Nスリット干渉方程式

量子力学は、ポール・ディラックによって初めて光学、特に干渉に応用されました。^[1]リチャード・ファインマンは、物理学講義で、ディラックの記法を使用して電子の二重スリット干渉に関する思考実験を説明しています。^[2]ファインマンのアプローチは、フランク・ドゥアルテによって、単一光子照明または狭線幅レーザー照明、つまり区別できない光子による照明のいずれかのためのNスリット干渉計に拡張されました。^{[3] [4]} Nスリット干渉計は、複雑な干渉パターンの生成と測定に初めて適用されました。^[3] [ ^4]

この記事では、ディラックの表記法によって導出された一般化されたNスリット干渉方程式について説明します。この方程式はもともとNスリット干渉縞を再現および予測するために導出されましたが、^{[3] [4]}この方程式は光学の他の分野にも応用されています。

このアプローチでは、光源sから干渉面xへの光子の伝播の確率振幅は、スリットjの配列を介して、ディラックのブラケット表記法を使用して次のように表される^[3]。

${\displaystyle \langle x|s\rangle =\sum _{j=1}^{\mathbb {N} }\langle x|j\rangle \langle j|s\rangle }$

この式は、 j個のスリットの配列を介してsからxに伝播する光子の確率振幅を表す。確率振幅の波動関数表現^[1]を使用し、確率振幅を次のように定義する^{[3] [4] [5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j|s\rangle &=\Psi \left(r_{j,s}\right)e^{-i\theta _{j}}\\\langle x|j\rangle &=\Psi \left(r_{x,j}\right)e^{-i\phi _{j}}\end{aligned}}}$

ここでθ _jとΦ _jはそれぞれ入射角と回折位相角である。したがって、全体の確率振幅は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \langle x|s\rangle =\sum _{j=1}^{N}\Psi \left(r_{j}\right)e^{-i\Omega _{j}}}$

どこ

${\displaystyle \Psi \left(r_{j}\right)=\Psi \left(r_{x,j}\right)\Psi \left(r_{j,s}\right)}$

そして

${\displaystyle \Omega _{j}=\theta _{j}+\phi _{j}}$

代数的に計算すると、対応する確率は^{[3] [4] [5]となる。}

${\displaystyle {\big |}\langle x|s\rangle {\big |}^{2}=\sum _{j=1}^{N}\Psi \left(r_{j}\right)^{2}+2\sum _{j=1}^{N}\Psi \left(r_{j}\right)\left(\sum _{m=j+1}^{N}\Psi \left(r_{m}\right)\cos \left(\Omega _{m}-\Omega _{j}\right)\right)}$

ここで、Nはアレイまたは透過格子内のスリットの総数であり、括弧内の項は、Nスリットアレイ（j）、干渉計内距離、干渉計面xの形状から導かれる正確な経路差に直接関連する位相を表す。^[5]最も単純なバージョンでは、位相項は、次のように形状に関連付けられる。

${\displaystyle \cos(\Omega _{m}-\Omega _{j})=\cos k|L_{m}-L_{m-1}|}$

ここでkは波数、L _mとL _{m − 1}は正確な経路差を表す。ここでディラック・ドゥアルテ（DD）干渉方程式は、実験的に測定された強度分布に関連する確率分布である。^[6]計算は数値的に行われる。^[5]

DD干渉方程式は、単一光子の伝播、または区別できない光子の集団の伝播に適用され、近距離から遠距離まで連続的に測定されたNスリット干渉パターンの正確な予測を可能にします。 ^{[5] [6]この方程式で生成された干渉縞は、2から1600までの}Nの偶数（ N = 2、4、6...）と奇数（N = 3、5、7... ）の両方で測定された干渉縞とよく一致することが示されています。^{[5] [7]}

実用レベルでは、Nスリット干渉方程式はイメージングアプリケーションのために導入され^[5]、近距離場と遠距離場の両方でNスリットレーザー干渉縞を予測するために日常的に適用されています。したがって、この方程式は、宇宙での安全なレーザー通信のための晴天乱気流と干渉特性の伝播の研究に使用される大型および超大型のNスリットレーザー干渉計の調整に貴重なツールとなっています^{[8] [9]}。その他の分析アプリケーションについては以下で説明します。

