連続の式

連続方程式または輸送方程式とは、ある量の輸送を記述する方程式です。保存量に適用する場合、特に単純かつ強力ですが、一般化して任意の示量性量にも適用できます。質量、エネルギー、運動量、電荷、その他の自然量は、それぞれの適切な条件下で保存されるため、連続方程式を用いて様々な物理現象を記述することができます。

連続方程式は、保存則のより強力な局所的な形式です。例えば、エネルギー保存則の弱いバージョンでは、エネルギーは生成も消滅もされない、つまり宇宙全体のエネルギーの総量は一定であるとされています。この記述は、ある地点からエネルギーが消滅すると同時に別の地点に現れる可能性を排除するものではありません。より強力な記述は、エネルギーは局所的に保存される、つまり生成も消滅もされず、ある場所から別の場所に「瞬間移動」することもできず、連続的な流れによってのみ移動する、というものです。連続方程式は、このような記述を数学的に表現する方法です。例えば、電荷の連続方程式は、空間の任意の体積内の電荷の量は、その体積の境界を通ってその体積に出入りする電流の量によってのみ変化すると述べています。

連続方程式は一般的に「ソース項」と「シンク項」を含むことができ、これにより、化学反応によって生成または消滅する分子種の密度など、保存されることが多いが常に保存されるとは限らない量を記述することができます。身近な例としては、生存者数を表す連続方程式があります。この方程式には、人が生まれることを表す「ソース項」と、人が死ぬことを表す「シンク項」が含まれています。

連続方程式は、任意の有限領域に適用される「積分形式」（フラックス積分による）または一点に適用される「微分形式」（発散演算子による）で表現できます。

連続方程式は、対流拡散方程式、ボルツマン輸送方程式、ナビエ・ストークス方程式などのより具体的な輸送方程式の基礎となる。

連続方程式によって支配される流れは、サンキー図を使用して視覚化できます。

一般式

フラックスの定義

連続の式は、流束を定義できる場合に有用です。流束を定義するには、まず質量、エネルギー、電荷、運動量、分子数など、流れたり移動したりする量 $qが存在する必要があります$ $。ρ を$ この量の体積密度、つまり単位体積あたりの $qの量とします。$

この量 $q$ の流れ方は、そのフラックスによって記述されます。q のフラックスはベクトル場であり、これをjと表記します。以下に $、$ フラックスの例と性質をいくつか示します。

フラックスの次元は「単位時間あたり、単位面積を通過する物質量 $q$ 」です。例えば、流れる水の質量保存の式において、断面積 1 cm²のパイプを毎秒 1 グラムの水が流れている場合、パイプ内部の平均質量フラックス $j$ は(1 g/s) / cm²^{であり、その方向は水の流れ方向と同じパイプ}^の長手方向になります。パイプの外側、つまり水が存在しない場所では、フラックスはゼロです。
関連する流れを記述する速度場 $u$ が存在する場合、つまり、点 $xにおける量$ $q$ のすべてが速度 $u$ $($ $x$ $)$ で移動している場合、定義により、流量は密度と速度場の積に等しくなります。

\mathbf {j} =\rho \mathbf {u}

例えば、流れる水の質量保存方程式において、

u が

各点での水の速度、

ρ が

各点での水の密度である場合、

j は

質量流量、すなわち物質流量となります。

よく知られた例では、電荷の流れは電流密度である。

仮想的な曲面 $S$ が存在する場合、 $S$ 上のフラックスの面積分は、単位時間あたりに曲面 $Sを通過する$ $q$ の量に等しい。

$\displaystyle (\text{仮想面 \S を通過する流量 \text{q} )=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} }$

その中で

{\textstyle \iint _{S}d\mathbf {S} }

これは面積分です。

（ここで「フラックス」と呼ばれる概念は、文献によっては「フラックス密度」とも呼ばれ、その場合「フラックス」はフラックス密度の面積積分を意味します。詳細はフラックスに関するメイン記事を参照してください。）

積分形式

連続方程式の積分形式は次のように表される。

ある領域における $q$ の量は、その領域の表面を通して追加の $qが内側に流入すると増加し、外側に流入すると減少する。$
領域内の $q$ の量は、その領域内で新たな $q$ が生成されると増加し、 $q$ が破壊されると減少する。
これら2つの過程を除けば、ある領域内の $q$ の量が変化する他の方法は存在しない。

