微視的ダイナミクスから巨視的連続体ダイナミクスへのモデル縮小の階段におけるボルツマン運動方程式の位置（書籍[ 1 ] ボルツマン方程式 またはボルツマン輸送方程式 （BTE ）は、 平衡 状態にない熱力学系 の統計的挙動を記述するもので、 1872年にルートヴィヒ・ボルツマン によって考案されました。[ 2 ] 温度勾配 のある流体で、流体を構成する 粒子 のランダムだが偏った輸送によって、熱がより高温の領域からより低温の領域へと流れます。現代の文献では、ボルツマン方程式という用語は、エネルギー、電荷、粒子数など、熱力学系における巨視的な量の変化を記述するあらゆる運動方程式を指す、より一般的な意味で使われることがよくあります。
この方程式は、流体中の各粒子の個々の位置 と運動量 を分析することによってではなく、典型的な粒子の位置と運動量の確率分布、すなわち、粒子が特定の非常に小さな 空間領域（数学的には体積要素）を占める 確率を考慮することによって導き出される。 d 3 r {\displaystyle d^{3}\mathbf {r} } r {\displaystyle \mathbf {r} } p {\displaystyle \mathbf {p} } （したがって、運動量空間 のごく小さな領域を占める）d 3 p {\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }
ボルツマン方程式は、流体が輸送される際に、熱 エネルギーや運動量などの物理量がどのように変化するかを決定するために使用できます。また、 粘度 、熱伝導率 、電気伝導率 などの流体に特有の他の特性も導出できます（物質中の電荷キャリアを気体として扱うことによって）。[ 2 ] 対流拡散方程式 も参照してください。
この方程式は非線形 積分微分方程式 であり、方程式中の未知関数は粒子の位置と運動量の6次元空間における確率密度関数である。解の存在と一意性の問題はまだ完全には解決されていないが、最近のいくつかの結果は非常に有望である。[ 3 ] [ 4 ]
概要
位相空間と密度関数 すべての可能な位置r と運動量p の集合は、システムの位相空間 と呼ばれます。言い換えれば、各位置座標x、y、zに対して 3 つの 座標、各運動量成分 p x p y p z 次元 です。この空間内の点は( r , p ) = ( x、y、z、p x 、p y 、p z ) であり、各座標は時間t によってパラメータ化され ます。関連する微分要素は次のように記述されます。 d 3 r d 3 p = d x d y d z d p x d p y d p z 。 {\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}.}
r p 全て N 個の分子である確率はd 3 r d 3 p {\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} } f t における単位位相空間体積あたりの確率、または単位長さの 3 乗あたりの単位運動量の 3 乗あたりの確率を与える。これは確率密度関数 f ( r , p , t )d N = f （ r 、 p 、 t ） d 3 r d 3 p {\displaystyle dN=f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} } 分子 の数です。d 3 r {\displaystyle d^{3}\mathbf {r} } 運動量空間 要素内に存在するr d 3 p {\displaystyle d^{3}\mathbf {p} } tにおける p [ 5 ] 位置空間と運動量空間の領域にわたって積分すると 、その領域に位置と運動量を持つ粒子の総数が得られます。
N = ∫ m o m e n t 1 d 3 p ∫ p o s 私 t 私 o n s d 3 r f （ r 、 p 、 t ） = ∭ m o m e n t 1 ∭ p o s 私 t 私 o n s f （ x 、 y 、 z 、 p x 、 p y 、 p z 、 t ） d x d y d z d p x d p y d p z {\displaystyle {\begin{aligned}N&=\int \limits _{\mathrm {momenta} }d^{3}\mathbf {p} \int \limits _{\mathrm {positions} }d^{3}\mathbf {r} \,f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\\[5pt]&=\iiint \limits _{\mathrm {momenta} }\quad \iiint \limits _{\mathrm {positions} }f(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z},t)\,dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}\end{aligned}}}
これは6 重積分 です。f は複数の粒子に関連付けられていますが、 決定論的な 多体 システムでは通常すべての粒子の場合とは異なります) に対するものであり、問題となるr p r 1 p 1 、粒子 2 に対して r 2 p 2 Nに対して r N p N
システム内の粒子はすべて同一であると仮定します（つまり、それぞれが同一の質量 m を持ちます）。複数の化学種が 混在する混合物の場合、それぞれの化学種に対して1つの分布が必要となります（下記参照）。
