電子移動度

外部電場が印加されていない場合、固体中では電子と正孔はランダムに動き回ります。したがって、平均的には、電荷キャリアが特定の方向に全体的に移動することはありません。

しかし、電場が印加されると、各電子または正孔は電場によって加速されます。電子が真空中にある場合、速度は絶えず増加し続けます（これを弾道輸送と呼びます）。しかし、固体中では、電子は結晶欠陥、フォノン、不純物などによって繰り返し散乱されるため、エネルギーの一部を失い、方向が変わります。最終的に、電子は有限の平均速度で移動します。これをドリフト速度と呼びます。この正味の電子の運動は、通常発生するランダムな運動よりもはるかに遅いのが一般的です。

電子と正孔という2種類の電荷キャリアは、同じ電場下でも通常は異なるドリフト速度を持つ。

固体中では、電子が非常に短い距離（平均自由行程と同程度）または非常に短い時間（平均自由時間と同程度）加速される場合、準弾道輸送が起こり得る。このような場合、ドリフト速度と移動度は意味を持たない。

電子移動度は、次の式で定義されます。 $${\displaystyle v_{d}=\mu _{e}E.}$$ どこ：

• Eは物質に印加される電場の大きさであり、
• v _dは電界によって引き起こされる電子ドリフト速度の大きさ（言い換えれば電子ドリフト速度）であり、
• μe_は電子移動度である。

正孔移動度は、同様の式で定義される。 $${\displaystyle v_{d}=\mu _{h}E.}$$ 電子移動度と正孔移動度は、定義上、いずれも正の値をとる。

通常、物質中の電子のドリフト速度は電界に正比例するため、電子の移動度は一定（電界に依存しない）となります。しかし、そうでない場合（例えば、非常に強い電界の場合）、移動度は電界に依存します。

速度のSI単位はm/s、電場のSI単位はV / mです。したがって、移動度のSI単位は(m/s)/(V/m) = m² ^/ ( V・s )となります。しかし、移動度は^cm² /(V・s) = 10⁻⁴ ^m² / ( ^V・s)で表されることがはるかに一般的です。

移動度は通常、材料の不純物と温度に大きく依存し、経験的に決定されます。移動度の値は一般的に表またはグラフの形式で示されます。また、同じ材料でも電子と正孔の移動度は異なります。

ニュートンの第二法則から始めましょう。 $${\displaystyle a=F/m_{e}^{*}}$$ どこ：

• aは衝突間の加速度である。
• Fは電場によって及ぼされる電気力であり、
• ${\displaystyle m_{e}^{*}}$は電子の有効質量である。

電子にかかる力は − eEなので、 $${\displaystyle a=-{\frac {eE}{m_{e}^{*}}}}$$

これは電子が衝突する間の加速度です。したがって、ドリフト速度は次のようになります。 $${\displaystyle v_{d}=a\tau _{c}=-{\frac {e\tau _{c}}{m_{e}^{*}}}E,}$$どこ$\displaystyle \tau _{c}}$平均自由時間は

我々はドリフト速度が電場によってどのように変化するかだけを気にしているので、緩やかな項をまとめて次の式を得る。 $${\displaystyle v_{d}=-\mu _{e}E,}$$どこ${\displaystyle \mu _{e}={\frac {e\tau _{c}}{m_{e}^{*}}}}$

同様に、穴については次のようになります。 $${\displaystyle v_{d}=\mu _{h}E,}$$どこ${\displaystyle \mu _{h}={\frac {e\tau _{c}}{m_{h}^{*}}}}$ 電子移動度と正孔移動度はどちらも正の値であることに注意してください。電子のドリフト速度には、負電荷を考慮するためにマイナス符号が付けられています。