数学的に、体積 $V内の$ $q$ の増加率を表す連続方程式の積分形式は次のようになる。

${\frac {\partial q}{\partial t}}+\oint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} =\Sigma$

連続方程式の積分形式において、 $S$ は体積 $V$ を完全に囲む任意の閉曲面であり、左側の曲面のいずれにも該当します。S $は$ 、右側の曲面のように境界を持つ曲面であってはなり*ません*。（曲面は青色、境界は赤色で示されています。）

どこ

$S$ は体積 $V$ を囲む任意の仮想閉曲面である。
$\oint _{S}d\mathbf {S}$ は、その閉曲面上の面積分を表す。
$qは体積$ $V$ に含まれる量の総量であり、
$jは$ $q$ のフラックスであり、
$時は来た$ 、
$Σ$ は、体積 $V内で単位時間あたりに生成される$ $q$ の正味の速度です。qが生成されているとき $（$ つまり、 $\displaystyle {\tfrac {\partial q}{\partial t}}>0}$ $）、この領域はq$ の発生源と呼ばれ、 $Σ$ をより正の値にします。q が破壊されるとき $（$ つまり、 ${\tfrac {\partial q}{\partial t}}<0$ $) この領域はq$ のシンクと呼ばれ、 $Σ$ をより負の値にします。項 $Σ$ は次のように表記されることもあります。 $dq/dt|_{\text{gen}}$ または、制御体積内でのqの生成または消滅による $q$ の総変化量。

簡単な例として、 $V$ を建物、 $q を$ 建物内の生存者数とします。表面 $S は$ 、建物の壁、ドア、屋根、基礎で構成されます。すると、連続の式は、建物内の生存者数が (1) 生存者が建物に入るとき (つまり、表面を通る内向きの流れがあるとき) 増加し、(2) 生存者が建物から出るとき (つまり、表面を通る外向きの流れがあるとき) 減少し、(3) 建物内の誰かが新しい生命を産むとき (つまり、体積内の時間変化率が正の場合) 増加し、(4) 建物内の誰かが死亡するとき (つまり、体積内の時間変化率が負の場合) 減少することを示しています。結論として、この例では、正味変化率 $Σ$ が変化する 4 つの明確な方法があります。

微分形式

発散定理により、一般的な連続方程式は「微分形式」でも記述できる。

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =\sigma$

どこ

$\nabla\cdotは$ 発散であり、
$ρ$ は量 $q$ の密度（つまり単位体積あたりの量 $q ）であり、$
$jは$ $q$ のフラックスです(つまりj = ρ v、ここでvは量 $q$ の動きを表すベクトル場です)。
$時は来た$ 、
$σは$ 、単位体積・単位時間あたりの $q$ の生成量を表す $。qを$ 生成する項（すなわち $σ > 0$ ）と $q$ を除去する項（すなわち $σ < 0 ）は、それぞれ$ 発生源と吸収源と呼ばれる。

この一般式は、体積連続方程式のような単純なものから、ナビエ・ストークス方程式のような複雑なものまで、あらゆる連続方程式を導出するために使用できます。この方程式は、移流方程式も一般化しています。ガウスの電場法則やガウスの重力法則など、物理学における他の方程式も、連続方程式と同様の数学的形式を持っていますが、これらの場合、 $j は$ 実際の物理量の流れを表していないため、通常は「連続方程式」という用語では呼ばれません。

$q$ が生成も消滅もされない保存量（エネルギーなど）である場合、 $σ = 0$ となり、方程式は次のようになる。 ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0$

電磁気

電磁気理論において、連続の式は（局所的な）電荷保存を表す経験則である。数学的には、電荷保存はマクスウェル方程式よりも基本的なものであるが、マクスウェル方程式の自動的な帰結である。この式は、電流密度 $J$ （アンペア毎平方メートル）の発散が電荷密度 $ρ$ （クーロン毎立方メートル）の負の変化率に等しいことを示している。 $\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$

マクスウェル方程式との整合性

マクスウェル方程式の1つであるアンペールの法則（マクスウェルの修正を加えたもの）は、次のように述べている。 $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.$

