等高線

2変数関数の等高線（等値線、等値集合、等量線、等値曲線とも呼ばれる）は、関数が一定値をとる曲線であり、等しい値を持つ点をその状態と結びます。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}これは、関数の3次元グラフの平面断面です。${\displaystyle f(x,y)}$と平行に${\displaystyle (x,y)}$平面。より一般的には、2変数関数の等高線は、関数が同じ特定の値をとる点を結ぶ曲線である。^{[ 2 ]}

地図作成において、等高線（単に「等高線」と呼ばれることが多い）は、平均海面などの特定のレベルからの等高（高さ）の点を結んだものです。^{[ 3 ]}等高線図は、等高線で描かれた地図であり、例えば地形図のように、谷や丘、斜面の傾斜や緩やかさを示します。^{[ 4 ]}等高線図の等高線間隔は、連続する等高線間の標高の差です。^{[ 5 ]}

関数の勾配は常に等高線に垂直です。等高線が接近しているほど勾配の大きさは大きくなり、変化は急になります。レベルセットは、任意の数の変数を持つ関数に対する等高線の一般化です。

等高線は、地図上で現実または仮想の表面と 1 つ以上の水平面との交点を表す曲線、直線、またはそれらの混合線です。これらの等高線の構成により、地図の読者はパラメータの相対的な勾配を推測し、特定の場所でそのパラメータを推定することができます。等高線は、写真測量士がステレオモデルを見て標高等高線を描く場合のように、表面の目に見える 3 次元モデル上にトレースされる場合と、コンピュータ プログラムがエリア中心の観測点のネットワークを通して等高線をたどる場合のように、推定された表面標高から補間される場合があります。後者の場合、補間方法は個々の等高線の信頼性と、傾斜、窪地、およびピークの描写に影響を与えます。^{[ 6 ]}

等しい値の点を結ぶ線の概念は、何度か再発見されました。最も古い既知の等深線（一定の深さの等高線）は、オランダ人のピーテル・ブルインスツが1584年に作成したハーレム近郊のスパールネ川の地図に見られます。^{[ 7 ]} 1701年、エドモンド・ハレーは磁気偏角の図にそのような線（等角線）を使用しました。^{[ 8 ]} オランダの技師ニコラス・クルキウスは1727年にメルウェデ川の川床を1ファゾム間隔で等深線（等深線）で描き、フィリップ・ブアシュは1737年に作成され1752年に出版されたイギリス海峡の海図で10ファゾム間隔で等深線を使用した。このような線は、1746年にドメニコ・ヴァンデッリが作成したモデナ・レッジョ公国の地図で地表面（等高線）を記述するために使用され、1771年にデュカルラによって理論的に研究され、チャールズ・ハットンはシハリオン実験でこれらを使用した。1791年、JLデュパン＝トリエルによるフランスの地図は、20メートル間隔の等高線、ハッチング、標高点、垂直断面図を使用した。 1801年、フランス工兵隊の隊長ハクソは、ナポレオン統治下の北イタリアにあるロッカ・ダンフォの計画図に、1:500というより大きな縮尺の等高線を使用した。^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

1843年頃、英国陸地測量部がイギリスとアイルランドで等深線の定期的な記録を開始した頃には、等深線はすでにヨーロッパ諸国で一般的に使用されていました。等深線が航海図で日常的に使用されるようになったのは、ロシアでは1834年から、イギリスでは1838年からでした。^{[ 9 ] [ 12 ] [ 13 ]}

この技術のさまざまな用途が独自に考案されるにつれて、地図製作者は共通のテーマを認識し始め、これらの「等価線」を一般的に何と呼ぶべきかについて議論しました。アイソグラム（古代ギリシャ語のἴσος （isos）「等しい」とγράμμα （gramma）「書くこと、描くこと」に由来）という言葉は、1889年にフランシス・ゴルトンによって、何らかの物理的状態または量の等しさを示す線に対して提案されました^{[ 14 ]}が、アイソグラムは繰り返し文字のない単語を指すこともあります。1944年になっても、ジョン・K・ライトは依然としてアイソグラムを好んでいましたが、広く使われることはありませんでした。 20世紀初頭、米国では1911年までに等値線（πλῆθος、plethos、「量」 ）が使用されるようになり、ヨーロッパでは等値線（ἀριθμός、arithmos、「数」 ）が一般的になった。ギリシャ語と英語のハイブリッドである等線や等尺線（μέτρον、metron、「尺度」 ）など、その他の代替案も出現した。単一の標準を選択しようとする試みにもかかわらず、これらの代替案はすべて現在まで残っている。^{[ 15 ] [ 16 ]}  