電界によって生じるドリフト電流密度は、ドリフト速度から計算できます。断面積 A、長さ l、電子濃度 n のサンプルを考えます。各電子が運ぶ電流は${\displaystyle -ev_{d}}$したがって、電子による全電流密度は次のように表される。 $${\displaystyle J_{e}={\frac {I_{n}}{A}}=-env_{d}}$$ 式を使用して${\displaystyle v_{d}}$与える $${\displaystyle J_{e}=ja\mu _{e}E}$$ 同様の方程式は正孔にも適用されます（正孔の電荷は正であることに注意）。したがって、正孔による電流密度は次のように与えられます。 $${\displaystyle J_{h}=ep\mu _{h}E}$$ ここで、pは正孔濃度であり、${\displaystyle \mu _{h}}$ホールの移動度。

全電流密度は、電子成分と正孔成分の合計である。 $${\displaystyle J=J_{e}+J_{h}=(en\mu _{e}+ep\mu _{h})E}$$

我々は以前、電子移動度と電流密度の関係を導出した。 $${\displaystyle J=J_{e}+J_{h}=(en\mu _{e}+ep\mu _{h})E}$$オームの法則は 次の形式で表すことができます。 $${\displaystyle J=\sigma E}$$ どこ${\displaystyle \sigma }$は導電率として定義されます。したがって、次のように記述できます。 $${\displaystyle \sigma =en\mu _{e}+ep\mu _{h}}$$ これは次のように因数分解できます $${\displaystyle \sigma =e(n\mu _{e}+p\mu _{h})}$$

nとpが距離によって変化する領域では、導電率による電流に拡散電流が重畳される。この拡散電流はフィックの法則によって支配される。 $${\displaystyle F=-D_{\text{e}}\nabla n}$$ どこ：

• Fは流量を表す。
• D _eは拡散係数または拡散率である。
• ${\displaystyle \nabla n}$電子の濃度勾配

電荷キャリアの拡散係数は、アインシュタインの関係式によってその移動度と関連付けられます。古典的な系（例えばボルツマン気体）の場合、それは次のようになります。 $${\displaystyle D_{\text{e}}={\frac {\mu _{\text{e}}k_{\mathrm {B} }T}{e}}}$$ どこ：

• k _Bはボルツマン定数である
• Tは絶対温度です
• eは電子の電荷である。

フェルミ気体（フェルミ液体）で記述される金属の場合、アインシュタインの関係式の量子版を使用する必要があります。通常、温度はフェルミエネルギーよりもはるかに小さいため、次の式を使用する必要があります。 $${\displaystyle D_{\text{e}}={\frac {\mu _{\text{e}}E_{\text{F}}}{e}}}$$ どこ：

• E _Fはフェルミエネルギーです

半導体は、通常イオン化され電荷を帯びたドナーおよび/またはアクセプターでドーピングされます。クーロン力は、イオン化された不純物に近づく電子または正孔を偏向させます。これはイオン化不純物散乱として知られています。偏向の量は、キャリアの速度とイオンとの距離に依存します。材料のドーピング濃度が高いほど、一定時間内にキャリアがイオンと衝突する確率が高くなり、衝突間の平均自由時間が短くなり、移動度が低くなります。クーロンポテンシャルの長距離性により、これらの相互作用の強さを決定する際には、他の不純物や自由キャリアによって、キャリアとの相互作用の範囲が、純粋なクーロン相互作用と比較して大幅に減少します。

これらの散乱体が界面付近にある場合、結晶欠陥や乱れの存在により問題の複雑さが増します。自由キャリアを散乱させる電荷トラップ中心は、多くの場合、ダングリングボンドに関連する欠陥によって形成されます。電荷をトラップした後、欠陥が帯電し、自由キャリアと相互作用し始めるため、散乱が発生します。散乱キャリアが界面の反転層にある場合、キャリアの次元が減少するため、キャリアが2次元でのみ移動するバルク不純物散乱の場合とは異なります。界面の粗さも短距離散乱を引き起こし、界面における準2次元電子の移動度を制限します。^{[ 15 ]}