両辺の発散（時間可換における発散と偏微分）を取ると、 $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}},$ しかし、回転の発散はゼロなので、 $\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}}=0.$

しかし、ガウスの法則（別のマクスウェル方程式）によれば、 $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho ,$ これを前の式に代入すると、連続の式が得られる。 $\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.$

電流とは電荷の移動のことです。連続の式によれば、電荷が微小体積から流出する場合（すなわち、電流密度の発散が正の場合）、その体積内の電荷量は減少するため、電荷密度の変化率は負になります。したがって、連続の式は電荷保存則に相当します。

磁気単極子が存在する場合、単極子電流についても連続方程式が存在するはずです。背景と電気電流と磁気電流の双対性については、単極子に関する記事を参照してください。

流体力学

流体力学では、連続の式は、系に入る質量の速度は、系から出る質量の速度と系内の質量の蓄積の合計に等しいと述べています。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} 連続の式の微分形式は次のとおりです。^{[ 1 ]} ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$ どこ

$ρ$ は流体密度です。
$時は来た$ 、
$u$ は流速ベクトル場である。

時間微分はシステム内の質量の蓄積（または損失）として理解でき、発散項は流入と流出の差を表します。この文脈では、この方程式はオイラー方程式（流体力学）の1つでもあります。ナビエ・ストークス方程式は、線形運動量の保存を記述するベクトル連続方程式を形成します。

流体が非圧縮性（体積ひずみ速度がゼロ）の場合、質量連続方程式は体積連続方程式に単純化されます。^{[ 3 ]} $\nabla \cdot \mathbf {u} =0,$ つまり、速度場の発散はあらゆる場所でゼロになるということです。物理的には、これは局所的な体積膨張率がゼロであることと同義であり、したがって、水はほぼ非圧縮性であるため、収束するパイプを流れる水は、速度を増加させることによってのみ調整されます。

コンピュータビジョン

コンピュータビジョンにおいて、オプティカルフローとは、視覚シーンにおける物体の見かけ上の動きのパターンを指します。移動する物体の明るさが2つの画像フレーム間で変化していないという仮定の下では、オプティカルフローの式は次のように導出できます。 ${\frac {\partial I}{\partial x}}V_{x}+{\frac {\partial I}{\partial y}}V_{y}+{\frac {\partial I}{\partial t}}=\nabla I\cdot \mathbf {V} +{\frac {\partial I}{\partial t}}=0$ どこ

$時は来た$ 、
画像内の $x$ $、$ $y座標、$
$I$ $は画像座標(x, y)$ および時刻 $t$ における画像強度です。
$V$ は光流速度ベクトルである $(V_{x},V_{y})$ 画像座標 $(x, y)$ および時刻 $tにおいて$

エネルギーと熱

エネルギー保存の法則によれば、エネルギーは創造も破壊もされない。（一般相対性理論に関連するニュアンスについては下記を参照。）したがって、エネルギーの流れには連続の式が存在する。 ${\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {q} =0$ どこ

$u$ 、局所エネルギー密度（単位体積あたりのエネルギー）、
$q$ 、エネルギー流束（単位断面積あたり単位時間あたりのエネルギー伝達量）をベクトルとして表す。

重要な実例として、熱の流れがあります。固体内部で熱が流れる場合、連続の式とフーリエの法則（熱流束は温度勾配に比例する）を組み合わせることで、熱方程式が得られます。熱の流れの方程式には、ソース項が含まれる場合もあります。エネルギーは生成も消滅もされませんが、摩擦やジュール熱など、他の種類のエネルギーから熱を生成することができます。

確率分布

ブラウン運動をする単一の溶解分子の位置のように、確率的（ランダム）過程に従って連続的に移動する量がある場合、その確率分布には連続方程式が存在します。この場合のフラックスは、単位面積あたり、単位時間あたりに粒子が表面を通過する確率です。連続方程式によれば、このフラックスの負の発散は、確率密度の変化率に等しくなります。連続方程式は、分子が常にどこかに存在すること（その確率分布の積分は常に1に等しい）、そして分子が連続的に移動する（瞬間移動しない）という事実を反映しています。

