断面（形状）

幾何学や科学において、断面とは、 3次元空間における立体と平面との空でない交点、またはより高次元の空間におけるそれに相当するもののことです。物体をスライス状に切断すると、多くの平行な断面ができます。3次元空間における断面の境界のうち、2つの軸に平行なもの、つまりこれらの軸によって決定される平面に平行なものは、等高線と呼ばれることがあります。例えば、起伏図の山々を地面に平行な平面が切断すると、結果として得られるのは、山の表面上の標高が等しい点を示す2次元空間の等高線です。

製図において、断面図は、物体をその物体と交差する平面に投影したものであり、3次元物体の内部構造を2次元で表現するためによく用いられる手法です。伝統的に、断面図は斜線で描かれ、その斜線のスタイルによって使用されている材料の種類が示されることがよくあります。

コンピュータ断層撮影法（CT）を用いると、コンピュータはX線データから断面像を構築することができる。

平面が立体（3次元物体）と交差する場合、平面と立体に共通する領域は立体の断面と呼ばれます。 ^{[ 1 ]}立体の断面を含む平面は切断面と呼ばれることがあります。

立体の断面の形状は、切断面と立体の向きによって決まる場合があります。たとえば、球の断面はすべて円盤ですが、^{[ 2 ]}立方体の断面は、切断面と立方体との関係によって決まります。切断面が立方体の対向する 2 つの面の中心を結ぶ線に垂直である場合、断面は正方形になりますが、切断面が立方体の対向する頂点を結ぶ対角線に垂直である場合、断面は点、三角形、または六角形のいずれかになります。

多面体の断面は多角形である。

円錐曲線（円、楕円、放物線、双曲線）は、左の図に示すように、切断面がさまざまな角度で交わる円錐の平面断面です。

楕円体の中心を通る任意の断面は楕円領域を形成し、対応する平面断面はその表面上の楕円となる。切断面が対称軸に垂直な場合、これらはそれぞれ円盤と円に退化する。より一般的には、二次曲面の平面断面は円錐曲線である。^{[ 5 ]}

2つの底面の間にある直円柱の断面は、底面に平行であれば円盤状になり、底面に平行でも垂直でもない場合は楕円形になります（右図参照）。切断面が底面に垂直であれば、断面は長方形（図示せず）になりますが、円筒に接している場合は1本の線分になります。

円筒という用語は、固体円筒の側面を意味することもあります（円筒（幾何学）を参照）。円筒がこの意味で使用されている場合、上記の段落は次のようになります。有限長の直円柱^{[ 6 ]}の平面断面は、切断面が円筒の対称軸に垂直であれば円、平行でも垂直でもない場合は楕円になります。切断面が軸に平行な場合、平面断面は一対の平行線分で構成されますが、切断面が円筒に接している場合は、平面断面は単一の線分になります。

z = x ² + xy + y ²のグラフ。 (1, 1, 3)における偏微分でy を一定に保つ場合、対応する接線はxz平面に平行です。

上記のグラフの平面断面図で、 xz平面上のy =1における等高線を示している。

図に示すように、平面断面を使用して、関数の引数の 1 つに関する偏微分を視覚化できます。z = f ( x , y )とします。f ( x , y )のxに関する偏微分を求めるには、関数 f の平面断面を y の固定値で取り、z の等高線を x のみに対してプロットします。すると、xに関する偏微分は、結果として得られる 2 次元グラフの傾きになります。

カヴァリエリの原理とは、対応する断面積が等しい固体は、体積も等しいという原理である。

断面積（${\displaystyle A'}$ある特定の角度から見た物体の面積は、その角度から見た物体の正投影図の総面積です。例えば、高さh、半径rの円柱の面積は${\displaystyle A'=\pi r^{2}}$中心軸に沿って見ると、${\displaystyle A'=2rh}$直交方向から見た場合。半径rの球は${\displaystyle A'=\pi r^{2}}$どの角度から見ても。より一般的には、${\displaystyle A'}$以下の面積分を評価することで計算できます。

${\displaystyle A'=\iint \limits _{\mathrm {top} }d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} ,}$

どこ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$は、観察者に向かう視線方向に沿った単位ベクトルです。${\displaystyle d\mathbf {A} }$は外向きの法線を持つ表面要素であり、積分は最上面、つまり観察者の視点から「見える」表面の部分のみで行われます。凸体の場合、観察者の視点から物体を通過する各光線は、2 つの表面だけを横切ります。このような物体の場合、積分は表面全体にわたって行うことができます (${\displaystyle A}$被積分関数の絶対値を取ることによって（これにより、定数ベクトル場に適用される発散定理で要求されるように、オブジェクトの「上」と「下」が減算されなくなる）${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$）そして2で割る：

${\displaystyle A'={\frac {1}{2}}\iint \limits _{A}|d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} |}$

固体の断面になぞらえて、n次元空間におけるn次元物体の断面は、物体と超平面 ( ( n -1)次元部分空間) の空でない交点です。この概念は、高次元空間の側面を視覚化するために使われることがあります。^{[ 7 ]}例えば、4 次元物体が私たちの 3 次元空間を通過すると、4 次元物体の 3 次元断面が見えることになります。特に、3 次元空間を通過する 4 次元球 (超球) は、遷移中に最大サイズまで大きくなり、その後小さくなる 3 次元球として現れます。この動的な物体 (3 次元空間の観点から) は、4 次元球の断面のシーケンスです。

地質学では、惑星の内部構造は、右図の地球の断面図のように、惑星の中心を通る断面図を用いて示されることが多い。

左図に示すように、解剖学では臓器の内部構造を説明するために断面図がよく用いられる。

左図に示すように、木の幹の断面には年輪が見られ、これを利用して木の年齢や生育環境の時間的特性を調べることができる。

• 記述幾何学
• 分解図
• グラフィック投影
• 設計図（図面）
• プロファイルゲージ
• 断面裏打ち材；材料の表現
• 割線平面

• アルバート、アブラハム・エイドリアン (2016) [1949]、『固体解析幾何学』、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-81026-3
• スチュワート、イアン（2001）、『フラットランド／フラットランドのように、ただもっとフラットランド』、パーサス出版、ISBN 0-7382-0675-X
• スウォコウスキー、アール・W. (1983)、解析幾何学を伴う微積分（別 版）、プリンドル、ウェーバー＆シュミット、ISBN 0-87150-341-7