p型電気力学

理論物理学において、p型電磁力学はマクスウェルの電磁気学理論の一般化である。

1形式、ゲージ対称性がある${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +d\alpha ,}$

ここで、は任意の固定された0形式であり、は外微分であり、密度1のゲージ不変ベクトル電流は連続方程式を満たす。${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle d{\star }\mathbf {J} =0,}$

ここでホッジスター演算子です。 ${\displaystyle {\star }}$

あるいは、閉じた( n −1)形式として表現することもできますが、ここではその場合は考慮しません。 ${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle \mathbf {F} }$は外微分として定義されるゲージ不変 2次元形式です。 ${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {F} }$運動方程式を満たす

${\displaystyle d{\star }\mathbf {F} ={\star }\mathbf {J} }$

（この方程式は明らかに連続方程式を意味します）。

これは、行動から導き出せる。

${\displaystyle S=\int _{M}\left[{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge {\star }\mathbf {F} -\mathbf {A} \wedge {\star }\mathbf {J} \right],}$

どこに時空多様体があるか。 ${\displaystyle M}$

p形式、ゲージ対称性がある${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {B} \rightarrow \mathbf {B} +d\mathbf {\alpha } ,}$

ここで、は任意の固定された( p − 1) -形式であり、は外微分であり、密度1で連続方程式を満たすゲージ不変なp -ベクトルである。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle d{\star }\mathbf {J} =0,}$

ここでホッジスター演算子です。 ${\displaystyle {\star }}$

あるいは、閉じた( n − p )形式として表現することもできます。 ${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle \mathbf {C} }$は外微分として定義されるゲージ不変な ( p +1)形式である。 ${\displaystyle \mathbf {C} =d\mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {B} }$運動方程式を満たす

${\displaystyle d{\star }\mathbf {C} ={\star }\mathbf {J} }$

（この方程式は明らかに連続方程式を意味します）。

これは、行動から導き出せる。

${\displaystyle S=\int _{M}\left[{\frac {1}{2}}\mathbf {C} \wedge {\star }\mathbf {C} +(-1)^{p}\mathbf {B} \wedge {\star }\mathbf {J} \right]}$

ここでMは時空多様体です。

他の記号規則も存在します。

カルブ・ラモンド場は弦理論におけるp = 2の例である。荷電源がD ブレーンであるラモンド・ラモンド場はpのすべての値の例である。11次元の超重力理論またはM 理論では、 3 形式電磁力学が用いられる。

ヤン・ミルズ理論につながる電気力学の非可換一般化があるのと同様に、 p形式電気力学の非可換一般化もあります。 これには通常、ゲルブの使用が必要です。

• ヘノー、テイテルボイム（1986）、「p-フォーム電気力学」、物理学の基礎 16（7）：593-617、doi：10.1007/BF01889624
• Bunster, C.; Henneaux, M. (2011). 「ねじれた自己双対性の作用」. Physical Review D. 83 ( 12): 125015. arXiv : 1103.3621 . Bibcode :2011PhRvD..83l5015B. doi :10.1103/PhysRevD.83.125015. S2CID  119268081.
• Navarro、Sancho (2012)、「微分k形式のエネルギーと電磁気学」、J. Math. Phys. 53、102501 (2012) doi :10.1063/1.4754817