等光体

幾何学において、等輝度線とは、照明された面上で等しい明るさの点を結ぶ曲線のことです。照明は平行光で行われ、明るさb は次のスカラー積で測定されると仮定します。

${\displaystyle b(P)={\vec {n}}(P)\cdot {\vec {v}}=\cos \varphi }$

ここで、⁠ ⁠ は点${\displaystyle {\vec {n}}(P)}$Pにおける表面の単位法線ベクトル、⁠ ⁠ は光の方向の単位ベクトルです。 b ( P ) = 0 、つまり光が表面法線に対して垂直である場合、点Pは方向⁠ ⁠で観測される表面シルエットの点です。明るさ 1 は、光ベクトルが表面に対して垂直であることを意味します。すべての点の明るさが同じであるため、平面には等輝度線はありません。 ${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {v}}.}$

天文学において、等輝度線とは、写真上で等しい明るさの点を結んだ曲線のことである。 ^[1]

コンピュータ支援設計では、等光線は表面接続の滑らかさを光学的にチェックするために使用されます。十分に微分可能な表面 (暗黙的またはパラメトリック) の場合、法線ベクトルは 1 次導関数に依存します。したがって、等光線の微分可能性と幾何学的連続性は、表面の微分可能性よりも 1 小さくなります。表面の点で接線面のみが連続している場合 (つまり、G1 連続の場合)、等光線にはキンクがあります (つまり、G0 連続の場合のみ)。

次の例 (図を参照) では、交差する 2 つのベジェ曲面が 3 番目の曲面パッチによってブレンドされています。左の図では、ブレンド曲面はベジェ曲面に対して G1 接触のみを持ち、右の図では曲面は G2 接触を持ちます。この違いは図からは認識できません。しかし、等光線の幾何学的連続性は示されており、左側には折れ目があり (つまり G0 連続性)、右側には滑らかです (つまり G1 連続性)。

• 
  2 つのベジェ曲面と G1 連続 (左) および G2 連続 (右) ブレンディング曲面上の等光線: 左の等光線は折れ曲がっており、右の等光線は滑らかです。

方程式を持つ暗黙的な表面の場合、等光線条件 は次のようになります。つまり、与えられたパラメータcを持つ等光線の点は、2 つの暗黙的な表面の交差曲線 として考えることができる非線形システムの解です。Bajaj らのトレース アルゴリズム (参考文献を参照) を使用すると、点の多角形を計算できます。 ${\displaystyle f(x,y,z)=0,}$$${\displaystyle {\frac {\nabla f\cdot {\vec {v}}}{|\nabla f|}}=c\ .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&=0,\\[4pt]\nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v}}-c\;|\nabla f(x,y,z)|&=0,\end{aligned}}}$$

パラメトリック面 の場合、等光線条件は ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {S}}(s,t)}$

$${\displaystyle {\frac {({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {S }}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|}}=c\ .}$$

これは次の式と同等です 。この式は st 平面の暗黙の曲線を表します。この曲線は適切なアルゴリズム (暗黙の曲線を参照) でトレースでき、 によって表面の点に変換できます。 $${\displaystyle \ ({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}-c\;|{\vec {S} }_{s}\times {\vec {S}}_{t}|=0\ .}$$${\displaystyle {\vec {S}}(s,t)}$

• 等高線

• J. Hoschek、D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung、Teubner-Verlag、シュトゥットガルト、1989 年、ISBN  3-519-02962-6、p. 31.
• Z. Sun、S. Shan、H. Sang 他：生体認証、Springer、2014年、ISBN 978-3-319-12483-4、p. 158。 
• CL Bajaj、CM Hoffmann、RE Lynch、JEH Hopcroft: Tracing Surface Intersections、(1988) Comp. Aided Geom. Design 5、pp. 285–307。
• CT Leondes:コンピュータ支援および統合製造システム: 最適化手法、第 3 巻、World Scientific、2003 年、ISBN 981-238-981-4、p. 209。 

• パトリカラキス前川町：等光線図（英語）
• A. Diatta、P. Giblin: 等光線曲線の幾何学
• ジン・キム：回転面と運河面の等光線の計算