等高線付きの地図が普及するにつれ、そのアイデアは他の用途にも広がりを見せた。おそらく最も新しい例としては、大気質や騒音汚染の等高線図が挙げられるだろう。これは、主にこれらのパラメータの空間的な区分を義務付ける国の法律の制定を受けて、1970年頃に米国で初めて登場した。

等高線には、マッピングされる変数の性質に応じて「 iso- 」で始まる特定の名前が付けられることが多いですが、多くの場合、「等高線」という表現が最も一般的に使用されます。特定の名前は、異なる変数を含む複数の地図を同時に表示できる気象学で最もよく使用されます。接頭辞「 iso- 」は、「 isallo- 」に置き換えることで、一定期間内に変数が同じ割合で変化する点を結ぶ等高線を指定できます。

等角線（古代ギリシャ語のγωνία （gonia）「角度」に由来）は、方向を測定する変数の等高線です。気象学および地磁気学では、等角線という用語は、以下に説明する特定の意味を持ちます。等傾斜線（κλίνειν、klinein、「傾く、または傾斜する」）は、傾斜が等しい点を結んだ線です。個体群動態学および地磁気学では、等傾斜線および等傾斜線という用語は、以下に説明する特定の意味を持ちます。 

気象学

気象等高線は、気象観測所や気象衛星から受信した点データの補間に基づいて作成されます。気象観測所は等高線上に正確に位置していることはほとんどありません（位置している場合は、測定値が等高線の値と完全に一致することを意味します）。そのため、利用可能な散在する情報点に基づいて、正確な値の位置を最もよく近似するように等高線が描かれます。

気象等高線図には、特定の時点における実際の気圧などの収集データ、一定期間の平均気圧などの一般化されたデータ、または将来のある時点における予測気圧などの予測データが表示される場合があります。

熱力学図は、複数の重なり合う等高線セット（等圧線や等温線など）を用いて、気象システムにおける主要な熱力学的要因を視覚的に表現する。

気圧

等圧線（古代ギリシャ語のβάρος (baros) 「重さ」に由来）は、グラフ、図、または地図上の等圧線または等値線です。より正確には、等圧線は、特定の期間の海面気圧に換算した平均気圧が等しい場所を結んだ地図上の線です。気象学では、表示される気圧は地図上の位置の地表気圧ではなく、海面気圧に換算されています。[ ^{21 ]等圧線} の分布は風場の大きさと方向と密接に関係しており、将来の気象パターンを予測するために使用できます。等圧線はテレビの天気予報でよく使用されます。 

等圧線とは、特定の時間間隔で気圧変化が等しい点を結んだ線です。^{[ 22 ]}これらは、特定の時間間隔で気圧上昇が等しい点を結んだアナロバー^{[ 23 ]}と、気圧低下が等しい点を結んだカタロバー^{[ 24 ]}に分けられます。一般的に、気象システムは高等圧線と低等圧線の中心を結ぶ軸に沿って移動します。^{[ 25 ]}等圧勾配は、地衡風を増減させるため、風の重要な構成要素です。

等密度線とは、密度が一定の線です。等高線または等高度線とは、定圧面図におけるジオポテンシャル高度が一定の線です。等高度線と等高度線は、地図上で等圧を示す線として知られています。

温度および関連事項

等温線（古代ギリシャ語のθέρμη （thermē）「熱」に由来）は、地図上で同じ温度の点を結ぶ線です。したがって、等温線が通過するすべての点は、示された時点で同じか等しい温度になります。^{[ 26 ] [ 2 ]} 0 ℃ の等温線は、凍結レベルと呼ばれます。lignes isothermes（またはlignes d'égale chaleur）という用語は、植物の地理的分布の研究の一環として、1817年にパリで最初の等温線図を出版したプロイセンの地理学者で博物学者のアレクサンダー・フォン・フンボルトによって造語されました。 ^{[ 27 ] [ 28 ]}トーマス・ハンキンスによると、スコットランドのエンジニア、ウィリアム・プレイフェアの図解開発は、アレクサンダー・フォン・フンボルトの等温線の発明に大きな影響を与えました。^{[ 29 ]}フンボルトは後に、自身の視覚化と分析を用いて、非ヨーロッパ人は気候のために劣っているとするカントや他の啓蒙思想家の理論に反論した。^{[ 30 ]}  

等温線とは、冬の平均気温が等しい線であり、等温線とは、夏の平均気温が等しい線である。

等日線（ἥλιος、helios、「太陽」 ）とは、太陽放射が等しいか一定の線である。

等温線とは、地表下の地温が等しい地点を示す線のことである。

降雨量と空気中の水分

等雨量線（古代ギリシャ語のὑετός （huetos）「雨」に由来）とは、一定期間における降水量が等しい地点を結んだ地図上の線のことです。等雨量線が描かれた地図は等雨量図と呼ばれます。 