基本声明 一般式は次のように書ける[ 6 ] d f d t = （ ∂ f ∂ t ） 力 + （ ∂ f ∂ t ） 差分 + （ ∂ f ∂ t ） コル 、 {\displaystyle {\frac {df}{dt}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{force}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{diff}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}},}
ここで、「force」項は粒子に外部から及ぼされる力（粒子自身による力ではない）に対応し、「diff」項は粒子の拡散 を表し、「coll」は衝突 項であり、衝突時に粒子間に作用する力を考慮に入れています。右辺の各項の式は以下に示されています。[ 6 ]
一部の著者は運動量p v p = m v
力と拡散の項 f （ 後者
時刻t において、ある数の粒子がすべて要素内の位置rにあると仮定します。 d 3 r {\displaystyle d^{3}\mathbf {r} } p d 3 p {\displaystyle d^{3}\mathbf {p} } F が t + Δ t r + Δ r = r + p m Δ t {\displaystyle \mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} =\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\,\Delta t} p + Δ p = p + F Δ t {\displaystyle \mathbf {p} +\Delta \mathbf {p} =\mathbf {p} +\mathbf {F} \Delta t} f は
f （ r + p m Δ t 、 p + F Δ t 、 t + Δ t ） d 3 r d 3 p = f （ r 、 p 、 t ） d 3 r d 3 p {\displaystyle f\left(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\,\Delta t,\mathbf {p} +\mathbf {F} \,\Delta t,t+\Delta t\right)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }
位相空間体積要素がd 3 r d 3 p {\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} } は一定であり、ハミルトンの方程式 を用いて示すことができる（リウヴィルの定理 の項を参照）。しかし、衝突は発生するため、位相空間体積内の粒子密度はd 3 r d 3 p {\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }
ここで、Δf は f の総 変化量で ある。( 1 d 3 r d 3 p Δ t {\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} \,\Delta t} そして、 Δt → 0 およびΔf → 0の 極限を取ると、次のようになる。
f 微分 は次のようになります。
ここで、∇ は勾配 演算子、· 内積 、 ∂ f ∂ p = e ^ x ∂ f ∂ p x + e ^ y ∂ f ∂ p y + e ^ z ∂ f ∂ p z = ∇ p f {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\mathbf {\hat {e}} _{x}{\frac {\partial f}{\partial p_{x}}}+\mathbf {\hat {e}} _{y}{\frac {\partial f}{\partial p_{y}}}+\mathbf {\hat {e}} _{z}{\frac {\partial f}{\partial p_{z}}}=\nabla _{\mathbf {p} }f} は∇ の運動量類似の略記であり、ê x ê y ê z はデカルト 単位ベクトル です。
最終声明 （３ dt ２
∂ f ∂ t + p m ⋅ ∇ f + F ⋅ ∂ f ∂ p = （ ∂ f ∂ t ） c o l l {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }}
この文脈では、F ( r , t )力場 であり、 mは粒子の 質量 です。右辺の項は粒子間の衝突の影響を表すために追加され、これがゼロであれば粒子は衝突しません。個々の衝突を長距離の集合的な相互作用（例えばクーロン相互作用）に置き換えた衝突のないボルツマン方程式は、しばしば ブラソフ方程式 と呼ばれます。
この方程式は上記の主方程式よりも有用ですが、f f を マクスウェル・ボルツマン分布 、フェルミ・ディラック分布、 ボーズ・アインシュタイン 分布など、粒子が従う統計に関する知識が必要となります。
2体衝突項 ボルツマン が用いた重要な洞察は、衝突前に無相関であると仮定される粒子間の2体衝突のみから生じる衝突項を決定することでした。この仮定はボルツマンによって「衝突項の 仮定」と呼ばれ、「分子カオス [ 2 ] （ ∂ f ∂ t ） コル （ r 、 p A 、 t ） = ∬ g 私 （ g 、 Ω ） [ f （ r 、 p A ′ 、 t ） f （ r 、 p B ′ 、 t ） − f （ r 、 p A 、 t ） f （ r 、 p B 、 t ） ] d Ω d 3 p B 、 {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{A},t)=\iint gI(g,\Omega )[f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} '_{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} '_{B},t)-f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{B},t)]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p} _{B},} p