部分関数

数学において、集合Xから集合Yへの部分関数 f は、 XのサブセットS (場合によってはX全体)からYへの関数です。サブセットS、つまり関数として見たfの定義域は、 fの定義域または自然定義域と呼ばれます。S がXに等しい場合、つまりf がXのすべての要素に対して定義されている場合、f は全関数であると言われています。

言い換えれば、部分関数は、最初の集合のすべての要素に2 番目の集合の要素を最大で1 つ関連付ける 2 つの集合上の2 項関係です。したがって、これは単価関係です。これにより、最初の集合のすべての要素が 2 番目の集合の要素に関連付けられる必要がなくなり、(全)関数の概念が一般化されます。

部分関数は、その正確な定義域が不明であるか、または指定するのが難しい場合によく使用されます。ただし、正確な定義域がわかっている場合でも、部分関数は単純さや簡潔さのためによく使用されます。これは微積分の場合に当てはまり、たとえば、 2 つの関数の商は、定義域に分母のゼロを含めることができない部分関数です。この文脈では、部分関数は通常、単に関数と呼ばれます。

計算可能性理論では、一般的な再帰関数は整数から整数への部分関数であり、任意のそのような関数が実際に全関数であるかどうかを判断する アルゴリズムは存在できません。

関数に矢印表記法が使用される場合、から への部分関数はまたは と表記されることがあります。ただし、一般的な規則はなく、後者の表記法は包含写像や埋め込みによく使用されます。^[要出典]${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\rightharpoonup Y,}$ ${\displaystyle f:X\nrightarrow Y,}$${\displaystyle f:X\hookrightarrow Y.}$

具体的には、部分関数およびいずれか 1 つに対して、次のいずれかが当てはまります。 ${\displaystyle f:X\rightharpoonup Y,}$${\displaystyle x\in X,}$

• ${\displaystyle f(x)=y\in Y}$（ Yの単一の要素である）、または
• ${\displaystyle f(x)}$未定義です。

例えば、平方根関数が整数に制限されている場合${\displaystyle f}$

${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} ,}$定義:

${\displaystyle f(n)=m}$もし、そしてその場合に限り、${\displaystyle m^{2}=n,}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {Z} ,}$

は、が完全な平方数(つまり、)の場合にのみ定義されます。したがって、は定義されていません。 ${\displaystyle f(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0,1,4,9,16,\ldots }$${\displaystyle f(25)=5}$${\displaystyle f(26)}$

部分関数は、集合X全体に対して定義されない可能性のある2 つの集合XとYの間の写像を考慮することによって生じます。一般的な例としては、実数に対する平方根演算があります。負の実数には実平方根がないため、この演算は から への部分関数として見ることができます。部分関数の定義 域は、部分関数が定義されているXの部分集合Sです。この場合、部分関数はSからYへの関数として見ることもできます。平方根演算の例では、集合S は負でない実数で構成されます。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle [0,+\infty ).}$

部分関数の概念は、定義の正確なドメインが不明または知ることができない場合に特に便利です。後者のコンピューター サイエンスの例については、停止問題を参照してください。

定義域Sが集合X全体に等しい場合、部分関数は全関数であるといわれます。したがって、 XからYへの全部分関数は、XからYへの関数と一致する。

関数の多くの特性は、部分関数の適切な意味で拡張できます。部分関数をその定義域に制限することによって与えられる関数がそれぞれ単射、全射、全単射である場合、部分関数は単射、全射、全単射であると言われます。

関数はその像に制限されると自明に射影的であるため、部分一対一という用語は部分関数が単射であることを示します。^[1]

単射部分関数は単射部分関数に反転することができ、単射かつ全射である部分関数は逆として単射関数を持ちます。さらに、単射である関数は全単射部分関数に反転することができます。

変換の概念は部分関数にも一般化できる。部分変換とは、とがある集合の部分集合である関数である^[1]${\displaystyle f:A\rightharpoonup B,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X.}$

便宜上、集合から集合へのすべての部分関数の集合を と表します。この集合は、同じ共役領域を持つ の部分集合上で定義された関数の集合の和集合です。 ${\displaystyle f:X\rightharpoonup Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle [X\rightharpoonup Y].}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle [X\rightharpoonup Y]=\bigcup _{D\subseteq X}[D\to Y],}$

後者は有限の場合、その濃度は ${\textstyle \bigcup _{D\subseteq {X}}Y^{D}.}$

${\displaystyle |[X\rightharpoonup Y]|=(|Y|+1)^{|X|},}$

なぜなら、任意の部分関数は、 に含まれない任意の固定値によって関数に拡張できるため、共役領域は単射な（制限によって一意かつ逆変換可能な）演算になるからです。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle Y\cup \{c\},}$