絶対零度以上の温度では、振動する原子が結晶内に圧力波（音響波）を発生させ、これをフォノンと呼びます。電子と同様に、フォノンも粒子とみなすことができます。フォノンは電子（または正孔）と相互作用（衝突）して散乱させます。温度が高くなるとフォノンの数が増え、電子散乱も増加するため、移動度は低下する傾向があります。

圧電効果は、化合物半導体の極性のため、化合物半導体でのみ発生します。ほとんどの半導体では小さいですが、キャリアを偏向させることで散乱を引き起こす局所的な電場につながる可能性があります。この効果は、他の散乱機構が弱い低温で特に重要です。これらの電場は、格子内の特定の方向に歪みが加わることによって基本単位セルが歪むことから生じます。^{[ 15 ]}

界面の乱れによって引き起こされる表面粗さ散乱は、界面における準二次元電子の移動度を制限する短距離散乱である。高分解能透過型電子顕微鏡像から、界面は原子レベルでは急峻ではなく、界面平面の実際の位置は表面に沿って1つまたは2つの原子層にわたって変化することが確認されている。これらの変化はランダムであり、界面のエネルギー準位の変動を引き起こし、それが散乱を引き起こす。^{[ 15 ]}

多くの熱電材料がそうである化合物（合金）半導体では、関連する副格子内の置換原子種のランダムな配置による結晶ポテンシャルの摂動によって引き起こされる散乱は、合金散乱として知られています。これは、結晶構造の副格子（サブ格子）内のいくつかの原子をランダムに置換することによって結晶構造が形成されるため、三元合金またはそれ以上の合金でのみ発生します。一般に、この現象は非常に弱いですが、特定の材料または状況では、導電率を制限する支配的な効果になる可能性があります。バルク材料では、界面散乱は通常無視されます。^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

非弾性散乱過程では、大きなエネルギー交換が起こります。弾性フォノン散乱と同様に、非弾性の場合も、原子振動によって引き起こされるエネルギーバンドの変形からポテンシャルが生じます。非弾性散乱を引き起こす光学フォノンのエネルギーは通常 30～50 meV の範囲ですが、比較のために、音響フォノンのエネルギーは通常 1 meV 未満ですが、10 meV 程度のエネルギーを持つものもあります。散乱過程中にキャリアエネルギーが大きく変化します。光学フォノンまたは高エネルギー音響フォノンは、谷間散乱またはバンド間散乱も引き起こす可能性があり、これは散乱が単一の谷内に限定されないことを意味します。^{[ 15 ]}

パウリの排他原理により、電子密度が 10 ¹⁶  ~  10 ¹⁷ cm ⁻³または電場値が 10 ³ V/cmを超えない限り、電子は相互作用しないと考えることができます。しかし、これらの限界を大幅に超えると、電子間散乱が支配的になります。電子間の相互作用を支配するクーロンポテンシャルの長距離性と非線形性により、これらの相互作用を扱うのは困難です。^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

単純なモデルでは、散乱時間（散乱イベント間の平均時間）と移動度の間の近似的な関係が与えられます。各散乱イベントの後、キャリアの動きはランダム化され、平均速度はゼロになると仮定します。その後、再び散乱するまで、電場内で均一に加速します。結果として得られる平均ドリフト移動度は次のようになります。^{[ 20 ]}$${\displaystyle \mu ={\frac {q}{m^{*}}}{\overline {\tau }}}$$ ここで、 qは素電荷、m *はキャリアの有効質量、τは平均散乱時間である。