量子力学

量子力学もまた、確率保存則に関連する連続方程式が存在する分野の一つです。この方程式に含まれる項は、以下の定義を必要とし、上記の他の例よりもやや分かりにくいため、ここで概説します。

位置空間（運動量空間ではなく）における単一粒子の波動関数 Ψ $は、位置$ $r$ と時間 $t$ の関数であり、 $Ψ = Ψ($ $r$ $,$ $t$ $)$ である。
確率密度関数は $\rho (\mathbf {r} ,t)=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)=|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}.$
時刻 $tにおいて$ $V$ 内に粒子が見つかる確率は、次のように表され定義される。 $P=P_{\mathbf {r} \in V}(t)=\int _{V}\Psi ^{*}\Psi dV=\int _{V}|\Psi |^{2}dV.$
確率流（確率フラックス）は $\mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right].$

これらの定義に基づくと、連続の式は次のようになる。 $\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0\mathrel {\rightleftharpoons } \nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0.$

どちらの形式でも引用できます。直感的に、上記の量はこれが確率の流れを表していることを示しています。ある位置 $r$ と時刻 $t$ で粒子を見つける確率は流体のように流れます。そのため、確率流、つまりベクトル場と呼ばれます。粒子自体はこのベクトル場の中で決定論的に流れるわけではありません。

シュレーディンガー方程式との整合性

時間依存シュレーディンガー方程式とその複素共役（ $i \to - i$ 全体を通して）はそれぞれ次のとおりです。^{[ 4 ]} ${\begin{aligned}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi &=i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi ^{*}&=-i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}},\\\end{aligned}}$ ここで、 $U$ はポテンシャル関数である。ρの $t$ に関する偏微分は次 $の$ ようになる。 ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\Psi ^{*}\Psi \right)=\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}.$

シュレーディンガー方程式に $Ψ$ $*$ を掛けて $Ψ* \partialΨ / \partial t を$ 解き、同様に複素共役シュレーディンガー方程式に $Ψを掛けて$ $Ψ \partialΨ * / \partial t$ を解きます $。$ ${\begin{aligned}\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right],\\\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right],\\\end{aligned}}$

$ρ$ の時間微分に代入すると： ${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right]\\&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]+{\frac {1}{i\hbar }}\left[+{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}-U\Psi ^{*}\Psi \right]\\[2pt]&=-{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}\\[2pt]&={\frac {\hbar }{2im}}\left[\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}-\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi \right]\\\end{aligned}}$

上記の結果におけるラプラシアン演算子（ $\nabla$ $2$ ）は、右辺が $j$ の発散であることを示唆しており、項の順序が逆になっていることから、これは全体として $j$ の負の値であることがわかります。 ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {j} &=\nabla \cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right)\right]\\&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)-\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\right]\\&=-{\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)-\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)\right]\\\end{aligned}}$ したがって、連続の式は次のようになります。 ${\begin{aligned}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \\[3pt]{}\Rightarrow {}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\\\end{aligned}}$

積分形式は一般式と同様である。

半導体

半導体における総電流は、伝導帯の電子と価電子帯の正孔の両方のドリフト電流と拡散電流から構成される。

一次元における電子の一般式： ${\frac {\partial n}{\partial t}}=n\mu _{n}{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n}{\partial x}}+D_{n}{\frac {\partial ^{2}n}{\partial x^{2}}}+(G_{n}-R_{n})$ どこ：

nは電子の局所濃度である。
$\mu _{n}$ 電子移動度
Eは空乏層にかかる電界である。
D _nは電子の拡散係数である。
G _nは電子の生成率である。
R _nは電子の再結合率である。

同様に、穴についても： ${\frac {\partial p}{\partial t}}=-p\mu _{p}{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p}{\partial x}}+D_{p}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+(G_{p}-R_{p})$ どこ：

pは局所的な正孔濃度である。
$\mu _{p}$ ホール移動度
Eは空乏層にかかる電界である。
D _pは正孔の拡散係数である
G _pは正孔の生成率である
R _pは正孔の再結合率である

導出

この節では、上記の式を電子について導出する。正孔についても同様の導出が可能である。

断面積A、x軸に沿った長さdxの半導体材料の体積全体で電子の数が保存されるという事実を考えてみましょう。より正確には、次のように言えます。 ${\text{Rate of change of electron density}}=({\text{Electron flux in}}-{\text{Electron flux out}})+{\text{Net generation inside a volume}}$

