み合わせアルゴリズムパート1、Addison-Wesley、pp. xv+883pp、ISBN 978-0-201-03804-0. 訂正: [1]
^ オザナム、ジャック (1725)、Recreation mathematiques et physiques、vol. IV、ベルリン、ニューヨーク、デ・グリュイテル、p. 434、ISBN 978-3-11-001955-1解は図35に示す。
^ ガードナー 1966、pp. 162-172より
^ ヴァン・リント&ウィルソン、1993年、p.251
^ PA MacMahon (1902)。「チェス盤上の魔方陣とその他の問題」英国王立協会紀要。XVII : 50–63。
^ オイラー: Recherches sur une nouvelle espece de quarres magiques、1779 年に書かれ、1782 年に出版
^ abcdef Colbourn & Dinitz 2007、p. 162
^ タリー、ガストン (1900)。「36人の士官の問題」。Compte Rendu de l'Association Française pour l'Avancement des Sciences。1 .協会事務局: 122–123。
^ タリー、ガストン (1901)。「36人の士官の問題」。Compte Rendu de l'Association Française pour l'Avancement des Sciences。２．協会事務局: 170–203。
^ ヴァン・リント&ウィルソン、1993年、p.267
^ Bose, RC; Shrikhande, SS (1959)、「4 t + 2次直交ラテン方陣が 2 つ存在しないというオイラーの予想の誤りについて」、米国科学アカデミー紀要、45 (5): 734–737、Bibcode :1959PNAS...45..734B、doi : 10.1073/pnas.45.5.734、PMC 222625、PMID 16590435
^ Bose, RC; Shrikhande, SS; Parker, ET (1960)、「相互に直交するラテン方陣の構築に関するさらなる結果とオイラーの予想の誤り」、Canadian Journal of Mathematics、12 : 189–203、doi : 10.4153/CJM-1960-016-5、MR 0122729
^ ab Rather, Suhail Ahmad; Burchardt, Adam; Bruzda, Wojciech; Rajchel-Mieldzioć, Grzegorz; Lakshminarayan, Arul; Życzkowski, Karol (2022)、「オイラーの36人のエンタングルドオフィサー：古典的に不可能な問題に対する量子解」、Physical Review Letters、128 (8): 080507、arXiv : 2104.05122、Bibcode :2022PhRvL.128h0507R、doi :10.1103/PhysRevLett.128.080507、PMID 35275648、S2CID 236950798
^ ゴイネチェ、ダルド;ライッシ、ザーラ。ディ・マルティーノ、サラ。 Życzkowski、Karol (2018)、「もつれと量子の組み合わせ設計」、Physical Review A、97 (6): 062326、arXiv : 1708.05946、Bibcode :2018PhRvA..97f2326G、doi :10.1103/PhysRevA.97.062326、S2CID 51532085
^ ガリスト、ダン（2022）「オイラーの243年前の「不可能」なパズルに量子解が見つかる」Quanta Magazine
^ パパス、ステファニー（2022）、「シュレーディンガーの猫の奇妙な物理学を使って、何世紀も前からの「不可能」な数学の問題が解明された」、LiveScience
^ コルボーンとディニッツ、2007、p. 160
^ コルボーンとディニッツ、2007、p. 163
^ マッケイ、メイナート、マーボルド、2007、p. 98
^ デネスとキードウェル、1974 年、p. 159
^ デネスとキードウェル、1974 年、p. 158
^ ここで、MOLS、アフィン平面、射影平面に対して使用される「順序」という用語は、設定ごとに異なる定義がされていますが、これらの定義は数値が同じになるように調整されています。
^ ブルック、RH; ライザー、HJ (1949)、「特定の有限射影平面の非存在」、カナダ数学ジャーナル、1 : 88–93、doi : 10.4153/cjm-1949-009-2、S2CID 123440808
^ ラム、CWH (1991)、「オーダー 10 の有限射影平面の探索」、アメリカ数学月刊誌、98 (4): 305–318、doi :10.2307/2323798、JSTOR 2323798
^ デネスとキードウェル、1974 年、p. 390
^ マッケイ、メイナート、マーボルド、2007、p. 102
^ Lenz, H.; Jungnickel, D.; Beth, Thomas (1999 年 11 月)。Thomas Beth 著『デザイン理論』。Cambridge Core。doi : 10.1017 / cbo9781139507660。ISBN 9780521772310. 2019年7月6日閲覧。
^ デネスとキードウェル、1974、p. 167
^ デネスとキードウェル、1974 年、p. 169
^ スティンソン 2004、p. 140より
^ コルボーンとディニッツ、2007、p. 161
^ デネスとキードウェル、1974 年、p. 270
^ ストリート＆ストリート 1987、133 ページ
^ ストリート＆ストリート 1987、135 ページ
^ ヴァン・リント&ウィルソン、1993年、p.257