有効質量が異方性（方向依存性）である場合、m * は電場の方向における有効質量である。

通常、散乱源は複数存在し、例えば不純物と格子フォノンの両方が挙げられます。通常、これらの影響を「マティッセンの法則」（1864年にアウグストゥス・マティッセンの研究に基づいて開発された）を用いて組み合わせることで、非常に良い近似が得られます。

$${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {不純物}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {格子}}}}.}$$ ここでμは実際の移動度であり、${\displaystyle \mu _{\rm {不純物}}}$は、不純物散乱は存在するが他の散乱源がない場合に材料が持つ移動度であり、${\displaystyle \mu _{\rm {格子}}}$これは、格子フォノン散乱は存在するが他の散乱源がない場合に材料が持つ移動度です。他の散乱源については、例えば、他の項を追加することができます。 $${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {不純物}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {格子}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {欠陥}}}}+\cdots .}$$ マティッセンの法則は、散乱時間を用いて次のように表現することもできる。 $$\displaystyle {\frac {1}{\tau }}={\frac {1}{\tau _{\rm {不純物}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {格子}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {欠陥}}}}+\cdots .}$$ ここで、τは真の平均散乱時間であり、_{τimpuritiesは}不純物散乱はあったが他の散乱源がなかった場合の散乱時間などである。

マティッセンの法則は近似であり、普遍的に有効ではありません。移動度に影響を与える要因が互いに依存している場合、この法則は有効ではありません。個々の散乱確率は互いに独立していない限り合計できないためです。^{[ 19 ]} キャリアの平均自由飛行時間、したがって緩和時間は、散乱確率に反比例します。^{[ 15 ] [ 16 ] [ 18 ]}例えば、格子散乱は平均電子速度（電場方向）を変化させ、それが不純物からの散乱傾向を変化させます。これらの効果を考慮しようとする、より複雑な式があります。^{[ 21 ]}

温度が上昇すると、フォノン濃度が増加し、散乱が増加します。そのため、格子散乱は高温になるほどキャリア移動度を低下させます。理論計算によると、シリコンやゲルマニウムなどの非極性半導体の移動度は音響フォノン相互作用によって支配されます。結果として得られる移動度はT ^−3/2に比例すると予想され、光学フォノン散乱のみによる移動度はT ^−1/2に比例すると予想されます。実験的には、Si、Ge、GaAs の移動度の温度依存性の値が表に示されています。^{[ 22 ]}  

として${\textstyle {\frac {1}{\tau }}\propto \left\langle v\right\rangle \Sigma }$、 どこ${\displaystyle \Sigma }$は散乱中心における電子と正孔の散乱断面積であり、${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$は、下部伝導帯または上部価電子帯のすべての電子または正孔速度に対する熱平均（ボルツマン統計）であり、移動度の温度依存性を決定できます。ここでは、散乱断面積について次の定義が使用されます。単位時間あたりに立体角dΩ に散乱される粒子の数を、単位時間あたりに面積あたりに散乱される粒子の数（入射強度）で割ったもので、これは古典力学から来ています。ボルツマン統計は半導体に対して有効であるため、${\displaystyle \left\langle v\right\rangle \sim {\sqrt {T}}}$。

音響フォノンからの散乱の場合、デバイ温度をはるかに超える温度では、推定断面積 Σ _{ph は、フォノンの平均振動振幅の二乗から決定され、} Tに比例します。荷電欠陥（イオン化されたドナーまたはアクセプター）からの散乱は、断面積につながります。$${\displaystyle {\Sigma }_{\text{def}}\propto {\left\langle v\right\rangle }^{-4}}$$この式は、点電荷（キャリア）が別の点電荷（欠陥）のそばを通過する際にクーロン相互作用を受ける「ラザフォード散乱」の散乱断面積を表しています。

半導体におけるこれら 2 つの散乱機構の温度依存性は、τ、Σ およびの式を組み合わせることによって決定できます。${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$音響フォノンからの散乱のため${\displaystyle \mu _{\text{ph}}\sim T^{-3/2}}$帯電した欠陥から$\displaystyle {\mu }_{\text{def}}\sim T^{3/2}}$[ ^{16 ] [ 18 ]​}

しかし、イオン化不純物散乱の影響は、キャリアの平均熱速度が増加するため、温度の上昇とともに減少します。 ^{[ 14 ]}そのため、キャリアは通過する際にイオン化不純物の近くにいる時間が短くなり、イオンの散乱効果が減少します。