数学的には、この等式は次のように表すことができます。 ${\begin{aligned}{\frac {dn}{dt}}A\,dx&=\left[J(x+dx)-J(x)\right]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\&=\left[J(x)+{\frac {dJ}{dx}}dx-J(x)\right]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\[1.2ex]{\frac {dn}{dt}}&={\frac {1}{e}}{\frac {dJ}{dx}}+(G_{n}-R_{n})\end{aligned}}$ ここで、Jは半導体の対象となる体積内における電子の流れによる電流密度（慣例として電子の流れとは逆方向）を表す。これは電子電流密度とも呼ばれる。

全電子電流密度は、ドリフト電流密度と拡散電流密度の合計である。 $J_{n}=en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}$

したがって、私たちは ${\frac {dn}{dt}}={\frac {1}{e}}{\frac {d}{dx}}\left(en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}\right)+(G_{n}-R_{n})$

積の法則を適用すると、最終的な式は次のようになります。 ${\frac {dn}{dt}}=\mu _{n}E{\frac {dn}{dx}}+\mu _{n}n{\frac {dE}{dx}}+D_{n}{\frac {d^{2}n}{dx^{2}}}+(G_{n}-R_{n})$

解決

実際のデバイスでこれらの方程式を解くための鍵は、可能な限り、ほとんどのメカニズムが無視できる領域を選択し、方程式をはるかに単純な形に簡略化することです。

相対論的バージョン

特殊相対性理論

特殊相対性理論の記法とツール、特に4元ベクトルと4元勾配は、あらゆる連続方程式を記述するための便利な方法を提供する。

量の密度 $ρ$ とその電流 $jは$ 、4次元ベクトルである4 次元電流と呼ばれるものに組み合わせることができる。 $J=\left(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}\right)$ ここで、 $c$ は光速である。この電流の 4次元発散は次のようになる。 $\partial _{\mu }J^{\mu }=c{\frac {\partial \rho }{\partial ct}}+\nabla \cdot \mathbf {j}$ ここで、 $\partialμ は$ 4次元勾配であり、 $μ$ は時空次元を示す添え字である。すると、連続方程式は次のようになる。 $\partial _{\mu }J^{\mu }=0$ 通常、エネルギーや電荷などの完全に保存される量、つまり発生源や吸収源がない場合、この連続方程式は明らかに（「明白に」）ローレンツ不変です。

この形式でよく記述される連続方程式の例としては、電荷保存則などが挙げられる。 $\partial _{\mu }J^{\mu }=0$ ここで、 $J$ は電気4元電流であり、エネルギー・運動量保存則が成り立つ。 $\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0$ ここで、 $T$ は応力エネルギーテンソルである。

一般相対性理論

一般相対性理論では、時空が曲がっているため、エネルギー、電荷、その他の保存量に関する連続方程式（微分形式）には、通常の発散ではなく共変発散が含まれる。

例えば、応力エネルギーテンソルは、質量エネルギー分布のエネルギー運動量密度、エネルギー運動量フラックス、およびせん断応力を含む2階テンソル場である。一般相対性理論におけるエネルギー運動量保存の微分形式によれば、応力エネルギーテンソルの 共変発散はゼロである。 ${\displaystyle {T^{\mu }}_{\nu$

これは、一般相対性理論におけるアインシュタイン場の方程式の形式に対する重要な制約である。^[⁵^]

しかし、応力エネルギーテンソルの通常のダイバージェンスは必ずしもゼロになるわけではない。^{[ 6 ]} $\partial _{\mu }T^{\mu \nu }=-\Gamma _{\mu \lambda }^{\mu }T^{\lambda \nu }-\Gamma _{\mu \lambda }^{\nu }T^{\mu \lambda },$

右辺は、平面形状の場合にのみ厳密にゼロになる。

その結果、連続方程式の積分形式を定義することは難しく、時空が大きく曲がっている領域（例えばブラックホールの周囲や宇宙全体）では必ずしも有効ではない。^{[ 7 ]}

素粒子物理学

クォークとグルーオンは色電荷を持ち、これは電気電荷のように常に保存されます。また、このような色電荷電流には連続方程式があります（電流の明示的な式はグルーオン場強度テンソルで与えられます）。

