多重子

物理学、特に素粒子物理学において、多重項は粒子の「内部」自由度の状態空間です。つまり、粒子の空間位置などの「外部」自由度ではなく、粒子自体に関連付けられた自由度です。このような自由度の例としては、量子力学における粒子のスピン状態や、素粒子物理学の標準モデルにおける粒子の色、アイソスピン、ハイパーチャージ状態などがあります。正式には、この状態空間を、連続した対称性のグループの作用を伝える ベクトル空間によって記述します。

数学的には、多重項はリー群またはそれに対応するリー代数の表現を介して記述され、通常は既約表現（略して irreps）を指すために使用されます。

グループレベルでは、これは3つ組であり、 ${\displaystyle (V,G,\rho )}$

• ${\displaystyle V}$は、体上のベクトル空間（代数的な意味で）であり、一般的にはまたは${\displaystyle K}$${\displaystyle K=\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle G}$はリー群です。これは多くの場合、コンパクトなリー群です。
• ${\displaystyle \rho}$は群準同型、つまり群から上の可逆線型写像の空間への写像です。この写像は群構造を保存する必要があります。なぜならだからです。${\displaystyle G\rightarrow {\text{GL}}(V)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G,}$${\displaystyle \rho (g_{1}\cdot g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2})}$

代数レベルでは、これは3つ組であり、 ${\displaystyle (V,{\mathfrak {g}},\rho )}$

• ${\displaystyle V}$以前と同じです。
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$はリー代数です。または上の有限次元リー代数であることが多いです。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle \rho}$はリー代数準同型 です。これはリー括弧を保存する線型写像です。なぜならだからです。${\displaystyle {\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)}$${\displaystyle X_{1},X_{2}\in {\mathfrak {g}},}$${\displaystyle \rho ([X_{1},X_{2}])=[\rho (X_{1}),\rho (X_{2})]}$

この記号は、少なくとも有限次元では、リー群とリー代数の間によく理解された対応関係があるため、リー代数とリー群の両方に使用されます。 ${\displaystyle \rho}$

数学では、準同型を表現と呼ぶのが一般的です。たとえば、「表現を考える」という文では、ベクトル空間は「表現空間」と呼ばれます。物理学では、ベクトル空間を表現と呼ぶこともあります。たとえば、「粒子をシングレット表現で変換するモデル化する」という文では、またはそのような表現で値を取る量子場や、そのような量子場によってモデル化される物理的粒子を指すこともあります。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle V}$

既約表現の場合、 an - plet は次元既約表現を指します。一般に、グループには同じ次元の非同型表現が複数存在する可能性があるため、これでは表現を完全には特徴づけられません。例外は、各非負整数 に対して次元 の既約表現が 1 つだけ存在する場合です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

たとえば、実 3 次元空間 を考えます。3D 回転のグループSO(3)は、この空間に対して行列のグループとして自然に作用します。回転グループのこの明示的な実現は基本表現 と呼ばれ、表現空間 も同様です。表現の完全なデータは です。この表現空間の次元は 3 であるため、これは の3 重表現と呼ばれ、これを と表記するのが一般的です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle \rho _{\text{基金}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},{\text{SO(3)}},\rho _{\text{fund}})}$${\displaystyle {\text{SO}}(3)}$${\displaystyle \mathbf {3} }$