これら二つの効果は、マティッセンの法則によってキャリアに同時に作用する。低温ではイオン化不純物散乱が支配的であり、高温ではフォノン散乱が支配的となるため、実際の移動度は中間温度で最大値に達する。

モットは後に^{[ 25 ]}移動度エッジの概念を開発した。これはエネルギーである。${\displaystyle E_{C}}$電子は、このエネルギーを超えると局在状態から非局在状態へと遷移します。多重トラップと放出と呼ばれるこの記述では、電子は拡張状態にあるときのみ移動でき、より低いエネルギーの局在状態に絶えずトラップされ、そこから再び放出されます。電子がトラップから放出される確率はその熱エネルギーに依存するため、このようなシステムにおける移動度はアレニウスの関係式で表すことができます。

$${\displaystyle \mu =\mu _{0}\exp \left(-{\frac {E_{\text{A}}}{k_{\text{B}}T}}\right)}$$

どこ$\displaystyle \mu _{0}}$移動性の前因子であり、${\displaystyle E_{\text{A}}}$活性化エネルギーは、${\displaystyle k_{\text{B}}}$はボルツマン定数であり、${\displaystyle T}$は温度です。活性化エネルギーは通常、温度の関数として移動度を測定することによって評価されます。ウルバッハエネルギーは、一部のシステムでは活性化エネルギーの代替として使用できます。^{[ 26 ]}

低温、または構造的無秩序度が高い系（完全非晶質系など）では、電子は非局在化状態にアクセスできません。このような系では、電子は可変範囲ホッピングと呼ばれるプロセスで、トンネル効果によってのみあるサイトから別のサイトへ移動できます。モットとデイビスによって開発された可変範囲ホッピングの元の理論^{[ 27 ]}では、確率は${\displaystyle P_{ij}}$電子が1つのサイトから別のサイトへ移動する${\displaystyle i}$別のサイトへ${\displaystyle j}$空間的な距離によって異なる$\displaystyle r_{ij}}$エネルギーの分離$\displaystyle \Delta E_{ij}}$。

$${\displaystyle P_{ij}=P_{0}\exp \left(-2\alpha r_{ij}-{\frac {\Delta E_{ij}}{k_{\text{B}}T}}\right)}$$

ここ${\displaystyle P_{0}}$は材料中のフォノン周波数に関連する前因子であり、^{[ 28 ]}${\displaystyle \alpha }$は波動関数の重なりパラメータである。可変範囲ホッピングによって支配される系における移動度は、次のように表される^{[ 27 ]}。

$${\displaystyle \mu =\mu _{0}\exp \left(-\left[{\frac {T}{T_{0}}}\right]^{1/(d+1)}\right)}$$

どこ$\displaystyle \mu _{0}}$移動性の前因子であり、${\displaystyle T_{0}}$は、（温度の次元を持つ）局所状態の幅を定量化するパラメータであり、${\displaystyle d}$これはシステムの次元数です。

キャリア移動度は、一般的にホール効果を用いて測定されます。この測定結果は「ホール移動度」（「ホール効果測定から推定される移動度」という意味）と呼ばれます。

図に示すように、長方形断面の半導体サンプルを考えます。電流はx方向に流れ、磁場はz方向に印加されます。結果として生じるローレンツ力は、右手の法則に従って電子（n型材料）または正孔（p型材料）を（−y ）方向に加速し、電場ξy_を発生させます。その結果、サンプルの両端に電圧が発生し、これは高インピーダンス電圧計で測定できます。この電圧VH_はホール電圧と呼ばれます。VHはn型材料では負、 p型材料では正に_なります。

数学的には、電荷qに作用するローレンツ力は次のように表される。

電子の場合： $${\displaystyle \mathbf {F} _{Hn}=-q\,\mathbf {v} _{n}\times \mathbf {B} _{z}}$$

