シーハリオン実験

北緯56度40分4秒 西経4度5分52秒 / 北緯56.66778度 西経4.09778度 / 56.66778; -4.09778

シーハリオン実験は、地球の平均密度を決定するための18 世紀の実験です。王立協会の助成金を受けて、1774 年の夏にスコットランドのパースシャーにあるシーハリオン山の周辺で実施されました。実験では、近くの山の重力による垂直線のわずかなたわみを測定しました。シーハリオンは、その孤立性とほぼ対称的な形状により、候補となる山の調査後に理想的な場所であると考えられました。

この実験は、アイザック・ニュートンが自身の万有引力理論の実際的な実証として以前検討したが却下されていた。しかし、科学者チーム、特に王立天文官のネヴィル・マスケリンは、その効果が検出可能であると確信し、実験を行うことにした。偏向角は、地球と山の相対的な密度と体積に依存していた。つまり、シーハリオン山の密度と体積が判明すれば、地球の密度も判明する。これが判明すれば、それまで相対比でしか判明し ていなかった他の惑星、その衛星、太陽のおおよその値が判明することになる。

振り子は、対称的な重力場の中で真下にぶら下がっています。しかし、山などの十分に大きな質量が近くにある場合、その重力により振り子の下げ振りはわずかにずれます（つまり、地球の重心を指さなくなります）。星などの既知の物体に対する下げ振りの角度の変化は、山の反対側で注意深く測定することができます。山の質量が、その体積の測定とそこに含まれる岩石の平均密度の推定値から独立して確定できる場合、これらの値を外挿して地球の平均密度、ひいては質量を求めることができます。

アイザック・ニュートンはプリンキピアでこの効果について考察していたが^[1]、実際の山では測定できないほど小さな偏向しか生じないだろうと悲観的に考えていた。^[2]彼は、重力の影響は惑星規模でのみ認識できると書いている。^{[2]ニュートンの悲観論には根拠がなかった。彼の計算では偏差は2}分角未満 （理想的な高さ3マイル[5km]の山の場合）と示唆されていたが、この角度はごくわずかではあったものの、当時の機器の理論上の能力の範囲内だった。^[3]

ニュートンの考えを検証する実験は、彼の万有引力の法則と地球の質量と密度の推定の両方を裏付ける証拠を提供するだろう。天体の質量は相対比でしか知られていなかったため、地球の質量は他の惑星、その衛星、太陽の適切な値を提供するだろう。このデータからニュートンの万有引力定数 Gの値を決定することも可能だったが、これは実験者の目標ではなかった。G の値に関する言及は、ほぼ100 年も経ってから科学文献に現れることになる。^[4]

フランスの天文学者ピエール・ブーゲとシャルル・マリー・ド・ラ・コンダミーヌが、この実験に初めて挑戦し、標高6,268メートル（20,564フィート）のチンボラソ火山で測定を行った。当時、この火山はペルー副王領の「キトの王立公園」^[5]にあり、現在はエクアドル共和国のチンボラソ県にある。彼らの遠征隊は1735年にフランスを出発し、赤道近くの緯度1度の子午線弧の長さを測定しようと南米に向かったが、その機会を利用して偏向実験を試みた。1738年12月、地形と気候の非常に厳しい条件下で、彼らは高度4,680メートルと4,340メートルで2回の測定を行った。^{[6]ブーゲールは1749年の論文で、8}秒角の偏向を検出できたと書いたが 、その結果の重要性を軽視し、フランスやイギリスのより容易な条件下で実験を行った方がよいと示唆した。 ^{[3] [6]彼は、この実験によって少なくとも、}エドモンド・ハレーを含む当時の思想家が示唆したように、地球が中空の殻ではあり得ないことが証明されたと付け加えた。^[5]

1763年から1767年にかけて、ペンシルバニア州とメリーランド州の間のメイソン・ディクソン線の測量作業中に、イギリスの天文学者は予想以上に多くの系統的かつ非ランダムな誤差を発見し、作業が予定より長引いた。^[7]この情報が王立協会の会員に伝わると、ヘンリー・キャベンディッシュは、この現象は近くのアレゲニー山脈の重力によるものであり、おそらくセオドライトの鉛直線と水準器内の液体がそれたのではないかと考えた。^[8]