素粒子物理学には、しばしば、あるいは常に保存される量が他にもたくさんあります。バリオン数（クォークの数から反クォークの数を引いた数に比例）、電子数、ミュー数、タウ数、アイソスピンなどです。^{[ 8 ]}これらのそれぞれには、ソース/シンク項を含む可能性のある対応する連続方程式があります。

ネーターの定理

物理学において保存方程式が頻繁に現れる理由の一つは、ノーターの定理である。この定理は、物理法則が連続対称性を持つ場合、何らかの保存量に対して連続方程式が存在すると述べている。最も有名な3つの例は以下のとおりである。

物理法則は時間経過に対して不変である。例えば、今日の物理法則は昨日の物理法則と同じである。この対称性から、エネルギー保存の法則を表す連続方程式が導かれる。
物理法則は空間移動に関して不変である。例えば、宇宙空間にあるロケットは、任意の方向（例えばx、y、z）に移動しても、異なる力やポテンシャルを受けることはなく、運動量の3つの成分が保存される。
物理法則は向きに関して不変です。例えば、宇宙空間に浮かんでいる場合、「どちらが上か」を判断するための測定方法はありません。物理法則は、どのような向きであっても同じです。この対称性から、角運動量保存の法則を表す連続の式が導かれます。

参考文献

1 2ペドロスキー、ジョセフ(1987)。地球物理流体力学。シュプリンガー。pp. 10–13。ISBN 978-0-387-96387-7。
↑クランシー、LJ（1975）、『空気力学』、第3.3節、ピットマン出版、ロンドン
↑フィールディング、スザンヌ。「流体力学の基礎」（PDF）。ダラム大学。 2019年12月22日取得。
↑この導出については、例えばMcMahon, D. (2006). Quantum Mechanics Demystified . McGraw Hill. ISBN を参照のこと。 0-07-145546-9。
↑ D. マクマホン (2006).相対性理論の解明. マグロウヒル (米国). ISBN 0-07-145545-0。
↑ CW ミスナー、KS ソーン、JA ウィーラー (1973)。重力。WH フリーマン社。ISBN 0-7167-0344-0。
↑マイケル・ワイス、ジョン・バエズ。「一般相対性理論ではエネルギーは保存されるのか？」。 2014年4月25日取得。
↑ CW ミスナー、KS ソーン、JA ウィーラー (1973)。重力。WH フリーマン社、558–559ページ。ISBN 0-7167-0344-0。

さらに読む

ラム、H. (2006) [1932].流体力学（第6 版）. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-45868-9。
グリフィス、DJ（1999）。電磁気学入門（第3 版）。ピアソン・エデュケーション社。ISBN 81-7758-293-3。
Grant, IS; Phillips, WR (2008).電磁気学. マンチェスター物理学シリーズ（第2 版）. ISBN 978-0-471-92712-9。
Wheeler, JA; Misner, C.; Thorne, KS (1973). Gravitation . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0。

[Pedlosky-1] 1 2ペドロスキー、ジョセフ(1987)。地球物理流体力学。シュプリンガー。pp. 10–13。ISBN 978-0-387-96387-7。

[2] クランシー、LJ（1975）、『空気力学』、第3.3節、ピットマン出版、ロンドン

[Fielding-3] フィールディング、スザンヌ。「流体力学の基礎」（PDF）。ダラム大学。 2019年12月22日取得。

[4] この導出については、例えばMcMahon, D. (2006). Quantum Mechanics Demystified . McGraw Hill. ISBN を参照のこと。 0-07-145546-9。

[5] D. マクマホン (2006).相対性理論の解明. マグロウヒル (米国). ISBN 0-07-145545-0。

[6] CW ミスナー、KS ソーン、JA ウィーラー (1973)。重力。WH フリーマン社。ISBN 0-7167-0344-0。

[7] マイケル・ワイス、ジョン・バエズ。「一般相対性理論ではエネルギーは保存されるのか？」。 2014年4月25日取得。

[8] CW ミスナー、KS ソーン、JA ウィーラー (1973)。重力。WH フリーマン社、558–559ページ。ISBN 0-7167-0344-0。

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一般式