A p B A とBとラベル付け）の運動量であり、 p ′ A p ′ B g = | p B m − p A m | = | p B ′ m − p A ′ m | {\displaystyle g=\left|{\frac {\mathbf {p} _{B}}{m}}-{\frac {\mathbf {p} _{A}}{m}}\right|=\left|{\frac {\mathbf {p} '_{B}}{m}}-{\frac {\mathbf {p} '_{A}}{m}}\right|} は相対速度 の大きさであり、I ( g , Ω)微分断面積 であり、衝突する粒子の相対運動量は、衝突によって角度θだけ回転して 立体角 d Ω。gは p A p B p ′ p ′ B は p A p B θ ( d Ω に隠されている)の関数であることに注意してください。
衝突項の簡略化 ボルツマン方程式を解く際の課題の多くは複雑な衝突項に起因するため、衝突項を「モデル化」して単純化する試みがなされてきた。最もよく知られているモデル方程式は、Bhatnagar、Gross、Krookによるものである。[ 7 ]
∂ f ∂ t + p m ⋅ ∇ f + F ⋅ ∂ f ∂ p = ν （ f 0 − f ） 、 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\nu (f_{0}-f),}
どこν {\displaystyle \nu } f 0 {\displaystyle f_{0}}
インデックスでラベル付けされた化学種の混合物の場合私 = 1 、 2 、 3 、 … 、 n {\displaystyle i=1,2,3,\dots ,n} 種i の方程式は[ 2 ]
∂ f 私 ∂ t + p 私 m 私 ⋅ ∇ f 私 + F ⋅ ∂ f 私 ∂ p 私 = （ ∂ f 私 ∂ t ） コル 、 {\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m_{i}}}\cdot \nabla f_{i}+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\text{coll}},}
ここでf i = f i ( r , p i t )
（ ∂ f 私 ∂ t ） c o l l （ r 、 p 私 、 t ） = ∑ j = 1 n ∬ g 私 j 私 私 j （ g 私 j 、 Ω ） [ f 私 ′ f j ′ − f 私 f j ] d Ω d 3 p ′ 、 {\displaystyle \left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{i},t)=\sum _{j=1}^{n}\iint g_{ij}I_{ij}(g_{ij},\Omega )[f'_{i}f'_{j}-f_{i}f_{j}]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p'} ,}
ここでf ′ = f ′ ( p ′ i t )
g 私 j = | p 私 m 私 − p j m j | = | p 私 ′ m 私 − p j ′ m j | 、 {\displaystyle g_{ij}=\left|{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m_{i}}}-{\frac {\mathbf {p} _{j}}{m_{j}}}\right|=\left|{\frac {\mathbf {p} '_{i}}{m_{i}}}-{\frac {\mathbf {p} '_{j}}{m_{j}}}\right|,}
そして、I ij は、これまでと同様に、粒子i とj の間の微分断面積です。積分は、被積分関数内の運動量成分（i とj で示される）について行われます。積分の合計は、種i の粒子が位相空間要素に出入りする様子を表します。
アプリケーションと拡張機能
保存方程式 ボルツマン方程式は、質量、電荷、運動量、エネルギーに関する流体力学的保存則を導出するために使用できる。[ 8 ] ： 数密度 n は次のように与えられる。 n = ∫ f d 3 p 。 {\displaystyle n=\int f\,d^{3}\mathbf {p} .}
任意の関数A ⟨ A ⟩ = 1 n ∫ A f d 3 p 。 {\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {1}{n}}\int Af\,d^{3}\mathbf {p} .}
保存方程式にはテンソルが含まれるため、アインシュタインの総和規約が用いられ、積の中の添え字が繰り返される場合は、それらの添え字についての総和を表す。したがってx ↦ x 私 {\displaystyle \mathbf {x} \mapsto x_{i}} p ↦ p 私 = m v 私 {\displaystyle \mathbf {p} \mapsto p_{i}=mv_{i}} v 私 {\displaystyle v_{i}} A （ p 私 ） {\displaystyle A(p_{i})} p 私 {\displaystyle p_{i}} F 私 {\displaystyle F_{i}} f はゼロである。p 私 → ± ∞ {\displaystyle p_{i}\to \pm \infty } A を掛けて運動量について積分すると4つの項が得られ、部分積分を用いると次のように表すことができる。