このニュースを受けて、 1772年に王立天文学者ネヴィル・マスケリンが王立協会にさらなる実験の試みを提案した。^[9]彼は、この実験は「それが行われた国に名誉を与える」と述べ、^[3]ヨークシャーのワーンサイド、またはカンバーランドのブレンカスラ・スキッドー山塊を適切な目標として提案した。王立協会は、この問題を検討するために誘致委員会を組織し、マスケリン、ジョセフ・バンクス、ベンジャミン・フランクリンを委員に任命した。^[10]委員会は、適切な山を見つけるために天文学者で測量士のチャールズ・メイソンを派遣した。^[1]

1773年の夏の長い探索の後、メイソンは、スコットランド高地中央部のテイ湖とラノッホ湖の間にある標高1,083メートルのシーハリオン山（当時はシェハリエンと綴られた）が最有力候補であると報告した。^{[10]この山は近くの丘陵から孤立しているため、重力の影響が少なく、東西に対称的な尾根によって計算が簡単になる。北側と南側の急斜面によって、実験を}山の重心近くに設置でき、偏向効果を最大化できる。

メイソンは、 1日1ギニーの報酬を提示されたが、自ら作業を行うことを断った。 ^[10]そのため、この仕事はマスケリンに委ねられ、彼は王立天文官としての職務を一時的に休むことを許された。この仕事では、数学者で測量士のチャールズ・ハットンと、王立グリニッジ天文台の数学者ルーベン・バロウの助けがあった。天文学者のための天文台の建設と測量の補助のため、労働者が雇われた。科学チームの装備は特に充実しており、天文機器には、 1769年のクックの金星通過探検隊の12インチ（30 cm）の真鍮製四分儀、10フィート（3.0 m）の天頂セクター、天文観測の時間を計るレギュレーター（精密振り子時計）が含まれていた。^[11]彼らはまた、山の測量のために経緯儀とグンターの鎖、高度を測定するための気圧計も手に入れた。^[11]金星の太陽面通過探検の予算が不足していたため、この実験には多額の資金が投入された。この探検はジョージ3世から協会に引き継がれていた。^{[1] [3]}

山の北と南に観測所が建設され、さらに機器と科学者を収容するための小屋も建てられました。 ^[6]これらの構造物の遺跡が山腹に残っています。作業員のほとんどは粗末なキャンバスのテントで寝泊まりしました。マスケリンによる天文測定は最初に行われたものでした。彼は一連の星々が真南 (天文緯度) を通過する正確な時刻に、鉛直線に対する天頂距離を決定する必要がありました。^{[3] [12] [13]}霧と雨のために天候はしばしば不利でした。しかし、南の観測所から、彼は一方向で34個の星について76回の測定を行い、次に他の方向で39個の星について93回の観測を行うことができました。次に北側から、彼は32個の星について68回の観測と37個の星について100回の観測を行いました。^[6]天頂セクターの平面を最初に東に向け、次に西に向ける一連の測定を行うことで、セクターの視準から生じる系統的誤差をうまく回避しました。 ^[1]

山による偏向を決定するには、地球の曲率を考慮する必要があった。北または南に移動する観測者は、測地緯度の変化と同じ角度で局所的な天頂がシフトするのを観察する。歳差運動、光行差、章動などの観測効果を考慮した後、マスケリンは、シーハリオンの北と南の観測者について、局所的に決定された天頂の差は54.6秒角であることを示した。^[6]測量チームが2つの観測所間の緯度差42.94″を提供すると、彼はこれを差し引き、観測の精度に合わせて丸めた後、北と南の偏向の合計は11.6″であると発表することができた。^{[3] [6] [14]}