理論物理学への応用では、少数の物理的に重要なグループの表現理論に注目することができます。これらの多くは、表現理論がよく理解されています。

• ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$: 標準モデルのゲージ群の一部であり、電磁気学の理論のゲージ群です。不等式はすべて 1 次元で、によって明示的に与えられる整数 によってインデックス付けされます。インデックスは、マップの巻き数として理解できます。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \rho _{n}:{\text{U}}(1)\rightarrow {\text{GL}}(\mathbb {C} );e^{i\theta }\mapsto e^{in\theta }}$
• ${\displaystyle {\text{SU}}(2)\cong {\text{スピン}}(3)}$: 標準模型のゲージ群の一部。不変表現は、 内の非負の整数でインデックス付けされ、は表現の次元を記述するか、適切な正規化により、表現の最大の重みを記述します。物理学では、代わりに半整数でこれらをラベル付けするのが一般的な慣例です。SU (2) の表現論を参照してください。${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{\geq 0}}$${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle {\text{SO}}(3)}$: 3次元空間の回転のグループ。不変表現は、${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$
• ${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$: 標準モデルのゲージ群の一部。不変表現は非負整数のインデックス付きペアであり、表現の最大の重みを表します。SU (3)のClebsch-Gordan係数を参照してください。${\displaystyle (m,n)}$
• ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$:ローレンツ群、平坦時空の線形対称性。すべての表現は、対応するスピン群の表現として生じます。ローレンツ群の表現論を参照してください。
• ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\cong {\text{スピン}}(1,3)}$: のスピンのグループ。非負の整数のペアによってインデックスが付けられ、表現の次元がインデックスされます。${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$${\displaystyle (\mu ,\nu )}$
• ${\displaystyle {\text{E}}(1,3)\cong \mathbb {R} ^{1,3}\rtimes {\text{SO}}(1,3)}$: 平坦時空の等長写像のポアンカレ群。これは上記の群の表現論の観点から理解できます。ウィグナーの分類を参照してください。

これらのグループはすべて標準モデルの理論に登場します。これらの対称性を拡張する理論については、他のグループの表現理論が考慮される可能性があります。

• 共形対称性: 擬ユークリッド空間の場合、対称性は共形群によって記述されます。${\displaystyle {\text{Conf}}(p,q)\cong O(p,q)/\mathbb {Z} _{2}}$
• 超対称性: 超群によって記述される対称性。
• 大統一理論: 標準モデルのゲージ群をサブグループとして含むゲージ群。提案されている候補には、およびが含まれます。${\displaystyle {\text{SU}}(5),{\text{SO}}(10)}$${\displaystyle {\text{E}}_{6}}$

量子物理学では、数学的概念は通常、ゲージ群の表現に適用されます。たとえば、ゲージ理論には多重項があり、これはの表現が単一の半整数、アイソスピンによって決定されるフィールドです。既約表現は基本表現の 番目の対称べきに同型であるため、すべてのフィールドには対称化された内部インデックス があります。${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$${\displaystyle s=:n/2}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

場は、ローレンツ群 の表現、またはより一般的には例外的な同型によりと同一視できるそのスピン群 の表現によっても変換されます。例には、自明な表現で変換されるスカラー場(一般に と表記)、 4 次元ベクトルとして変換されるベクトル場 (厳密には、コベクトル場と呼ぶ方が正確かもしれません)、および の表現で変換されるディラック スピノルやワイルスピノルなどのスピノル場があります。右手ワイル スピノルは、 の基本表現 で変換されます。 ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$${\displaystyle {\text{スピン}}(1,3)}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle A_{\mu}}$${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

ローレンツ群の他に、ゲージ群の作用によって場が変換される可能性があることに注意してください。たとえば、スカラー場 （ここでは時空点）は、の基本表現で値を取るアイソスピン状態を持つ可能性があります。この場合、は時空のベクトル値関数ですが、ローレンツ変換によって簡単に変換されるため、依然としてスカラー場と呼ばれます。 ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$${\displaystyle \phi (x)}$

量子場理論では、異なる粒子は、内部群とローレンツ群の既約表現で変換されるゲージ場と 1 対 1 で対応します。したがって、多重項は、これらの表現によって記述される亜原子粒子の集合を記述するようになりました。

最もよく知られている例はスピン多重項であり、これはローレンツ代数のSU(2)部分群の群表現の対称性を記述し、スピン量子化を定義するために使用される。スピン単一項は自明な表現であり、スピン二重項は基本表現であり、スピン三重項はベクトル表現または随伴表現である。

QCDでは、クォークはSU(3)の多重項、具体的には3次元の基本表現にあります。

分光法、特にガンマ分光法とX線分光法において、多重線とは、関連した、または分解できないスペクトル線のグループを指します。分解できない線の数が少ない場合、これらは二重線または三重線ピークと呼ばれることが多く、多重線は任意の数のピークのグループを表すために使用されます。

• ジョージ、H. (1999)。素粒子物理学におけるリー代数: アイソスピンから統一理論まで (第 1 版)。CRC プレス。https://doi.org/10.1201/9780429499210

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