球面上の2点間の大圏距離の公式
半正弦法の公式は、 球面 上 の 2 点の 経度 と 緯度 から、その2 点間の 大圏距離 を決定します 。これは 航海において重要であり、球面三角形の辺と角度を関連付ける 球面三角 法のより一般的な公式である 半正弦 法の特殊なケースです 。
英語で初めて ヘイバーサイン表 が出版されたのは1805年のジェームズ・アンドリューによるものである が [1] 、 フロリアン・カジョリは 1801年の ホセ・デ・メンドーサ・イ・リオス による使用を以前に認めている。 [2] [3] ヘイバーサイン という用語は1835年に ジェームズ・インマン によって造られた 。 [4] [5]
これらの名前は、 hav θ = sin 2 ( θ / 2 ） 。この式は、半正弦の任意の倍数、たとえば古い 正弦 関数（半正弦の2倍）でも同様に記載できます。コンピュータの出現以前は、2の因数による除算と乗算を省略できることが十分に便利であることが証明され、 19世紀および20世紀初頭の航海術および三角法のテキストには、半 正弦値と対数の表が含まれていました。 [6] [7] [8]今日では、半正弦形式は、 sin 2 関数 の前に係数がないという点でも便利です 。
球面上の 2 点 P と Q 間の大圏距離 (赤で描画) を示す図。2 つの 対蹠点 u と v も示されています。
球面上の任意の2点間の
中心角 θは 次のようになります。
θ =
d r
{\displaystyle \theta ={\frac {d}{r}}}
どこ
dは 球面上の 大円 に沿った2点間の距離です （球面距離 を参照）。 r は 球の半径です。 半正弦公式を使用すると 、 2 点の
緯度 ( φ で表される) と経度 ( λで表される) から θ の 半正弦 を直接計算できます。
持っている θ = 持っている
（
Δ φ
）
+ コス
（
φ
1
）
コス
（
φ
2
）
持っている
（
Δ λ
）
{\displaystyle \operatorname {hav} \theta =\operatorname {hav} \left(\Delta \varphi \right)+\cos \left(\varphi _{1}\right)\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)}
どこ
φ 1 、 φ 2 は 点1の緯度と点2の緯度であり、 λ 1 、 λ 2 は 点1の経度と点2の経度であり、
Δ φ =
φ
2
−
φ
1
{\displaystyle \Delta \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}
、 。
Δ λ =
λ
2
−
λ
1
{\displaystyle \Delta \lambda =\lambda _{2}-\lambda _{1}}
最後に、 中心角 θ と緯度経度の差の
両方に上記で適用された 半正弦関数 hav( θ )は、
持っている θ =
罪
2
（
θ 2
）
=
1 − コス （ θ ）
2
{\displaystyle \operatorname {hav} \theta =\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}}
ハーフサイン関数は、 角度 θ の正弦 の半分、つまり単位円 (球面) 上の角度の
弦 の半分の二乗を計算します。
距離 d を解くには、 hav( θ ) に archaversine ( 逆ハーバーサイン ) を適用するか、 arcsine (逆サイン) 関数を使用します。
d = r アーカイブ （ 持っている θ ） = 2 r アークサイン
（
持っている θ
）
{\displaystyle d=r\operatorname {archav} (\operatorname {hav} \theta )=2r\arcsin \left({\sqrt {\operatorname {hav} \theta }}\right)}
あるいはより明確に言えば:
d
= 2 r アークサイン
（
持っている （ Δ φ ） + （ 1 − 持っている （ Δ φ ） − 持っている （ 2
φ
メートル
） ） ⋅ 持っている （ Δ λ ）
）
= 2 r アークサイン
（
罪
2
（
Δ φ
2
）
+
（
1 −
罪
2
（
Δ φ
2
）
−
罪
2
（
φ
メートル
）
）
⋅
罪
2
（
Δ λ
2
）
）
= 2 r アークサイン
（
罪
2
（
Δ φ
2
）
+ コス
φ
1
⋅ コス
φ
2
⋅
罪
2
（
Δ λ
2
）
）
= 2 r アークサイン
（
罪
2
（
Δ φ
2
）
⋅
コス
2
（
Δ λ
2
）
+
コス
2
（
φ
メートル
）
⋅
罪
2
（
Δ λ
2
）
）
= 2 r アークサイン
（
1 − コス
（
Δ φ
）
+ コス
φ
1
⋅ コス
φ
2
⋅
（
1 − コス
（
Δ λ
）
）
2
）