∫ A ∂ f ∂ t d 3 p = ∂ ∂ t （ n ⟨ A ⟩ ） 、 {\displaystyle \int A{\frac {\partial f}{\partial t}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {\partial }{\partial t}}(n\langle A\rangle ),}
∫ p j A m ∂ f ∂ x j d 3 p = 1 m ∂ ∂ x j （ n ⟨ A p j ⟩ ） 、 {\displaystyle \int {\frac {p_{j}A}{m}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {1}{m}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(n\langle Ap_{j}\rangle ),}
∫ A F j ∂ f ∂ p j d 3 p = − n F j ⟨ ∂ A ∂ p j ⟩ 、 {\displaystyle \int AF_{j}{\frac {\partial f}{\partial p_{j}}}\,d^{3}\mathbf {p} =-nF_{j}\left\langle {\frac {\partial A}{\partial p_{j}}}\right\rangle ,}
∫ A （ ∂ f ∂ t ） コル d 3 p = ∂ ∂ t コル （ n ⟨ A ⟩ ） = 0 、 {\displaystyle \int A\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {\partial }{\partial t}}_{\text{coll}}(n\langle A\rangle )=0,}
最後の項はゼロとなる。なぜなら、衝突においてA モーメント に対応する。 v 私 {\displaystyle v_{i}} p 私 {\displaystyle p_{i}}
最初の瞬間 賃貸A = m （ v 私 ） 1 = p 私 {\displaystyle A=m(v_{i})^{1}=p_{i}} 運動量 に関して、積分されたボルツマン方程式は運動量保存方程式となる。 [ 8 ] ：
∂ ∂ t （ ρ V 私 ） + ∂ ∂ x j （ ρ V 私 V j + P 私 j ） − n F 私 = 0 、 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho V_{i})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(\rho V_{i}V_{j}+P_{ij})-nF_{i}=0,}
どこP 私 j = ρ ⟨ （ v 私 − V 私 ） （ v j − V j ） ⟩ {\displaystyle P_{ij}=\rho \langle (v_{i}-V_{i})(v_{j}-V_{j})\rangle } 粘性応力テンソル と静水圧 の合計）です。
2回目の瞬間 賃貸A = m （ v 私 ） 2 2 = p 私 p 私 2 m {\displaystyle A={\frac {m(v_{i})^{2}}{2}}={\frac {p_{i}p_{i}}{2m}}} 粒子の運動エネルギーを 考える [ 8 ] ：
∂ ∂ t （ u + 1 2 ρ V 私 V 私 ） + ∂ ∂ x j （ u V j + 1 2 ρ V 私 V 私 V j + J q j + P 私 j V 私 ） − n F 私 V 私 = 0 、 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(u+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(uV_{j}+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i}V_{j}+J_{qj}+P_{ij}V_{i}\right)-nF_{i}V_{i}=0,}
どこu = 1 2 ρ ⟨ （ v 私 − V 私 ） （ v 私 − V 私 ） ⟩ {\textstyle u={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (v_{i}-V_{i})(v_{i}-V_{i})\rangle } J q 私 = 1 2 ρ ⟨ （ v 私 − V 私 ） （ v k − V k ） （ v k − V k ） ⟩ {\textstyle J_{qi}={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (v_{i}-V_{i})(v_{k}-V_{k})(v_{k}-V_{k})\rangle }
ハミルトン力学 ハミルトン力学 では、ボルツマン方程式はより一般的に次のように記述されることが多い。 L ^ [ f ] = C [ f ] 、 {\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}[f]=\mathbf {C} [f],} L リウヴィル演算子 （リウヴィル演算子は、リンク先の記事で力ではなくハミルトニアンによって定義されていることに注意）であり、Cは衝突演算子である 。L L ^ N R = ∂ ∂ t + p m ⋅ ∇ + F ⋅ ∂ ∂ p 。 {\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.}
一般相対性理論と天文学 ボルツマン方程式は銀河力学において有用である。銀河は、ある仮定の下では連続流体として近似することができ、その質量分布はf で表される。銀河では、星間の物理的な衝突は非常にまれであり、重力衝突の影響は 宇宙の年齢 よりもはるかに長い時間にわたって無視できる。
