分離可能な多項式

数学において、与えられた体K上の多項式 P ( X ) は、その根がK の代数閉包において異なる場合、つまり異なる根の数が多項式の次数に等しい場合に可分であるという。 ^[1]

この概念は、平方自由多項式と密接に関連しています。Kが完全体である場合、 2 つの概念は一致します。一般に、P ( X ) が分離可能であるのは、 K を含む任意の体上で平方自由である場合のみであり、これはP ( X ) がその形式導関数D P ( X ) と互いに素である場合のみ当てはまります。  

古い定義では、P ( X ) は、 K [ X ] のそれぞれの既約因子が現代の定義で分離可能である場合に分離可能とみなされました。^[2]この定義では、分離可能性は体Kに依存していました。たとえば、完全体上の任意の多項式は分離可能とみなされていました。この定義は、ガロア理論には便利な場合がありますが、現在は使用されていません。^[3]

分離多項式は分離拡大を定義するために使用されます。体拡大 K ⊂ Lは、 K上で代数的であるL内のすべてのαに対して、K上のαの 最小多項式が分離多項式である場合に限り、分離拡大です。

分離不可能な拡張（つまり、分離不可能な拡張）は、正の特性でのみ発生する可能性があります。

上記の基準から、Pが既約かつ分離不可能な場合、D  P ( X ) = 0という結論がすぐに導き出される。したがって、

P ( X ) = Q ( X ^p )

K上のある多項式Qに対して、素数p が特性値となります。

このヒントを使って、例を作成できます。

P ( X ) = X ^p − T

ここで、Kはp個の元を持つ有限体上の不定元Tの有理関数体です。ここで、P ( X ) は既約で分離不可能であることが直接証明できます。これは、分離不可能性が重要である理由の典型的な例です。幾何学的に言えば、P は有限体上の射影直線上の写像を表し、座標を p 乗します。このような写像は、有限体の代数幾何学の基本です。言い換えると、その設定にはガロア理論では「見えない」被覆があります。(より高度な議論については、 ラジカル射影を参照してください。)

Lが体の拡大である 場合

K ( T ^{1/ p} )、

言い換えれば、Pの分解体であれば、L / K は純粋に分離不可能な体拡大の例です。これはp次ですが、T ^{1/ p が}Pの唯一の根であるため、恒等式以外にK を固定する自己同型はありません。これは、ガロア理論がここで破綻しなければならないことを直接示しています。このような拡大が存在しない体は完全体と呼ばれます。有限体が完全であることは、それらの既知の構造から 事後的にわかります。

この例では、K上のLの体とそれ自身とのテンソル積には、非ゼロの冪零元があることがわかります。これは、不可分性のもう 1 つの現れです。つまり、体上のテンソル積演算は、体の積である環(つまり、可換な半単純環ではない環) を生成する必要はありません。

P ( x )が可分であり、その根が群（体Kの部分群）を形成する場合、P ( x )は加法多項式です。

分離可能な多項式はガロア理論で頻繁に登場します。

たとえば、P を整数 係数の既約多項式とし、p をPの主係数を割り切れない素数とします。Q をp元を持つ有限体上の多項式とし、これはPの係数をp を法 として簡約することによって得られます。Qが分離可能であれば（有限数以外のすべてのpの場合）、 Qの既約因子の次数はPのガロア群の何らかの順列のサイクルの長さになります。

別の例: Pが上記の通りである場合、群Gのレゾルベント R は、係数がPの係数の多項式である多項式であり、これはPのガロア群に関する情報を提供します。より正確には、Rが分離可能で有理根を持つ場合、 Pのガロア群はGに含まれます。たとえば、D がPの判別式である場合、 は交代群のレゾルベントです。このレゾルベントは、 Pが既約である場合は常に分離可能ですが (特性が 2 でないと仮定) 、ほとんどのレゾルベントは常に分離可能とは限りません。 ${\displaystyle X^{2}-D}$

• フロベニウス準同型