参考文献

コルボーン、チャールズ J.、ディニッツ、ジェフリー H. (2007)、コンビナトリアルデザインハンドブック(第 2 版)、ボカラトン: チャップマン & ホール/CRC、ISBN 978-1-58488-506-1
デネス、J.; キードウェル、AD (1974)、「ラテン方陣とその応用」、ニューヨーク・ロンドン：アカデミック・プレス、p. 547、ISBN 0-12-209350-X、MR 0351850
ガードナー、マーティン（1966）、マーティン・ガードナーの新しい数学的転換、サイエンティフィック・アメリカン、ファイアサイド、ISBN 0-671-20913-2
McKay, Brendan D. ; Meynert, Alison; Myrvold, Wendy (2007)、「小さなラテン方陣、準群、ループ」(PDF)、Journal of Combinatorial Designs、15 (2): 98–119、doi :10.1002/jcd.20105、S2CID 82321|doi-broken-date=2020-10-03| zbl=1112.05018 | citeseerx=10.1.1.151.3043}}
ラガヴァラオ、ダマラジュ（1988）、実験計画法における構成と組み合わせ問題（1971年ワイリー版の訂正再版）、ニューヨーク：ドーバー
Raghavarao, Damaraju & Padgett, LV (2005)。ブロック設計: 分析、組み合わせ論、およびアプリケーション。World Scientific。
スティンソン、ダグラス R. (2004)、コンビナトリアルデザイン/構築と分析、Springer、ISBN 978-0-387-95487-5
ストリート、アン・ペンフォールド;ストリート、デボラ・J. (1987)、実験計画の組合せ論、オックスフォード大学出版局 [クラレンドン]、ISBN 0-19-853256-3
van Lint, JH; Wilson, RM (1993)、A Course in Combinatorics、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-42260-4

外部リンク

レオンハルト・オイラーの 36 将校パズル AMS 特集コラムアーカイブ (ラテン方陣の実践と理論 II)
ワイスタイン、エリック・W.「36士官問題」。マスワールド。
コンバージェンスにおけるオイラーのラテン方陣とオイラー方陣に関する研究
cut-the-knotで Graeco-Latin 方陣の構築を支援する Java ツール (ツール自体では構築しません)
四角以外なら何でも: 魔方陣から数独まで
歴史的事実と魔方陣との相関関係、1x1 から 10x10 のサイズのグレコラテン方陣を解くための Javascript アプリケーション、および関連するソースコード (Firefox ブラウザーおよび HTML5 モバイルデバイスの Javascript)
Grime, James (2020年5月8日). 「Euler Squares」（動画） . YouTube . Brady Haran . 2021年12月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年5月9日閲覧。

[1] この方法は文献では、formule directrix (Euler)、directrix、1-permutation、diagonalなど、さまざまな名前で呼ばれています。(Dénes & Keedwell 1974、p. 29)

[DK155-2] デーネス&キードウェル、1974年、p. 155

[3] デネスとキードウェル、1974 年、p. 156

[4] クヌース、ドナルド (2011)、コンピュータプログラミングの芸術、第4A巻：組み合わせアルゴリズムパート1、Addison-Wesley、pp. xv+883pp、ISBN 978-0-201-03804-0. 訂正: [1]

[5] オザナム、ジャック (1725)、Recreation mathematiques et physiques、vol. IV、ベルリン、ニューヨーク、デ・グリュイテル、p. 434、ISBN 978-3-11-001955-1解は図35に示す。

[Gardner-6] ガードナー 1966、pp. 162-172より

[7] ヴァン・リント&ウィルソン、1993年、p.251

[8] PA MacMahon (1902)。「チェス盤上の魔方陣とその他の問題」英国王立協会紀要。XVII : 50–63。

[9] オイラー: Recherches sur une nouvelle espece de quarres magiques、1779 年に書かれ、1782 年に出版