一般相対性理論 におけるその一般化は[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] L ^ G R [ f ] = p α ∂ f ∂ x α − Γ β γ α p β p γ ∂ f ∂ p α = C [ f ] 、 {\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }[f]=p^{\alpha }{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial f}{\partial p^{\alpha }}}=C[f],} Γ α βγ は第 2 種のクリストッフェル記号 です(これは外部力が存在しないことを前提としており、粒子は衝突なしに測地線に沿って移動します)。重要な微妙な点は、密度が完全な反変( x i , p i ) 位相空間ではなく、混合反変共変( x i , p i ) 位相空間の関数であるということです。[ 15 ] [ 16 ]
物理宇宙論 では、宇宙マイクロ波背景放射の研究に完全共変アプローチが用いられてきた。[ 17 ] より一般的には、初期宇宙 の過程の研究において、量子力学 と一般相対性理論 の影響を考慮しようとする試みがしばしば行われる。[ 9 ] ビッグバン 後の原始プラズマによって形成された非常に高密度の媒体では、粒子が絶えず生成され、消滅する。このような環境では、量子コヒーレンス と波動関数 の空間的広がりがダイナミクスに影響を与える可能性があり、ボルツマン方程式に現れる古典的な位相空間分布f がシステムを記述するのに適しているかどうか疑問が生じる。しかし、多くの場合、量子場理論 の第一原理から一般化された分布関数に対する有効なボルツマン方程式を導出することが可能である。[ 10 ] これには、ビッグバン核合成 における軽元素の形成、暗黒物質 の生成、およびバリオン生成 が含まれる。
ボルツマン方程式の限界とさらなる応用 ボルツマン方程式はいくつかの仮定の下でのみ有効です。たとえば、粒子は点状、つまり有限のサイズを持たないと仮定されます。ボルツマン方程式の一般化として、エンスコッグ方程式 と呼ばれるものがあります。[ 26 ] 球 としてモデル化できます。
粒子には並進運動以外の自由度は想定されていない。内部自由度が存在する場合、ボルツマン方程式は一般化され、非弾性衝突が 生じる可能性がある。[ 26 ]
液体 や高密度ガスなどの多くの実際の流体は、上述の特徴に加えて、より複雑な衝突形態を持ち、二体衝突だけでなく、三体衝突やそれ以上の高次衝突も存在する。[ 27 ] これらはBBGKY階層 を使用して導出する必要がある。
ボルツマン方程式に似た方程式は、細胞 の動きにも使用されます。[ 28 ] [ 29 ] 複合粒子 であるため、対応する一般化ボルツマン方程式には非弾性衝突積分が必要です。このような方程式は、組織への癌細胞の浸潤、 形態形成 、および走化性 関連効果を記述できます。
ニュートン力学からボルツマン方程式を導出する長い道のり 2024年、Yu Deng 、Zaher Hani、Xiao Maは、ボルツマン方程式が実質的に無制限の時間間隔 で硬球の希薄気体のニュートン力学から厳密に導出できることを証明し、ランフォードの定理の大きな拡張を確立した。[ 30 ] オスカー・ランフォード によるブレークスルーを拡張し、対応するボルツマン方程式が古典的な解を許容する限り有効な完全な微視的から中間的導出を提供する。この研究は、粒子レベルのニュートン力学を中間的な運動学的記述と厳密に結び付けることで、ヒルベルトの第6問題の重要な側面に取り組み、時間反転可能な微視的法則から巨視的な不可逆性がどのように生じるかの理解に貢献する。
注記 ↑ Gorban, Alexander; Karlin, Ilya (2005). Invariant Manifolds for Physical and Chemical Kinetics . Lecture Notes in Physics. Vol. 660. doi : 10.1007/b98103 . ISBN 978-3-540-22684-0 。1 2 3 4 Encyclopaedia of Physics (第 2 版)、 RG Lerner 、GL Trigg、VHC 出版社、1991 年、ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1、ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3。 ↑ DiPerna, RJ; Lions, PL (1989). "ボルツマン方程式のコーシー問題について: 大域的存在と弱安定性". Annals of Mathematics . 130 (2): 321– 366. doi : 10.2307/1971423 . JSTOR 1971423 . ↑ Philip T. Gressman & Robert M. Strain (2010). "長距離相互作用を伴うボルツマン方程式のグローバルな古典解" . Proceedings of the National Academy of Sciences . 107 (13): 5744– 5749. arXiv : 1002.3639 . Bibcode : 2010PNAS..107.5744G . doi : 10.1073/pnas.1001185107 . PMC 2851887 . PMID 20231489 . ↑ Huang , Kerson (1987). 統計力学 （第2 版）. ニューヨーク：Wiley. p. 53. ISBN 978-0-471-81518-1 。1 2 McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (第2版)、SP Parker、1993年、 ISBN 0-07-051400-3 。 ↑ Bhatnagar, PL; Gross, EP; Krook, M. (1954 年 5 月). "気体中の衝突過程のモデル。