ねじれテンソル

微分幾何学におけるねじれテンソルは、ねじれのある接続とねじれのない接続の差である。これはスピン接続の研究でよく登場する。したがって、たとえば、ねじれがゼロになる条件に従う場合、スピン接続を伴うビエルバインによって、アインシュタインの重力の記述が得られる。超対称性の場合、ねじれがゼロになるという同じ制約によって、 11次元の超重力（の場の方程式）が得られる。^[1]つまり、ねじれテンソルは接続とともに理論の動的オブジェクトの1つになり、計量は二次的な派生的な役割に降格される。

接続におけるねじれの除去は、ねじれの吸収と呼ばれ、幾何学的構造の等価性を確立するためのカルタンの等価性法のステップの 1 つです。

計量幾何学では、ねじれテンソルは、クリストッフェル記号を持つ計量互換の アフィン接続と、同じ計量に対する 唯一のねじれのないレヴィ-チヴィタ接続との間の違いを表します。 ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}}$

ねじれテンソルはねじれテンソルに基づいて次のように定義される（符号は除く、下記参照）。 ${\displaystyle K_{kji}}$ ${\displaystyle {T^{l}}_{ij}={\Gamma ^{l}}_{ij}-{\Gamma ^{l}}_{ji}}$

${\displaystyle K_{ijk}={\tfrac {1}{2}}(T_{ijk}+T_{jk}-T_{kij})}$

ここで、指標はメトリックに応じて増減されます。

${\displaystyle T_{ijk}\equiv g_{il}{T^{l}}_{jk}}$。

ねじれテンソルの定義における和が自明でない理由は、計量互換性を強制する和和差によるものです。ねじれテンソルは最初の 2 つのインデックスで反対称ですが、ねじれテンソル自体は最後の 2 つのインデックスで反対称です。これは以下に示します。

${\displaystyle K_{ijk}={\tfrac {1}{2}}(T_{ijk}+T_{jk}-T_{kij})}$

${\displaystyle K_{(ij)k}={\tfrac {1}{2}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}(T_{ijk}+T_{jik})+{\ tfrac {1}{2}}(T_{jki}+T_{iq})-{\tfrac {1}{2}}(T_{kij}+T_{kji}){\bigr ]}}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}(T_{ijk}+T_{jik}+T_{jk}+T_{iq}-T_{kij}-T_{kji})}$

${\displaystyle =0}$

完全なメトリック互換のアフィン接続は次のように記述できます。

${\displaystyle {\Gamma ^{l}}_{ij}={\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ij}+{K^{l}}_{ij},}$

ここで、ねじれのない Levi-Civita 接続は次のようになります。 ${\displaystyle {\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ji}}$

${\displaystyle {\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ji}={\tfrac {1}{2}}g^{lk}(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij})}$

アフィン幾何学では、計量も計量接続もないので、必要に応じてインデックスを自由に上げたり下げたりすることはできません。それでも、はんだ形式を利用してバンドルをその基本空間で起こっていることと関連付けることで、同様の効果を得ることができます。これは明示的に幾何学的な観点であり、テンソルは、基本空間でのみ定義されるインデックス付き代数オブジェクトではなく、ファイバーバンドルの垂直バンドルと水平バンドル内の幾何学的オブジェクトになります。この場合、接バンドル上の1 形式として存在するねじれテンソルを構築できます。

接続のねじれは次のように表せること を思い出してください。${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle \Theta _{\omega }=D\theta =d\theta +\omega \wedge \theta }$

ここで、ははんだ形式（トートロジー 1 形式）です。下付き文字は、このねじれテンソルが接続から得られたことを思い出させるためだけに使用されます。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \omega}$

上のセクションのねじれテンソルの指数を下げるのと同様に、はんだ形式でも同様の操作を実行し、テンソルを構築することができます。

${\displaystyle \Sigma _{\omega }(X,Y,Z)=\langle \theta (Z),\Theta _{\omega }(X,Y)\rangle +\langle \theta (Y),\Theta _{\omega }(Z,X)\rangle -\langle \theta (X),\Theta _{\omega }(Y,Z)\rangle }$

これがスカラー積である。このテンソルは^[2]のように表される。${\displaystyle \langle ,\rangle }$

${\displaystyle \Sigma _{\omega }(X,Y,Z)=2\langle \theta (Z),\sigma _{\omega }(X)\theta (Y)\rangle }$

この量は、ねじれ形式であり、ねじれのないレヴィ・チヴィタ接続を得るために任意の接続に追加する必要がある量とまったく同じです。つまり、エーレスマン接続が与えられた場合、ねじれのない 別の接続が存在します。${\displaystyle \sigma _{\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega +\sigma _{\omega }}$

