代替代数

抽象代数において、代替代数とは、乗算が結合的である必要はなく、代替的であるだけでよい代数である。つまり、

• ${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• ${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$

代数内の すべてのxとyに対して。

すべての結合代数は明らかに代替的ですが、八元数などの厳密に非結合的な代数も代替的です。

交代代数は、交代する代数であるため、このように呼ばれる。交代代数は、次式で与えられる 三線型写像である。

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)zx(yz)}$。

定義により、多重線型写像は、その2つの引数が等しいときに必ず消滅する場合、交代写像である。代数の左と右の交代恒等式は^{[1]と同等である。}

${\displaystyle [x,x,y]=0}$

${\displaystyle [y,x,x]=0.}$

これら二つのアイデンティティを合わせると、

${\displaystyle [x,y,x]=[x,x,x]+[x,y,x]-[x,x+y,x+y]=[x,x+y,-y]= [x,x,-y]-[x,y,y]=0}$

とに対して成り立つ。これは柔軟な恒等式^[2]と同等である。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle (xy)x=x(yx).}$

したがって、代替代数の結合子は交代的です。逆に、結合子が交代である任意の代数は明らかに代替です。対称性により、次の 2 つを満たす任意の代数は、

• 左の代替アイデンティティ:${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• 正しい代替アイデンティティ:${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$
• 柔軟なアイデンティティ:${\displaystyle (xy)x=x(yx).}$

は代替的であり、したがって 3 つのアイデンティティすべてを満たします。

交代連想子は常に完全に歪対称である。つまり、

${\displaystyle [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]=\operatorname {sgn}(\sigma )[x_{1},x_{2},x_{3}]}$

任意の順列 に対して成り立ちます。逆は、基本体の標数が 2 でない限り成り立ちます。 ${\displaystyle \sigma}$

• すべての結合代数は選択的です。
• 八元数は非結合的な代替代数、つまり実数上の8次元のノルム除算代数を形成する。^[3]
• より一般的には、任意の八元数代数は代替的です。

• セデニオン、トリギンタデュオニオン、およびすべての高次のケーリー・ディクソン代数は交替性を失います。

アルティンの定理は、代替代数において、任意の2 つの要素によって生成される部分代数は結合的であることを述べています。^[4] 逆に、これが成り立つ代数は明らかに代替です。したがって、2 つの変数のみを含む式は、代替代数では括弧なしで明確に記述できます。アルティンの定理の一般化は、代替代数で 3 つの要素が結合している場合 (つまり)、それらの要素によって生成される部分代数は結合的であることを述べています。 ${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle [x,y,z]=0}$

アルティンの定理の系は、代替代数はべき結合的である、つまり単一の要素によって生成される部分代数は結合的であるということです。^[5] 逆は必ずしも成り立ちません。つまり、セデニオンはべき結合的ですが、代替的ではありません。

ムーファンのアイデンティティ

• ${\displaystyle a(x(ay))=(axa)y}$
• ${\displaystyle ((xa)y)a=x(aya)}$
• ${\displaystyle (ax)(ya)=a(xy)a}$

任意の代替代数でも成り立つ。^[2]

単位代替代数では、乗法逆元は存在する限り一意である。さらに、任意の可逆元と 、${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle y=x^{-1}(xy).}$

これは、すべてのそのようなおよびに対して結合子が消えると言うことと同等です。 ${\displaystyle [x^{-1},x,y]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

およびが可逆であれば、も逆 によって可逆です。したがって、可逆なすべての元の集合は乗法で閉じており、Moufang ループを形成します。代替環または代数内の単位のこのループは、結合環または代数内の単位のグループに類似しています。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}}$

クラインフェルドの定理は、任意の単純な非結合的交替環はその中心上の一般化八元数代数であることを述べている。^[6]交替環の構造理論は、ジェブラコフ、スリンコ、シェスタコフ、シルショフによる 著書「Rings That Are Nearly Associative」で紹介されている。 ^[7]

任意の交代分割環上の射影平面は、Moufang平面です。

2008年にGuy Roosによって示されたように、すべての合成代数は代替代数です。^[8]体K上の合成代数Aは、乗法準同型であるノルムnを持ちます。つまり、( A ,×)と( K ,×)を接続します。 ${\displaystyle n(a\times b)=n(a)\times n(b)}$

形式 ( _ : _ ) を定義します: A × A → Kにより、 aのトレースは( a :1)で与えられ、共役はa * = ( a :1)e – aで与えられます。ここで、e は 1 の基底要素です。一連の演習により、合成代数は常に代替代数であることが証明されます。^[9]${\displaystyle (a:b)=n(a+b)-n(a)-n(b).}$

• 体上の代数
• マルツェフ代数
• ゾーンリング

• シェーファー、リチャード D. (1995)。非結合代数入門。ニューヨーク: Dover Publications。ISBN 0-486-68813-5.ZBL0145.25601  。​
• ジェブラコフ、KA;午前、スリンコ。シェスタコフ、IP;シルショフ、AI (1982) [1978]。ほぼ連想的なリング。学術出版局。ISBN 0-12-779850-1. MR  0518614. Zbl  0487.17001.

• Zhevlakov, KA (2001) [1994]、「代替環と代数」、数学百科事典、EMS Press