Nスリット干渉方程式は、量子力学の原理を用いた合理的かつ統一的なアプローチで、干渉、回折、屈折（スネルの法則）、反射などの古典的現象を記述するために適用されてきた。 ^{[7] [10]特に、この干渉アプローチは、正}屈折と負屈折の両方に対する一般化屈折方程式を導出するために使用されており、^[11]回折理論と一般化屈折の間に明確なつながりを提供している。^[11]

干渉方程式の位相項から、次の式が得られる。

${\displaystyle d_{m}\left(\pm n_{1}\sin {\theta _{m}}\pm n_{2}\sin {\phi _{m}}\right)\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)=M\pi }$

が得られます。ここで、M = 0、2、4...です。

n ₁ = n ₂の場合、この式は次のように書ける^{[7] [10]}

${\displaystyle d_{m}\left(\pm \sin {\theta _{m}}\pm \sin {\phi _{m}}\right)=m\lambda }$

これは一般化された回折格子方程式です。ここで、θ _mは入射角、φ _mは回折角、λは波長、m = 0、1、2...は回折次数です。

実験的に容易に得られる特定の条件d _m ≪ λの下では、位相項は^{[7] [10]となる。}

${\displaystyle \left(\pm n_{1}\sin {\theta _{m}}\pm n_{2}\sin {\phi _{m}}\right)=0}$

これは一般化された屈折方程式である^[11] 。ここでθm_は入射角、φm_は屈折角となる。

さらに、Nスリット干渉方程式は、多重プリズム格子レーザー発振器などの分散発振器に適用可能な共振器線幅方程式を導出するために適用されている：^[12]

${\displaystyle \Delta \lambda \approx \Delta \theta \left({\frac {\partial \Theta }{\partial \lambda }}\right)^{-1}}$

この式では、Δ θ はビームの発散角であり、全体的な共振器内角度分散は括弧内の量です。

フーリエ変換ゴーストイメージングを研究する研究者は、Nスリット干渉方程式^{[3] [5] [10]}をゴーストイメージングの量子的性質を調査する手段として検討している。^[13]また、Nスリット干渉アプローチは、基本的な光学現象をまとまりのある統一的な方法で記述するために適用されるいくつかのアプローチの1つである。^[14]

注: Nスリット干渉法ではさまざまな用語が使用されているため、Nスリット干渉法の方程式は 2 スリット干渉、3 スリット干渉、4 スリット干渉などに適用されることを明示的にする必要があります。

ディラック原理とNスリット干渉方程式を導くために用いられる確率論的手法は、偏光量子もつれ確率振幅を導くためにも用いられている^[15]。

${\displaystyle \left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}\left|x\right\rangle _{1}\left|y\right\rangle _{2}-\left|y\right\rangle _{1}\left|x\right\rangle _{2}{\bigr )}}$

そして、複数の量子対の伝播を表す対応する確率振幅。^[16]

干渉計計算の性能におけるディラックアプローチと古典的な方法の比較は、トラビスS.テイラー らによって行われました。^[17]これらの著者は、ディラック形式を介して導出された干渉方程式が非常に近いフィールドで有利であると結論付けました。

DD 干渉方程式と古典的な形式主義のいくつかの違いは次のようにまとめることができます。

• 古典的なフレネルアプローチは近傍場アプリケーションに使用され、古典的なフラウンホーファーアプローチは遠方場アプリケーションに使用されます。DD干渉アプローチを使用する場合、この形式は近傍場と遠方場の両方のケースに適用されるため、この分割は必要ありません。^[5]
• フラウンホーファーアプローチは平面波照明に有効です。^[18] DDアプローチは平面波照明と高回折照明パターンの両方に有効です。^[5]
• DD 干渉方程式は統計的な性質を持っています。これは古典的な定式化には当てはまりません。

これまでのところ、ホイヘンス・フレネルの原理やキルヒホッフの回折式に基づくより一般的な古典的なアプローチとの比較は公表されていない。

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