ねじれが消えることは、

${\displaystyle \Theta _{\omega +\sigma _{\omega }}=0}$

または

${\displaystyle d\theta =-(\omega +\sigma _{\omega })\wedge \theta }$

これは、接続のダイナミクスとコントーションテンソルのダイナミクスを関連付ける場の 方程式として考えることができます。

計量互換のアフィン接続を素早く導く 1 つの方法は、レヴィ・チヴィタ接続の導出で使用した和和差の考え方を繰り返すことですが、ねじれをゼロにしません。以下は導出です。

導出の規約 (接続係数をこのように定義することを選択します。その動機はゲージ理論の接続 1 形式です):

${\displaystyle \nabla _{i}v^{j}=\partial _{i}v^{j}+{\Gamma ^{j}}_{ki}v^{k},}$

${\displaystyle \nabla _{i}\omega _{j}=\partial _{i}\omega _{j}-{\Gamma ^{k}}_{ji}\omega _{k},}$

まず、メトリック互換条件から始めます。

${\displaystyle \nabla _{i}g_{jk}=\partial _{i}g_{jk}-{\Gamma ^{l}}_{ji}g_{lk}-{\Gamma ^{l}}_{ki}g_{jl}=0,}$

ここで、合計和差を使用します (条件のインデックスを循環させます)。

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}-{\Gamma ^{l}}_{ji}g_{lk}-{\Gamma ^{l}}_{ki}g_{jl}+\partial _{j}g_{ki}-{\Gamma ^{l}}_{kj}g_{li}-{\Gamma ^{l}}_{ij}g_{kl}-\partial _{k}g_{ij}+{\Gamma ^{l}}_{ik}g_{lj}+{\Gamma ^{l}}_{jk}g_{il}=0}$

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}-\Gamma _{kji}-\Gamma _{jki}-\Gamma _{ikj}-\Gamma _{kij}+\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}=0}$

ここで、以下のねじれテンソル定義 (ホロノミック フレーム用) を使用して接続を書き換えます。

${\displaystyle {T^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ij}-{\Gamma ^{k}}_{ji}}$

${\displaystyle \Gamma _{kij}=T_{kij}+\Gamma _{kji}}$

このねじれの定義は、接続係数の低いインデックスの順序付けに上記の規則を使用する場合の通常の定義とは符号が逆になっていることに注意してください。つまり、幾何学に関する以下のセクションの座標フリーの定義とは符号が逆になっています。この矛盾 (文献ではよくあるようです) を修正すると、符号が逆のねじれテンソルになります。 ${\displaystyle \nabla _{i}v^{j}=\partial _{i}v^{j}+{\Gamma ^{j}}_{ki}v^{k}}$${\displaystyle \Theta _{\omega }=D\theta }$

ねじれテンソルの定義を次のように代入します。

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}-(T_{kji}+\Gamma _{kij})-\Gamma _{jki}-(T_{ikj}+\Gamma _{ijk})-\Gamma _{kij}+(T_{jik}+\Gamma _{jki})+\Gamma _{ijk}=0}$

整理して同類項を結合する

${\displaystyle 2\Gamma _{kij}=\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}-T_{kji}-T_{ikj}+T_{jik}}$

ねじれ項は結合して、テンソル的に変換するオブジェクトを作成します。これらの項は計量互換の方法で結合されるため、ねじれテンソルという名前が付けられ、計量互換のアフィン接続の歪対称部分を決定します。

ここでは、上記の式の左辺のインデックスと一致するように定義します。

${\displaystyle K_{kij}={\tfrac {1}{2}}(-T_{kji}-T_{ikj}+T_{jik})}$

ねじれテンソルの反対称性を利用して整理すると、ねじれテンソルとして定義されるものが得られます。

${\displaystyle K_{kij}={\tfrac {1}{2}}(T_{kij}+T_{ijk}-T_{jki})}$

これを式に戻すと次のようになります。

${\displaystyle 2\Gamma _{kij}=\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}+2K_{kij}}$

ここで、接続係数を分離し、ねじれ項をグループ化します。

${\displaystyle {\Gamma ^{l}}_{ij}={\tfrac {1}{2}}g^{lk}(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij})+{\tfrac {1}{2}}g^{lk}(2K_{kij})}$

偏微分を含む最初の項は、相対論者がよく使用するレヴィ-チヴィタ接続式であることを思い出してください。

これに倣って、ねじれのない Levi-Civita 接続を次のように定義します。

${\displaystyle {\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ij}={\tfrac {1}{2}}g^{lk}(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij})}$

すると、完全な計量互換のアフィン接続は次のように記述できるようになります。

${\displaystyle {\Gamma ^{l}}_{ij}={\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ij}+{K^{l}}_{ij},}$

テレパラレリズムの理論では、平坦（リーマン曲率がゼロ）だが、ゼロではないねじれを持つ接続、ヴァイツェンベック接続に遭遇する。この平坦性こそが、平行フレーム場の構築を可能にするものである。これらの概念は、超多様体にも拡張できる。^[3]

• ベリンファンテ・ローゼンフェルド応力エネルギーテンソル