{\displaystyle {\begin{aligned}d&=2r\arcsin \left({\sqrt {\operatorname {hav} (\Delta \varphi )+(1-\operatorname {hav} (\Delta \varphi )-\operatorname {hav} (2\varphi _{\text{m}}))\cdot \operatorname {hav} (\Delta \lambda )}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \varphi }{2}}\right)+\left(1-\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \varphi }{2}}\right)-\sin ^{2}\left(\varphi _{\text{m}}\right)\right)\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \varphi }{2}}\right)+\cos \varphi _{1}\cdot \cos \varphi _{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \varphi }{2}}\right)\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)+\cos ^{2}\left(\varphi _{\text{m}}\right)\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-\cos \left(\Delta \varphi \right)+\cos \varphi _{1}\cdot \cos \varphi _{2}\cdot \left(1-\cos \left(\Delta \lambda \right)\right)}{2}}}\right)\end{aligned}}}
[9] どこ
。
φ
メートル
=
φ
2
+
φ
1
2
{\displaystyle \varphi _{\text{m}}={\frac {\varphi _{2}+\varphi _{1}}{2}}}
これらの公式を使用する場合、 浮動小数点 誤差 により h = hav( θ ) が1 を超えないようにする必要があります ( d は 0 ≤ h ≤ 1 の 場合にのみ 実数に なります )。 h は 対蹠 点 (球の反対側) に対してのみ 1 に近づきます。この領域では、有限精度を使用すると、公式に比較的大きな数値誤差が生じる傾向があります。 d は大きいため ( π R 、つまり円周の半分に近づく)、この異常なケースでは、小さな誤差は大きな問題にならないことがよくあります (ただし、この問題を回避する他の 大圏距離公式もあります)。 (上記の公式は 逆正接 関数で記述されることもありますが、 h = 1 付近で同様の数値問題が発生します 。)
以下に説明するように、半正弦の代わりに余弦（ 球面余弦法則と呼ばれることもありますが、平面幾何学の 余弦法則 と混同しないでください ）を使用して同様の式を書くことができますが、2つの点が近い場合（たとえば、地球上で1キロメートル離れている場合）、 cos( d / R ) = 0.99999999 となり、答えは不正確になります。ハーフサインの公式は正弦を使用するため、この問題を回避できます。
どちらの式も、完全な球体ではない 地球 に適用した場合の近似値に過ぎません。 地球の半径 R は、両極の 6356.752 km から赤道の 6378.137 km まで変化します。さらに重要なのは、 地球 表面の南北線の 曲率半径は、赤道 (≈6335.439 km) よりも両極 (≈6399.594 km) で 1% 大きいことです。そのため、半正弦定理と余弦定理の精度が 0.5% 未満であるとは保証できません。 [ 要出典 ] 地球の楕円性を考慮したより正確な方法は、 ヴィンセンティの公式や 地理的距離の 記事にある他の公式で示されています 。
ハーフサインの法則 半正弦定理によって解かれる球面三角形 単位球面が与えられた場合、球面上の「三角形」は、 球面上の 3 点 u 、 v 、 w を結ぶ大円によって定義されます。これらの 3 辺の長さが a ( u から v )、 b ( u から w )、 c ( v から w ) で、 c の 反対側の角の角度が C である場合、半正弦定理は次のようになります。 [ 10]
持っている （ c ） = 持っている （ 1つの − b ） + 罪 （ 1つの ） 罪 （ b ） 持っている （ Ｃ ） 。
{\displaystyle \operatorname {hav} (c)=\operatorname {hav} (a-b)+\sin(a)\sin(b)\operatorname {hav} (C).}
これは単位球なので、長さ a 、 b 、 c は 、球の中心からそれらの辺がなす角度（ ラジアン 単位）に等しくなります（非単位球の場合、これらの円弧の長さはそれぞれ、その 中心角 に球の
半径 Rを掛けたものに等しくなります）。
この法則から前節の半正弦定理を得るには、 u が 北極 で、 v と w が距離 d を 決定する 2 つの点であるという特殊なケースを考えるだけでよい。その場合、 a と b は π / 2 − φ 1,2 （つまり、共緯度）、 C は経度差 λ 2 − λ 1 、 c は 目的の d / R . 罪( π / 2 − φ ) = cos( φ ) のとき、ハーフサインの公式が直ちに導かれます。
半正弦定理を導くには、まず 球面余弦定理 から始めます。
cos
(
c
)
=
cos
(
a
)
cos
(
b
)
+
sin
(
a
)
sin
(
b
)
cos
(
C
)
.