I. 荷電および中性単成分系における小振幅過程". Physical Review . 94 (3): 511– 525. Bibcode : 1954PhRv...94..511B . doi : 10.1103/PhysRev.94.511 . 1 2 3 4 de Groot, SR; Mazur, P. (1984). 非平衡熱力学 . ニューヨーク: Dover Publications Inc. ISBN 978-0-486-64741-8 。1 2 エドワード・コルブ＆マイケル・ターナー（1990）。 初期宇宙 。ウェストビュー・プレス 。ISBN 978-0-201-62674-2 。1 2 Drewes, Marco; Mendizabal, Sebastián; Weniger, Christoph (2013 年 1 月). "量子場理論からのボルツマン方程式". Physics Letters B . 718 (3): 1119– 1124. arXiv : 1202.1301 . Bibcode : 2013PhLB..718.1119D . doi : 10.1016/j.physletb.2012.11.046 . ↑エリス 、 ジョージ F.R. (1971)。「相対論的宇宙論」。 『一般相対性理論と宇宙論』 。アカデミック・プレス。104–頁 。ISBN 978-0-12-368847-7 . OCLC 1149235989 . ↑ RK サックス（アカデミック・プレス、ニューヨーク） ↑ Thorne, Kip S. (1980年4月). "重力放射の多重極展開" . Reviews of Modern Physics . 52 (2): 299–339 . Bibcode : 1980RvMP...52..299T . doi : 10.1103/RevModPhys.52.299 . ↑ Ellis, GFR; Treciokas, R; Matravers, DR (1983 年 10 月). "アインシュタイン・ボルツマン方程式の異方性解。II. 方程式のいくつかの厳密な性質". Annals of Physics . 150 (2): 487– 503. Bibcode : 1983AnPhy.150..487E . doi : 10.1016/0003-4916(83)90024-6 . ↑ Debbasch, Fabrice; Willem van Leeuwen (2009). "一般相対論的ボルツマン方程式 I: 共変的処理". Physica A . 388 (7): 1079– 1104. Bibcode : 2009PhyA..388.1079D . doi : 10.1016/j.physa.2008.12.023 . ↑ Debbasch, Fabrice; Willem van Leeuwen (2009). "一般相対論的ボルツマン方程式 II: 明らかに共変的な扱い". Physica A . 388 (9): 1818– 34. Bibcode : 2009PhyA..388.1818D . doi : 10.1016/j.physa.2009.01.009 . ↑ Maartens, Roy; Gebbie, Tim; Ellis, George (1999年3月)「宇宙マイクロ波背景放射の異方性：非線形ダイナミクス」 Physical Review D. 59 ( 8) 083506. arXiv : astro-ph/9808163 . Bibcode : 1999PhRvD..59h3506M . doi : 10.1103/PhysRevD.59.083506 . ↑ Gressman, Philip; Strain, Robert (2011年3月18日)「角度カットオフなしのボルツマン方程式のグローバルな古典解」 Journal of the American Mathematical Society . 24 (3): 771– 847. arXiv : 0912.0888 . doi : 10.1090/S0894-0347-2011-00697-8 . ↑ Truesdell, RG; Muncaster, C. (1980). "第14章および第15章". 単原子ガスのマクスウェル運動論の基礎 . Academic Press. ISBN 978-0-12-701350-3 。↑ Evans, Ben; Morgan, Ken; Hassan, Oubay (2011 年 3 月). "マクロな気体の流れに対する衝突のない BGK 形式のボルツマン運動方程式の不連続有限要素解" . Applied Mathematical Modelling . 35 (3): 996– 1015. doi : 10.1016/j.apm.2010.07.027 . ↑ Evans, B.; Walton, SP (2017 年 12 月). "ボルツマン-BGK 方程式の解と進化的最適化に基づく極超音速再突入機の空力最適化" . Applied Mathematical Modelling . 52 : 215– 240. doi : 10.1016/j.apm.2017.07.024 . ↑ Pareschi, Lorenzo ; Russo, Giovanni (2000 年 1 月). "ボルツマン方程式の数値解法 I: 衝突演算子のスペクトル的に正確な近似". SIAM Journal on Numerical Analysis . 37 (4): 1217– 1245. doi : 10.1137/S0036142998343300 . ↑ Müller-Kirsten, Harald JW (2013). "ボルツマン輸送方程式". 統計物理学の基礎 . pp. 207–221 . doi : 10.1142/9789814449540_0013 . ISBN 978-981-4449-53-3 。↑ チャップマン、シドニー；カウリング、TG（1990）。 