マスケリンは1775年に王立協会の哲学論文集に最初の結果を発表した。 ^[14]山の形状と重心の位置に関する予備データを使用した。これにより、シーハリオンと地球の平均密度が等しい場合、たわみは20.9インチになると予想された。^{[3] [15]}たわみはこの半分程度であったため、地球の平均密度はシーハリオンの約2倍であると暫定的に発表することができた。より正確な値は測量の完了を待たなければならなかった。^[14]

マスケリンはこの機会を利用して、シーハリオン山が重力を引きつけ、したがってすべての山が重力を引きつけていること、そしてニュートンの万有引力の逆二乗の法則が確認されたことを指摘した。^{[14] [16]}感謝の意を表した王立協会は、1775年にマスケリンにコプリー賞を授与した。伝記作家のチャーマーズは後に「ニュートンのシステムの真実性に関してまだ疑問が残っていたとしても、それは今や完全に取り除かれた」と述べている。^[17]

測量チームの作業は悪天候のために大いに妨げられ、作業が完了するまでに1776年までかかりました。^{[15] [a]}山の体積を求めるには、山を垂直のプリズムに分割し、それぞれの体積を計算する必要がありました。チャールズ・ハットンが担当した三角測量作業は大変なものでした。測量士たちは、山の周囲の1000以上の地点に対して何千もの方位角を取得していたからです。 ^[18]さらに、プリズムの頂点は、測量した高さと必ずしも都合よく一致するわけではありませんでした。すべてのデータを理解するため、彼は、測定値の間に一定の間隔を置いて一連の線を補間し、等しい高さの点をマークするというアイデアを思いつきました。そうすることで、プリズムの高さを簡単に判断できるだけでなく、線の渦巻きから地形の形状を即座に把握することができました。ハットンは等高線を使用し、これはそれ以来、地図の起伏を描くために一般的に使用されるようになりました。^{[6] [18]}

ハットンはグリッドを形成する多数のプリズムそれぞれによる個々の引力を計算する必要があり、その作業は調査自体と同じくらい骨の折れる作業でした。この作業にさらに2年を費やした後、ハットンはその結果を1778年に王立協会に提出した100ページの論文にまとめました。^[19]緯度が重力に与える影響を考慮した彼の計算によると、地球とシーハリオンの密度が同じであれば、鉛直錘の地球への引力は、北と南の観測点で山に働く引力の合計の9,933倍になるという結果になりました。^[18]しかし、測定された11.6インチの偏向は、地球の引力が実際には17,804倍であることを意味しています。このことから、地球の平均密度は山の密度の約1.8倍であることがわかります。^{[15] [18] [19]}ハットンはシーハリオンの密度を2,500 kg·m ⁻³とし、地球の密度はこの1.8倍の4,500 kg·m ⁻³であると発表した。^[18]これは現代の値5,515 kg·m ⁻³と20%未満の差である。^[20]

地球の平均密度が表面の岩石の密度をはるかに超えるということは、当然のことながら、より深いところにもっと密度の高い物質が存在しているはずである。ハットンは、核物質はおそらく金属であり、密度は10,000 kg·m ⁻³である可能性があると正しく推測した。^[18]彼は、この金属部分が地球の直径の約 65% を占めると推定した。^[19]地球の平均密度の値により、ハットンはジェローム・ラランドの惑星表にいくつかの値を設定することができた。それまでは、主要な太陽系天体の密度を相対的にしか表すことができなかった。^[19]

地球の平均密度のより正確な測定は、シーハリオンの24年後の1798年にヘンリー・キャベンディッシュが精密なねじり天秤を使って大きな鉛の塊の間の引力を測定した時に行われた。キャベンディッシュの5,448 ± 33 kg·m ⁻³という数字は、当時受け入れられている値5,515 kg·m ⁻³のわずか1.2%しか違わず、彼の結果は1895年にチャールズ・ボーイズによって大幅に改善されるまで続かなかった。^[c]キャベンディッシュが実験を行った際の注意深さと結果の正確さから、それ以来彼の名前は実験と結び付けられるようになった。^[21]

