文字の合計

数学において、指標和とは、ディリクレ指標χを法としてN をとった値の合計であり、 nの特定の範囲にわたってとられる。このような和は、多くの問題、たとえば平方剰余の分布、特にN を法とする最小の平方非剰余の上限を求めるという古典的な問題において基本となる。指標和は、ガウス和によって指数和と密接に結び付けられることが多い（これは有限メリン変換に似ている）。 ${\textstyle \sum \chi (n)}$

χ が法Nの非主ディリクレ指標であると仮定します。

範囲の合計

Nを法としてすべての剰余類の合計はゼロになります。これは、興味のあるケースが比較的短い範囲、つまり長さR < Nの合計であることを意味します。 $\Sigma$

M\leq n<M+R.

自明な推定値に対する根本的な改善は、ジョージ・ポリアとIM・ヴィノグラドフが1918年に独立に確立したポリア・ヴィノグラドフ不等式である^[1]^[2]。ビッグO記法では次のように述べられている。 $\Sigma =O(N)$

\Sigma =O({\sqrt {N}}\log N).

\Sigma =O({\sqrt {N}}\log \log N).

もう一つの重要な文字和のタイプは、

\sum \chi (F(n))

関数F（一般に多項式）に対して成り立つ。古典的な結果は、例えば二次関数の場合である。

F(n)=n(n+1)

χ はルジャンドル記号です。ここで、和は（−1として）評価することができ、その結果は円錐曲線の局所ゼータ関数に結びつきます。

より一般的には、ヤコビ記号のこのような和は、楕円曲線と超楕円曲線の局所ゼータ関数に関係する。これは、アンドレ・ヴェイユの結果により、 N = pの素数に対して、自明でない境界が存在することを意味する。

O({\sqrt {p}}).

表記法に暗黙的に含まれる定数は、問題の曲線の種数に対して線形であるため、（ルジャンドル記号または超楕円の場合）はFの次数として考えることができます。（ Nの他の値に対するより一般的な結果は、そこから得ることができます。）

ヴェイユの結果はバージェス限界にもつながり、^{[4]を適用して、}RがNの1/4より大きいべき乗に対して、ポリア・ヴィノグラドフを超える非自明な結果を与える。

係数N が素数であると仮定します。

{\begin{aligned}\Sigma &\ll p^{1/2}\log p,\\[6pt]\Sigma &\ll 2R^{1/2}p^{3/16}\log p,\\[6pt]\Sigma &\ll rR^{1-1/r}p^{(r+1)/4r^{2}}(\log p)^{1/2r}\end{aligned}}

任意の整数r≥3に対して。^[5]

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