保存フォーム

保存形式またはオイラー形式とは、表現される特性が保存されることを強調する方程式または方程式系の配置を指し、通常は双曲系を表します。つまり、連続方程式の一種です。この用語は通常、連続体力学の文脈で使用されます。

保存形式の方程式は、任意の保存量 に対して、適切な関数 を伴うの形をとります 。この形式の方程式は、発散定理 を 使用して積分方程式に変換できます。積分方程式は、任意の制御ボリューム上の量の積分の変化率が、境界を通る外面法線を伴う制御ボリュームの境界を通るフラックスによって与えられることを述べています。は の内部で生成も消費もされないため、保存されます。 の一般的な選択はで、速度 を持ち、量が指定された速度場とともに流れることを意味します。 $${\displaystyle {\frac {d\xi }{dt}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {f} (\xi )=0}$$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \mathbf {f} }$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{V}\xi ~dV=-\oint _{\partial V}\mathbf {f} (\xi )\cdot {\boldsymbol {\nu }}~dS}$$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (\xi )}$${\displaystyle {\boldsymbol {\nu }}}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle \mathbf {f} (\xi )=\xi \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \xi}$

このような方程式の積分形式は通常、物理的により自然な定式化であり、微分方程式は微分から生じます。積分方程式は微分不可能な解を持つこともあるため、両方の定式化の等式が破綻するケースもあり、そのような方程式のシミュレーションでは 弱い解と深刻な数値的困難が生じます。

保存形式で書かれた方程式の例としては、流体の流れに関する オイラー方程式が挙げられます。$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \rho \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+pV))=0}$$

これらはそれぞれ質量、運動量、エネルギーの保存を表します。

• 保存法
• 流れ場のラグランジアンとオイラーの指定

• Toro, EF (1999).流体力学のためのリーマンソルバーと数値解析法. Springer-Verlag. ISBN 3-540-65966-8。
• Randall J. LeVeque:双曲型問題に対する有限体積法。ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、2002年、ISBN 0-521-00924-3 ( Cambridge Texts in Applied Mathematics )。