[CD162-10] Colbourn & Dinitz 2007、p. 162

[11] タリー、ガストン (1900)。「36人の士官の問題」。Compte Rendu de l'Association Française pour l'Avancement des Sciences。1 .協会事務局: 122–123。

[12] タリー、ガストン (1901)。「36人の士官の問題」。Compte Rendu de l'Association Française pour l'Avancement des Sciences。２．協会事務局: 170–203。

[13] ヴァン・リント&ウィルソン、1993年、p.267

[14] ^ Bose, RC; Shrikhande, SS (1959)、「4 t + 2次直交ラテン方陣が 2 つ存在しないというオイラーの予想の誤りについて」、米国科学アカデミー紀要、45 (5): 734–737、Bibcode :1959PNAS...45..734B、doi : 10.1073/pnas.45.5.734、PMC 222625、PMID 16590435

[15] Bose, RC; Shrikhande, SS; Parker, ET (1960)、「相互に直交するラテン方陣の構築に関するさらなる結果とオイラーの予想の誤り」、Canadian Journal of Mathematics、12 : 189–203、doi : 10.4153/CJM-1960-016-5、MR 0122729

[36_entangled_officers-16] Rather, Suhail Ahmad; Burchardt, Adam; Bruzda, Wojciech; Rajchel-Mieldzioć, Grzegorz; Lakshminarayan, Arul; Życzkowski, Karol (2022)、「オイラーの36人のエンタングルドオフィサー：古典的に不可能な問題に対する量子解」、Physical Review Letters、128 (8): 080507、arXiv : 2104.05122、Bibcode :2022PhRvL.128h0507R、doi :10.1103/PhysRevLett.128.080507、PMID 35275648、S2CID 236950798

[17] ゴイネチェ、ダルド;ライッシ、ザーラ。ディ・マルティーノ、サラ。 Życzkowski、Karol (2018)、「もつれと量子の組み合わせ設計」、Physical Review A、97 (6): 062326、arXiv : 1708.05946、Bibcode :2018PhRvA..97f2326G、doi :10.1103/PhysRevA.97.062326、S2CID 51532085

[18] ガリスト、ダン（2022）「オイラーの243年前の「不可能」なパズルに量子解が見つかる」Quanta Magazine

[19] パパス、ステファニー（2022）、「シュレーディンガーの猫の奇妙な物理学を使って、何世紀も前からの「不可能」な数学の問題が解明された」、LiveScience

[CD160-20] コルボーンとディニッツ、2007、p. 160

[21] コルボーンとディニッツ、2007、p. 163

[22] マッケイ、メイナート、マーボルド、2007、p. 98

[23] デネスとキードウェル、1974 年、p. 159

[24] デネスとキードウェル、1974 年、p. 158

[25] ここで、MOLS、アフィン平面、射影平面に対して使用される「順序」という用語は、設定ごとに異なる定義がされていますが、これらの定義は数値が同じになるように調整されています。

[26] ブルック、RH; ライザー、HJ (1949)、「特定の有限射影平面の非存在」、カナダ数学ジャーナル、1 : 88–93、doi : 10.4153/cjm-1949-009-2、S2CID 123440808

[27] ラム、CWH (1991)、「オーダー 10 の有限射影平面の探索」、アメリカ数学月刊誌、98 (4): 305–318、doi :10.2307/2323798、JSTOR 2323798

[28] デネスとキードウェル、1974 年、p. 390

[29] マッケイ、メイナート、マーボルド、2007、p. 102

[30] Lenz, H.; Jungnickel, D.; Beth, Thomas (1999 年 11 月)。Thomas Beth 著『デザイン理論』。Cambridge Core。doi : 10.1017 / cbo9781139507660。ISBN 9780521772310. 2019年7月6日閲覧。

[31] デネスとキードウェル、1974、p. 167

[32] デネスとキードウェル、1974 年、p. 169

[Stinson-33] スティンソン 2004、p. 140より

[34] コルボーンとディニッツ、2007、p. 161

[35] デネスとキードウェル、1974 年、p. 270

[36] ストリート＆ストリート 1987、133 ページ

[37] ストリート＆ストリート 1987、135 ページ

[38] ヴァン・リント&ウィルソン、1993年、p.257