等湿度線は一定の相対湿度の線であり、等露点線（古代ギリシャ語のδρόσος (drosos) 「露」とθέρμη (therme) 「熱」に由来）は等しいまたは一定の露点の線である。  

等雲線とは、雲量が等しいことを示す線のことである。

等雹線とは、雹の発生頻度が一定の線であり、等雹線とは、特定の雷雨活動の段階が同時に発生した地理的な地点を通る線である。

積雪状況は、等高線図として示されることが多い。

風

等風速線（古代ギリシャ語のταχύς （tachus）「速い」に由来）とは、風速が一定の点を結んだ線である。気象学では、等風向線は風向が一定の線を指す。 

冷凍と解凍

等氷線は、毎年冬に氷が形成される時期が等しいことを示し、等氷線は、氷が溶ける時期が等しいことを示す。

地理学と海洋学

標高と深さ

等高線は、地図上で標高や高度、水深を示すために用いられる一般的な方法の一つです。これらの等高線から、地形の概略を把握することができます。等高線は、大規模な土木図面や建築設計図から、地形図や水深図、さらには大陸規模の地図に至るまで、様々な縮尺で使用されています。

地図作成において最も一般的な用法は「等高線」ですが、水深図における水深を表す等深線や、標高を表す等高線も用いられます。

地図作成において、等高線間隔とは、隣接する等高線間の標高差のことである。等高線間隔は、一枚の地図上で一定であるべきである。等高線間隔を地図の縮尺に対する比率として計算することで、地形の起伏の度合いを把握することができる。

解釈

地形等高線を解釈する際には、いくつか注意すべきルールがあります。

• V字地形の法則：鋭いV字地形は通常、河川の谷に見られ、排水路はV字地形の先端を通り、V字地形は上流方向を向いています。これは浸食の結果です。
• オスの法則：閉じたループは通常、内側が上り坂で外側が下り坂であり、最も内側のループが最も高い領域である。ループが窪地を表している場合は、等高線に垂直で低い方向を指すハッチングと呼ばれる短い線でそれを示す地図もある。^{[ 31 ]} （この概念はハッチングマップで使用されるハッチングと似ているが、異なる。）
• 等高線の間隔：等高線が密集しているほど傾斜が急で、等高線が離れているほど傾斜が緩やかである。2本以上の等高線が重なっている場合は崖である。河川のある区間を横切る等高線の数を数えることで、河川の勾配を概算することができる。

もちろん、2点間の標高差を判断するには、等高線間隔、つまり隣接する2本の等高線間の高度距離を知る必要があり、これは通常、地図の凡例に記載されています。通常、等高線間隔は地図全体で一定ですが、例外もあります。平坦な地域では中間等高線が存在する場合があり、これらは記載されている等高線間隔の半分の破線または点線で表されます。山岳地帯と平坦な低地を含む小縮尺地図で等高線と等高線が使用される場合、すべての地域で詳細が表示されるように、標高が低いほど間隔を小さくするのが一般的です。逆に、急峻な崖に囲まれた高原からなる島では、高さが増すにつれて間隔を小さくすることができます。^{[ 32 ]}

静電気学

等電位図は、空間における静電ポテンシャルの尺度であり、多くの場合、その電位を誘起する静電荷とともに2次元で図示されます。等電位線とは、一定の電位 を示す曲線のことです。等電位線を横切ることが電位の上昇または下降を表すかどうかは、電荷のラベルから判断されます。3次元では、等電位面は2次元の断面図で表され、等電位線は面と断面の交点に示されます。

一般的に数学用語であるレベルセットは、特に高次元空間において、特定のポテンシャルを持つ点の集合全体を表すためによく用いられる。

磁気

地球の磁場の研究において、アイソゴン線またはアイソゴニック線という用語は、磁気偏角が一定の線、すなわち地理上の北から磁北への変化を指します。アゴニック線は、磁気偏角がゼロの点を通るように引かれます。アイソポリック線は、磁気偏角の年間変化が一定の線を指します。^{[ 33 ]}

等傾斜線は磁気傾斜角が等しい点を結んだ線であり、非傾斜線は磁気傾斜角がゼロとなる等傾斜線である。

等力線（δύναμιςまたはdynamis 、つまり「力」を意味する）は、磁力の強さが同じ点を結んだ線である。

海洋学

海洋学者は、水深に加えて、気象学者が大気現象を記述するのと同様に、等深線を用いて拡散的な変動現象を記述します。具体的には、等水温線は水温が等しい水深を示す線、等塩分線は海水の塩分が等しい水深を示す線、等密度線は水の密度が等しい水面を示します。