スコットランドの科学者ジョン・プレイフェアは1811年にシーハリオンの2度目の調査を行い、岩石層の再検討に基づいて密度を4,560～4,870 kg·m ⁻³と推定したが^[22]、当時高齢だったハットンは1821年に協会に提出した論文で当初の値を強く擁護した^{[3] [23] 。プレイフェアの計算により密度は現代の値に近づいたが、それでもまだ低すぎ、数年前の}キャベンディッシュの計算 よりも大幅に劣っていた。

シーハリオン実験は1856年にイギリス陸地測量局長ヘンリー・ジェームズによって繰り返され、彼は代わりにエディンバラ中心部のアーサーズ・シートの丘を使用した。^{[6] [13] [24]イギリス陸地測量局の資源を自由に使えるようにして、ジェームズは地形調査を半径21キロメートルまで広げ、}ミッドロージアンの境界まで行った。彼は約5,300 kg·m ⁻³の密度を得た。^{[3] [15]}

2005 年に行われた実験では、1774 年の研究のバリエーションが行われました。天頂の局所的な差を計算する代わりに、この実験では、シーハリオン山の頂上と底部の振り子の周期を非常に正確に比較しました。振り子の周期は、局所的な重力加速度gの関数です。振り子は高度が高いほど遅く動くと予想されますが、山の質量がこの差を小さくする働きをします。この実験は、1774 年の実験よりもかなり簡単に実行できるという利点がありますが、必要な精度を達成するには、振り子の周期を 100 万分の 1 以内で測定する必要があります。^[12]この実験では、地球の質量は8.1 ± 2.4 × 10 ²⁴ kgと算出され、^[25]これは平均密度7,500 ± 1,900 kg·m ⁻³に相当します。^{[d] [より良い情報源が必要]}

地球物理学的データの現代的な再検討により、1774年のチームが考慮できなかった要因を考慮することができました。半径120 kmのデジタル標高モデル、シハリオンの地質に関する大幅に改善された知識、およびコンピューターの助けにより、2007年の報告書では地球の平均密度が5,480 ± 250 kg·m ⁻³と算出されました。^[26]現代の数字である5,515 kg·m ⁻³と比較すると、これはマスケリンの天文学的観測の正確さの証となりました。^[26]

右の力の図を考えてみましょう。この図では、たわみが大きく誇張されています。解析は、山の片側のみの引力を考慮することで簡略化されています。 ^[22]質量mの下げ振りが 、質量M _M、密度ρ _Mの山の 質量中心Pから距離d のところにあります 。下げ振りは、 Pに向かう引力Fと地球に向かう重さWにより 、小さな角度 θだけたわんでいます。WとFのベクトル和により、振り子の弦に張力Tが生じます。地球の質量は M _E、半径 r _E、密度 ρ _Eです。    

下げ振りにかかる 2 つの重力は、ニュートンの万有引力の法則によって与えられます。

${\displaystyle F={\frac {GmM_{M}}{d^{2}}},\quad W={\frac {GmM_{E}}{r_{E}^{2}}}}$

ここで、Gはニュートンの万有引力定数です。Gとm は、FとWの比をとることで除去できます。

${\displaystyle {\frac {F}{W}}={\frac {GmM_{M}/d^{2}}{GmM_{E}/r_{E}^{2}}}={\frac {M_{M}}{M_{E}}}\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)^{2}={\frac {\rho _{M}}{\rho _{E}}}{\frac {V_{M}}{V_{E}}}\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)^{2}}$

ここで、V _MとV _{E は}山と地球の体積です。静的平衡状態では、弦の張力 Tの水平成分と垂直成分は、重力と偏向角 θに関係します。

${\displaystyle W=T\cos \theta ,\quad F=T\sin \theta }$

T を代入すると:

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {F}{W}}={\frac {\rho _{M}}{\rho _{E}}}{\frac {V_{M}}{V_{E}}}\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)^{2}}$

V _E、V _M、r _{E は}すべて既知であり、 θは測定され、dは計算されているので、比ρ _E  :  ρ _Mの値 が得られます。^[22]

${\displaystyle {\frac {\rho _{E}}{\rho _{M}}}={\frac {V_{M}}{V_{E}}}\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)^{2}{\frac {1}{\tan \theta }}}$