{\displaystyle \cos(c)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(C).\,}
上で述べたように、この式はc が小さいときに c を 解くには条件が悪くなります 。代わりに、 cos( θ ) = 1 − 2 hav( θ ) という恒等式を代入し、さらに cos( a − b ) = cos( a ) cos( b ) + sin( a ) sin( b )という加法 恒等式 も使用して、上記の半正弦定理を得ます。
証拠 次の式を証明できます:
hav
(
θ
)
=
hav
(
Δ
φ
)
+
cos
(
φ
1
)
cos
(
φ
2
)
hav
(
Δ
λ
)
{\displaystyle \operatorname {hav} \left(\theta \right)=\operatorname {hav} \left(\Delta \varphi \right)+\cos \left(\varphi _{1}\right)\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)}
緯度と経度で与えられた点を 直交座標 に変換し、それらの 点の内積 をとります。
単位球面 上の 緯度 と経度で与えられた 2つの点を考えます 。
p
1
,
p
2
{\displaystyle {\bf {p_{1},p_{2}}}}
φ
{\displaystyle \varphi }
λ
{\displaystyle \lambda }
p
2
=
(
λ
2
,
φ
2
)
p
1
=
(
λ
1
,
φ
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {p_{2}}}&=(\lambda _{2},\varphi _{2})\\{\bf {p_{1}}}&=(\lambda _{1},\varphi _{1})\end{aligned}}}
これらの表現は球面座標 と非常に似ています が、緯度は北極ではなく赤道からの角度として測定されます。これらのポイントは、直交座標で次のように表現されます。
p
2
=
(
cos
(
λ
2
)
cos
(
φ
2
)
,
sin
(
λ
2
)
cos
(
φ
2
)
,
sin
(
φ
2
)
)
p
1
=
(
cos
(
λ
1
)
cos
(
φ
1
)
,
sin
(
λ
1
)
cos
(
φ
1
)
,
sin
(
φ
1
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {p_{2}}}&=(\cos(\lambda _{2})\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\lambda _{2})\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\varphi _{2}))\\{\bf {p_{1}}}&=(\cos(\lambda _{1})\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\lambda _{1})\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\varphi _{1}))\end{aligned}}}
ここからドット積を直接計算して先に進むこともできますが、次の事実を考慮すると、式は大幅に簡単になります。球を Z 軸に沿って回転させても、2 点間の距離は変わりません。これにより、実質的に に定数が追加されます 。同様の考慮事項は緯度の変換には当てはまらないことに注意してください。緯度に定数を追加すると、点間の距離が変わる可能性があります。定数を に選択し 、 を設定すると 、新しい点は次のようになります。
λ
1
,
λ
2
{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}
−
λ
1
{\displaystyle -\lambda _{1}}
λ
′
=
Δ
λ
{\displaystyle \lambda '=\Delta \lambda }
p
2
′
=
(
cos
(
λ
′
)
cos
(
φ
2
)
,
sin
(
λ
′
)
cos
(
φ
2
)
,
sin
(
φ
2
)
)
p
1
′
=
(
cos
(
0
)
cos
(
φ
1
)
,
sin
(
0
)
cos
(
φ
1
)
,
sin
(
φ
1
)
)
=
(
cos
(
φ
1
)
,
0
,
sin
(
φ
1
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {p_{2}'}}&=(\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\lambda ')\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\varphi _{2}))\\{\bf {p_{1}'}}&=(\cos(0)\cos(\varphi _{1}),\;\sin(0)\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\varphi _{1}))\\&=(\cos(\varphi _{1}),\;0,\;\sin(\varphi _{1}))\end{aligned}}}
と の 間の角度を表す と 、次のようになります。
θ
{\displaystyle \theta }
p
1
{\displaystyle {\bf {p_{1}}}}
p
2
{\displaystyle {\bf {p_{2}}}}
cos
(
θ
)
=
⟨
p
1
,
p
2
⟩
=
⟨
p
1
′
,
p
2
′
⟩
=
cos
(
λ
′
)
cos
(
φ
1
)
cos
(
φ
2
)
+
sin
(
φ
1
)
sin
(
φ
2
)
=
sin
(
φ
2
)
sin
(
φ
1
)
+
cos
(
φ
2
)
cos
(
φ
1
)
−
cos
(
φ
2
)
cos
(
φ
1
)
+
cos
(
λ
′
)
cos
(
φ
2
)
cos
(
φ
1
)
=
cos
(
Δ
φ
)
+
cos
(
φ
2
)
cos
(
φ