社会科学

経済学では、等高線は空間的に量的に変化する特徴を記述するために使用できます。等時線は、特定の場所までの運転時間または移動時間が等しいことを示す線であり、等時線図の作成に使用されます。等時線は原材料の供給源からの等価輸送コストを示し、等時線は移動時間の等価コストを示します。

等高線は、経済学において地理的情報以外の情報を表示するためにも使用されます。無差別曲線（左図参照）は、人が等しい効用を割り当てる財の組み合わせを示すために使用されます。等量曲線（右図参照）は、投入要素の異なる組み合わせにおける生産量が等しいことを示す曲線であり、等費用曲線（同じく右図参照）は、生産コストが等しい異なる使用方法を示します。

政治学では、連立政権を理解するために類似の方法が用いられています（例えば、LaverとShepsleの著作^{[ 36 ]}の図など）。

個体群動態学において、等傾線とは、相互作用する2つの個体群のうち、一方の個体群の変化率、すなわち偏微分がゼロとなる個体群サイズの集合を示すものである。

• 画像分割後のレベルセットの境界の検出
  • エッジ検出
  • レベルセット法
  • 境界追跡
• アクティブコンターモデル

等高線図の視認性を最大限に高めるために、地図作成者はいくつかのデザイン上の選択肢を利用できます。主な選択肢としては、線の太さ、線の色、線の種類、数値表示方法などがあります。

線の太さは、使用される線の濃さや太さのことです。この選択は、地図自体の背景情報を読者が読み取れるように、最も邪魔にならない等高線の形に基づいて行われます。ベースマップに情報がほとんど、あるいは全くない場合は、等高線を比較的太く描くことができます。また、地形図など多くの等高線では、線の太さや色を変化させることで、特定の数値に対して異なる線の特性を持たせるのが一般的です。例えば、上記の地形図では、100フィート間隔の標高は、20フィート間隔の標高とは異なる太さで表示されています。

線の色は、表示に適した様々な顔料から選択できます。等高線をベースマップから区別するために、色だけでなく光沢や艶も使用される場合があります。線の色を変えることで、他の情報を表示することも可能です。

線種とは、等高線が実線、破線、点線、またはその他のパタ​​ーンでどのように表現されるかによって、目的の効果を生み出す線種のことです。点線や破線は、基となる地図に非常に重要な情報（または判読しにくい情報）が含まれている場合によく使用されます。破線は、等高線の位置が推測される場合に使用されます。

数値表記とは、等高線の算術値を表す方法です。これは、等高線の一部に数値を記入することで行うことができ、通常は中間の等高線には補間法を用います。あるいは、等高線とその値を関連付けた凡例を作成することもできます。

等高線に数値ラベルが付いておらず、隣接する線が同じスタイル（同じ太さ、色、種類）である場合、等高線だけでは勾配の方向を判断することはできません。しかし、等高線が3つ以上のスタイルを順番に変化させている場合は、線から勾配の方向を判断できます。数値テキストラベルの向きは、傾斜の方向を示すためによく用いられます。

等高線は、一般的に平面図、つまり宇宙空間から地球表面を眺める視点で描かれます。これは通常の地図形式です。しかし、一部のパラメータは、マッピングされたパラメータの垂直方向のプロファイルを示す断面図で表示することもできます。断面図でマッピングされる最も一般的なパラメータには、大気汚染物質濃度や騒音レベルなどがあります。これらの場合、例えば都市部のアパートの異なる階に住む人々など、さまざまな高さにいる人々の空気の質や騒音による健康への影響を判断するために、さまざまな高さでの（大気汚染物質濃度や騒音レベル）を分析することが重要になる場合があります。実際には、大気汚染や騒音汚染の調査では、平面図と断面図の両方の等高線図が使用されます。

ラベルは標高図の重要な構成要素です。適切にラベル付けされた等高線図は、読者が地形の形状を素早く解釈するのに役立ちます。数字が互いに近接して配置されている場合は、地形が急峻であることを意味します。ラベルは、可能であれば複数の方向から、山頂または谷底を「指し示す」わずかに湾曲した線に沿って配置し、山頂または谷底を視覚的に容易に識別できるようにします。^{[ 38 ] [ 39 ]}等高線ラベルは、読者がラベルを読むときに上り坂を向いているように配置できます。

等高線図の手動ラベル付けは時間のかかる作業ですが、自動ラベル配置と呼ばれる、地図作成の慣例に従って自動的に作業を実行できるソフトウェアシステムがいくつか存在します。

ウィキメディア・コモンズには、等高線に関連するメディアがあります。

• フォースライトのフロンティステリー