不均一気体の数学理論：気体中の粘性、熱伝導、拡散の運動論的理論の説明 。ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-0-521-40844-8 。↑ 「特集号『ヒルベルトの第六問題』」 Philosophical Transactions of the Royal Society A . 376 (2118). 2018. doi : 10.1098/rsta/376/2118 .1 2セルチニャーニ、カルロ (2007)。「気体 と 粒状物質の力学の微視的基礎」。 複雑体における物質のサブストラクチャ 。pp . 63–79。doi : 10.1016/B978-008044535-9 / 50003-0。ISBN 978-0-08-044535-9 。↑ van Noije, TPC; Ernst, MH (1997-06-03). "理想化された粒状ガスのリング運動論". arXiv : cond-mat/9706020 . ↑ Chauviere, A.; Hillen, T.; Preziosi, L. (2007年3月). "異方性および不均一なネットワーク組織における細胞運動のモデリング" (PDF) . Networks and Heterogeneous Media . 2 (2): 333– 357. doi : 10.3934/nhm.2007.2.333 . ↑ Conte, Martina; Loy, Nadia (2022年3月) 「走化性を持つ繊維ネットワーク上の細胞移動のための非局所センシングを備えたマルチキュー運動モデル」 . Bulletin of Mathematical Biology . 84 (3): 42. doi : 10.1007/s11538-021-00978-1 . PMC 8840942 . PMID 35150333 . ↑ Deng, Yu; Hani, Zaher; Ma, Xiao (2024). "Long time derivation of the Boltzmann equation from hard sphere dynamics". arXiv : 2408.07818 [ math.AP ].
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外部リンク フランツ・ヴェセリーによるボルツマン輸送方程式 ボルツマンの気体挙動が解決されました
![{\displaystyle {\begin{aligned}N&=\int \limits _{\mathrm {momenta} }d^{3}\mathbf {p} \int \limits _{\mathrm {positions} }d^{3}\mathbf {r} \,f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\\[5pt]&=\iiint \limits _{\mathrm {momenta} }\quad \iiint \limits _{\mathrm {positions} }f(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z},t)\,dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b327c42307a386d67e8a4fa12efe01021026450)
![{\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{A},t)=\iint gI(g,\Omega )[f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} '_{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} '_{B},t)-f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{B},t)]\,d\オメガ \,d^{3}\mathbf {p} _{B},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b999c9e083cedf7729c3c27d06991ca0bea69949)
![{\displaystyle \left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{i},t)=\sum _{j=1}^{n}\iint g_{ij}I_{ij}(g_{ij},\Omega )[f'_{i}f'_{j}-f_{i}f_{j}]\,d\オメガ \,d^{3}\mathbf {p'} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5833d1ae216d9cd722c60ca8592a05e3cdbe52)
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}[f]=\mathbf {C} [f],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc9ebdd983cfacf4edf3d01652ccc5000c47549a)
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }[f]=p^{\alpha }{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial f}{\partial p^{\alpha }}}=C[f],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4bababf62a93544e0c4dc1213184963b585dc1d)