記事の先頭にある最初の図は部分関数を表していますが、これは関数ではありません。左側の集合の要素 1 は右側の集合のいずれにも関連付けられていないからです。一方、2 番目の図は、左側の集合のすべての要素が右側の集合の 1 つの要素と正確に関連しているため、関数を表しています。

実数をそれ自身にマッピングする自然対数関数を考えてみましょう。非正の実数の対数は実数ではないため、自然対数関数は、共域内の実数を領域内の非正の実数に関連付けません。したがって、自然対数関数は、実数からそれ自身への関数として見ると関数ではなく、部分関数です。領域が正の実数のみを含むように制限されている場合(つまり、自然対数関数が正の実数から実数への関数として見られる場合)、自然対数は関数です。

自然数（ここでは非負の整数）の減算は部分関数です。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightharpoonup \mathbb {N} }$

${\displaystyle f(x,y)=x-y.}$

それは、${\displaystyle x\geq y.}$

表示的意味論では、部分関数は、未定義の場合に 一番下の要素を返すものと見なされます。

コンピュータ サイエンスでは、部分関数は例外を発生させるか、永久にループするサブルーチンに相当します。IEEE浮動小数点標準では、浮動小数点演算が未定義で例外が抑制されている場合 (たとえば、負の数の平方根が要求された場合) に返される 非数値が定義されています。

関数パラメータが静的に型付けされるプログラミング言語では、言語の型システムが関数の正確なドメインを表現できないため、関数は部分関数として定義されることがあります。そのため、プログラマーは代わりに、型として表現可能で、関数の定義ドメインを含む最小のドメインを指定します。

圏論では、具体的な圏における射の合成操作を考えるとき、合成操作が全関数となるのは、が1つの要素を持つ場合のみである。その理由は、2つの射とは、の余域がの域と等しくなければならないためである。${\displaystyle \circ \;:\;\hom(C)\times \hom(C)\to \hom(C)}$${\displaystyle \operatorname {ob} (C)}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:U\to V}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle Y=U,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g.}$

集合と部分関数のカテゴリは、尖端集合と点保存写像のカテゴリと同等であるが同型ではない。 ^[2]ある教科書には、「「不適切」な「無限」要素を追加することで集合と部分写像を形式的に完成させる方法は、特に位相幾何学（一点コンパクト化）と理論計算機科学において何度も再発明された」と記されている。^[3]

集合と部分全単射の圏は、その双対圏と同値である。^[4]これは、原型的な逆圏である。^[5]

部分代数は普遍代数の概念を部分演算に一般化したものである。一例としては、乗法逆元が唯一の適切な部分演算である体が挙げられる（ゼロ除算が定義されていないため）。^[6]

与えられた基底集合上のすべての部分関数（部分変換）の集合は、すべての部分変換の半群（または 上の部分変換半群）と呼ばれる正則半群を形成し、通常は^{[7] [8] [9]}と表記されます。上のすべての部分一対一集合は、対称逆半群 を形成します。^{[7] [8]}${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {PT}}_{X}.}$${\displaystyle X}$

多様体とファイバー束の構造を指定するアトラス内のチャートは部分関数です。多様体の場合、ドメインは多様体の点集合です。ファイバー束の場合、ドメインはファイバー束の空間です。これらのアプリケーションでは、最も重要な構成は遷移マップです。これは、1 つのチャートと別のチャートの逆の合成です。多様体とファイバー束の初期の分類は、主にこれらの遷移マップの制約条件によって表現されます。

関数の代わりに部分関数を使用する理由は、グローバル構造を記述するためにローカル パッチをつなぎ合わせることで、一般的なグローバル トポロジを表現できるようにするためです。「パッチ」は、チャートが定義されるドメインです。

• 解析接続 – 解析関数の定義域の拡張 (数学)
• 多価関数 – 一般化された数学関数
• 密に定義された演算子 - ほぼどこでも定義されている関数（数学）

• Martin Davis (1958)、「Computability and Unsolvability」、 McGraw–Hill Book Company、Inc、ニューヨーク。1982年にDover社から再出版。ISBN 0-486-61471-9 。
• Stephen Kleene (1952)、「Introduction to Meta-Mathematics」、North-Holland Publishing Company、アムステルダム、オランダ、第10刷、第7刷（1974年）で訂正あり。ISBN 0-7204-2103-9。 
• Harold S. Stone (1972)、「コンピュータ組織とデータ構造入門」、McGraw-Hill Book Company、ニューヨーク。