穴の場合： $${\displaystyle \mathbf {F} _{Hp}=+q\,\mathbf {v} _{p}\times \mathbf {B} _{z}}$$

定常状態では、この力はホール電圧によって生じる力と釣り合っているため、y方向のキャリアには正味の力はかかりません。電子の場合、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{y}=(-q)\xi _{y}+(-q)\,\mathbf {v} _{n}\times \mathbf {B} _{z}&=0\\\Longrightarrow -q\xi _{y}+qv_{x}B_{z}&=0\\\xi _{y}&=v_{x}B_{z}\end{aligned}}}$$

電子の場合、電場は-y方向を向き、正孔の場合、電場は+ y方向を向く。

電子電流Iは次式で与えられる。${\displaystyle I=-qnv_{x}tW}$. v _xをξ _yの式に代入します。

$${\displaystyle \xi _{y}=-{\frac {IB}{nqtW}}=+{\frac {R_{Hn}IB}{tW}}}$$

ここで、R _Hnは電子のホール係数であり、次のように定義される。 $${\displaystyle R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}}$$

以来${\displaystyle \xi _{y}={\frac {V_{H}}{W}}}$$${\displaystyle R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}={\frac {V_{Hn}t}{IB}}}$$

同様に、穴についても $${\displaystyle R_{Hp}={\frac {1}{pq}}={\frac {V_{Hp}t}{IB}}}$$

ホール係数から、キャリア移動度を以下のように求めることができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{n}&=\left(-nq\right)\mu _{n}\left(-{\frac {1}{nq}}\right)\\&=-\sigma _{n}R_{Hn}\\&=-{\frac {\sigma _{n}V_{Hn}t}{IB}}\end{aligned}}}$$

同様に、 $${\displaystyle \mu _{p}={\frac {\sigma _{p}V_{Hp}t}{IB}}}$$

ここでは、 V _Hp（ホール電圧）、t（試料の厚さ）、I（電流）、B（磁場）の値を直接測定でき、導電率σ _nまたはσ _pは既知であるか、抵抗率を測定することによって得ることができます。

移動度は電界効果トランジスタ（FET）を用いて測定することもできる。この測定結果は「電界効果移動度」（「電界効果測定から推定される移動度」を意味する）と呼ばれる。

測定は、飽和モード測定または線形領域測定の2つの方法で行うことができます。^{[ 29 ]}（動作のさまざまなモードまたは領域の説明については、MOSFETを参照してください。）

電子移動度は、非接触レーザー光反射法測定から決定できます。サンプルを焦点位置でステップしながら、一連の光反射測定を行います。電子拡散長と再結合時間は、データへの回帰フィッティングによって決定されます。次に、アインシュタインの関係式を使用して移動度を計算します。^{[ 31 ] [ 32 ]}

電子移動度は、時間分解テラヘルツプローブ測定から計算できます。^{[ 33 ] [ 34 ]}フェムト秒レーザーパルスで半導体を励起し、テラヘルツプローブを使用して、テラヘルツ電場の変化を検出して、結果として生じる光伝導率を測定します。^{[ 35 ]}

電荷キャリア移動度の指標は、時間分解マイクロ波伝導率（TRMC）を用いて評価できる。^{[ 36 ]}パルス光レーザーを用いて半導体中に電子と正孔を生成し、光伝導率の増加として検出する。試料の吸光度、寸法、入射レーザーフルエンスが分かれば、パラメータは${\displaystyle \phi \Sigma \mu =\phi (\mu _{e}+\mu _{h})}$評価可能、${\displaystyle \phi }$はキャリア生成収率（0～1の間）です。${\displaystyle \mu _{e}}$電子移動度と${\displaystyle \mu _{h}}$は正孔移動度です。${\displaystyle \phi \Sigma \mu }$移動度と同じ寸法を持つが、キャリアの種類（電子または正孔）は不明瞭である。