1
)
(
−
1
+
cos
(
λ
′
)
)
⇒
hav
(
θ
)
=
hav
(
Δ
φ
)
+
cos
(
φ
2
)
cos
(
φ
1
)
hav
(
λ
′
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\theta )&=\langle {\bf {p_{1}}},{\bf {p_{2}}}\rangle =\langle {\bf {p_{1}'}},{\bf {p_{2}'}}\rangle =\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})+\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\\&=\sin(\varphi _{2})\sin(\varphi _{1})+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})-\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})+\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})\\&=\cos(\Delta \varphi )+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})(-1+\cos(\lambda '))\Rightarrow \\\operatorname {hav} \left(\theta \right)&=\operatorname {hav} \left(\Delta \varphi \right)+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})\operatorname {hav} \left(\lambda '\right)\end{aligned}}}
参照
参考文献
^ van Brummelen、Glen Robert (2013)。天国の数学：球面三角法 の 忘れられた芸術。 プリンストン大学出版局 。ISBN 9780691148922 . 0691148929 . 2015年11月10日 閲覧 。 ^ デ・メンドーサ・イ・リオス、ジョゼフ (1795)。 Memoria sobre algunos métodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares: y aplicacion de su teórica á la solucion de otros問題の解決 (スペイン語)。スペイン、マドリード：インプレンタ・レアル。 ^ カジョリ、フロリアン (1952) [1929]。数学表記法の歴史。第2巻（1929年発行の第3版）第2版。シカゴ： オープンコート出版会社 。p. 172。ISBN 978-1-60206-714-1 . 1602067147 . 2015-11-11 に閲覧。ハーフサインは 、ホセ・デ・メンドーサ・イ・リオス の対数グラフ表 (マドリード、1801 年、1805 年、1809 年) に初めて登場し、後に ジェームズ・インマン の航海に関する論文 (1821 年) にも登場しました 。 (注: ISBN とリンクは、Cosimo, Inc., New York, 2013 による第 2 版の再版です。) ^ インマン、ジェームズ （1835）[1821]。ナビゲーションと航海天文学：英国の船員のために（第3版）。ロンドン、英国：W.ウッドワード、C.＆J.リヴィントン。 2015年11月9日 閲覧 。 （第4版：[1]） ^ 「haversine」。 オックスフォード英語辞典 （第2版）。 オックスフォード大学出版局 。1989年。 ^ HB Goodwin、「航海天文学におけるヘイバーサイン」、 Naval Institute Proceedings 、第36巻第3号（1910年）、735～746ページ。 明らかに、ヘイバーサイン表を使用すれば、まず対数の合計を2で割る手間が省け、次に表から得た角度に同じ数を掛ける手間が省けます。これは、ほぼ1世紀前にポーツマス王立海軍大学のインマン教授が初めて導入した表の形式の特別な利点です。 ^ WW Sheppard と CC Soule、「実用航海術」（World Technical Institute: ジャージーシティ、1922 年）。 ^ ER Hedrick、「対数表と三角関数表」（Macmillan、ニューヨーク、1913年）。 ^ Gade, Kenneth (2010). 「非特異な水平位置表現」. Journal of Navigation . 63 (3): 395–417. Bibcode :2010JNav...63..395G. doi :10.1017/S0373463309990415. ISSN 0373-4633. ^ Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1922]. 「付録 B: B9. 平面および球面三角法: ハーバーサイン関数で表現される公式」。 科学者およびエンジニアのための数学ハンドブック: 参照およびレビューのための定義、定理、および公式 (第 3 版)。ミネオラ、ニューヨーク: Dover Publications。pp . 892–893。ISBN 978-0-486-41147-7 。
さらに読む 米国国勢調査局 地理情報システム FAQ (コンテンツは「2 点間の距離を計算する最適な方法は何ですか?」に移動されました) RWシノット、「ヘイバーサインの美徳」、 スカイ・アンド・テレスコープ 68 （2）、159（1984）。 「ハーフサイン公式の導出」。 Ask Dr. Math 。1999年4月20～21日。2020年1月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。 W. Gellert、S. Gottwald、M. Hellwich、H. Kästner、および H. Küstner、 The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics 、第 2 版、ch. 12 (ヴァン・ノストランド・ラインホールド: ニューヨーク、1989)。
外部リンク 
